Grupos

Matemáticas. Conceptos básicos. Grupoides. Semigrupos. Homomorfismos. Grupo cociente. Grupos cíclicos

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GRUPOS

• CONCEPTOS BÁSICOS:

OBSERVACIÓN: En este tema todos los conjuntos son no vacios, a menos que se especifique lo contrario.

• GRUPOIDES:

DEFINICIÓN: Sea 'Grupos'
un conjunto y 'Grupos'
una operación binaria en 'Grupos'
, ('Grupos'
). Entonces se dice que el par 'Grupos'
es un GRUPOIDE

DEFINICIÓN: Sea 'Grupos'
un grupoide, entonces se dice que 'Grupos'
es ELEMENTO NEUTRO de 'Grupos'
(elemento identidad) si se verifica que:

'Grupos'
.

PROPOSICIÓN: Si existe elemento neutro , es único:

Demostración:

Sean 'Grupos'
y 'Grupos'
elementos neutros de 'Grupos'
. Entonces:

'Grupos'

DEFINICIÓN: Sea 'Grupos'
un grupoide con elemento neutro. Entonces se dice que 'Grupos'
tiene ELEMENTO INVERSO(elemento opuesto) si:

'Grupos'

OBSERVACIÓN: En un grupoide con elemento neutro los elementos inversos, si existen, pueden no ser únicos.

EJEMPLO:

'Grupos'
'Grupos'
'Grupos'
Grupoide

'Grupos'

inverso de 'Grupos'

inverso de 'Grupos'

inverso de 'Grupos'

inverso de 'Grupos'
'Grupos'

• SEMIGRUPOS:

DEFINICIÓN: Se dice que 'Grupos'
es un SEMIGRUPO si 'Grupos'
es un grupoide con la propiedad asociativa. Matematicamente:

'Grupos'

PROPOSICIÓN: Sea 'Grupos'
un semigrupo con elemento neutro. Entonces el elemento inverso, si existe, de cualquier elemento de 'Grupos'
es único.

Demostración:

Sea 'Grupos'
un semigrupo y 'Grupos'
su elemento neutro. Entonces:

'Grupos'
son inversos de 'Grupos'
. Por tanto:

'Grupos'

EJEMPLO: Sea 'Grupos'
, y 'Grupos'
(composición de funciones). Entonces:

'Grupos'
es un semigrupo con elemento neutro 'Grupos'

¿Qué elementos tienen inverso?

'Grupos'
(Por el teorema de la biyección)

Por tanto tienen inverso las funciones biyectivas, y su inversa es la función inversa.

• HOMOMORFISMOS:

DEFINICIÓN: Sean 'Grupos'
y 'Grupos'
dos grupoides. Entonces una aplicación entre 'Grupos'
y 'Grupos'
es un HOMOMORFISMO si se verifica que:

'Grupos'

EJEMPLO:

'Grupos'

¿Es homomorfismo? 'Grupos'

'Grupos'

Luego no es homomorfismo

DEFINICIÓN: Se dice que:

  • Un homomorfismo inyectivo es un monomorfismo

  • Un homomorfismo suprayectivo es un epimorfismo

  • Un homomorfismo biyectivo es un isomorfismo

  • Un homomorfismo de 'Grupos'
    en 'Grupos'
    es un endomorfismo

  • Un endomorfismo biyectivo es un automorfismo

  • • GRUPOS:

    DEFINICIÓN: Sea un semigrupo con elemento neutro, tal que todos los elementos tienen elemento inverso. Entonces dicho semigrupo se llama GRUPO. Es decir, un GRUPO es un par 'Grupos'
    , donde 'Grupos'
    es una operación binaria en 'Grupos'
    que verifica :

  • 'Grupos'

  • 'Grupos'

  • 'Grupos'

  • DEFINICIÓN: Sea un grupo 'Grupos'
    , donde 'Grupos'
    es una operación binaria en 'Grupos'
    que verifica las condiciones anteriormente expuestas, y además es conmutativo, es decir:

    'Grupos'

    Entonces se dice que dicho grupo es un GRUPO CONMUTATIVO o ABELIANO.

    PROPOSICIÓN: Sea un GRUPO 'Grupos'
    . Entonces se verifica que:

  • 'Grupos'

  • Demostración:

    'Grupos'

  • El elemento neutro es único(Por ser Grupoide)

  • 'Grupos'
    el inverso de 'Grupos'
    es único.

  • 'Grupos'

  • Demostración:

    'Grupos'

  • 'Grupos'

  • Demostración:

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

  • 'Grupos'
    es abeliano 'Grupos'

  • Demostración:

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    • EJEMPLOS:

    'Grupos'

    Grupo Abeliano

    'Grupos'

    Grupo Abeliano

    'Grupos'

    Semigrupo con elemento neutro

    'Grupos'

    Grupo Abeliano

    'Grupos'

    Semigrupo sin elemento neutro

    'Grupos'

    Grupo Abeliano

    'Grupos'

    Semigrupo con elemento neutro

    'Grupos'

    Grupo Abeliano

    'Grupos'

    Semigrupo con elemento neutro

    'Grupos'

    Grupo Abeliano

    • EJEMPLOS FUNDAMENTALES DE GRUPOS:

    • GRUPO DE LAS APLICACIONES BIYECTIVAS DE UN CONJUNTO: Sea 'Grupos'
    y 'Grupos'
    y “'Grupos'
    ” la composición de aplicaciones. Entonces 'Grupos'
    es el grupo de las aplicaciones biyectivas de 'Grupos'
    . Veamos que se cumplen las tres propiedades:

  • ¿'Grupos'
    ?

  • Sea 'Grupos'
    , 'Grupos'
    y 'Grupos'
    . 'Grupos'
    pertenece claramente a 'Grupos'
    , por ser biyectiva. Entonces:

    'Grupos'

    Luego se verifica.

  • 'Grupos'

  • Sean 'Grupos'
    y 'Grupos'
    . Entonces:

    'Grupos'

    Luego se verifica

  • 'Grupos'

  • 'Grupos'
    (por el teorema de la biyección)

    Luego se verifica.

    • GRUPO DE LAS PERMUTACIONES DE N ELEMENTOS: Sea 'Grupos'
    y 'Grupos'
    el conjunto de las permutaciones de 'Grupos'
    . Entonces 'Grupos'
    es grupo por ser un caso particular del anterior, ya que las permutaciones son aplicaciones biyectivas.

    • GRUPO SIMÉTRICO DE N ELEMENTOS: Otra manera de representar y llamar al grupo de las permutaciones de n elementos es como el grupo simétrico de n elementos, representado por 'Grupos'
    , formado por elementos de la forma:

    'Grupos'

    Donde 'Grupos'
    es un elemento de 'Grupos'
    ('Grupos'
    ), de tal manera que lo que hace cada elemento de 'Grupos'
    es asignar a cada elemento de 'Grupos'
    otro elemento de 'Grupos'
    , que es el que está en la parte inferior de su columna. Es, pues, una reordenación. Se puede comprobar que es un grupo.

    EJEMPLO:

    'Grupos'
    , 'Grupos'

    'Grupos'
    'Grupos'

    'Grupos'

    Evidentemente existe elemento neutro, todos los elementos tienen elemento inverso, y además, el grupo no es abeliano.

    También podemos verlo como el grupo de las isometrías del triángulo equilátero(giros sobre el centro y las alturas), o grupo diédrico de orden 6:

    'Grupos'

    • GRUPO ADITIVO: Sea 'Grupos'
    . Consideramos el conjunto 'Grupos'
    y en el la operación “'Grupos'
    ”definida por:

    'Grupos'

    Entonces el par 'Grupos'
    es un grupo abeliano, llamado grupo aditivo.

    Demostración:

  • 'Grupos'

  • Sea 'Grupos'
    y 'Grupos'

    'Grupos'

    Luego se verifica

  • 'Grupos'

  • Sean 'Grupos'

    'Grupos'

    Luego se verifica

  • 'Grupos'

  • Sean 'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego se verifica

    Veamos si es conmutativo:

    Sean 'Grupos'

    'Grupos'

    Luego se verifica.

    Por tanto 'Grupos'
    es un grupo abeliano.

    • GRUPO MULTIPLICATIVO: Sea 'Grupos'
    y 'Grupos'
    primo. Consideramos el conjunto 'Grupos'
    y en él la operación “'Grupos'
    ”definida por:

    'Grupos'

    Entonces el par 'Grupos'
    es un grupo abeliano, llamado grupo multiplicativo.

    Demostración:

  • 'Grupos'

  • Sea 'Grupos'
    y 'Grupos'

    'Grupos'

    Luego se verifica

  • 'Grupos'

  • Sean 'Grupos'

    'Grupos'

    Luego se verifica

  • 'Grupos'

  • Sea 'Grupos'

    Entonces, por ser 'Grupos'
    primo, se verifica que:

    'Grupos'

    'Grupos'

    Por tanto:

    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego se verifica

    Veamos si es conmutativo:

    Sean 'Grupos'

    'Grupos'

    Luego se verifica.

    Por tanto 'Grupos'
    es un grupo abeliano.

    • GRUPO DE MATRICES: Sean “'Grupos'
    ” y “'Grupos'
    ” la adición y el producto habitual entre matrices. Entonces:

    'Grupos'
    es GA (Matrices reales de orden mxn) y 'Grupos'

    'Grupos'
    es GA (Matrices reales cuadradas con determinante no nulo). Se llama Grupo lineal de orden n. 'Grupos'

    'Grupos'
    es GA (Matrices reales cuadradas con determinante la unidad). Se llama Grupo especial lineal de orden n. 'Grupos'

    'Grupos'
    es GA (Matrices reales cuadradas ortogonales). Se llama Grupo ortogonal de orden n. 'Grupos'

    'Grupos'
    es GA (Matrices reales cuadradas ortogonales con determinante la unidad). Se llama Grupo ortogonal especial de orden n. 'Grupos'

    OBSERVACIÓN:

    'Grupos'

    'Grupos'

    • SUBGRUPOS:

    DEFINICIÓN: Sea 'Grupos'
    un grupo y 'Grupos'
    . Entonces se dice que 'Grupos'
    es un SUBGRUPO de 'Grupos'
    , y se escribe 'Grupos'
    si 'Grupos'
    es un grupo.

    Por tanto, para ver si un subconjunto es subgrupo es necesario comprobar si :

    ¿ Es 'Grupos'
    operación en 'Grupos'
    ?

    ¿ Es 'Grupos'
    asociativa en 'Grupos'
    ?

    ¿ Es 'Grupos'
    conmutativa en 'Grupos'
    ?

    ¿ Existe elemento neutro en 'Grupos'
    ?

    ¿ Existe elemento inverso en 'Grupos'
    ?

    TEOREMA: Sea 'Grupos'
    un grupo, 'Grupos'
    , 'Grupos'
    . Entonces:

    'Grupos'
    es grupo 'Grupos'

    Demostración:

    'Grupos'
    Si 'Grupos'
    ¿'Grupos'
    ?

    'Grupos'
    por ser 'Grupos'
    grupoide

    'Grupos'
    por ser 'Grupos'
    grupoide

    'Grupos'
    Si 'Grupos'
    ¿'Grupos'
    ? 'Grupos'
    ¿'Grupos'
    grupo? 'Grupos'
    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego queda demostrado

    OBSERVACIÓN: Si 'Grupos'
    es aditivo entonces 'Grupos'

    EJEMPLO:

    'Grupos'

    TEOREMA(de Lagrange): Sea 'Grupos'
    un grupo finito y 'Grupos'
    . Entonces el orden de 'Grupos'
    divide al orden de 'Grupos'
    .

    Este teorema se aplica al cálculo del número de subgrupos.

    EJEMPLO: Veamos los subgrupos de 'Grupos'
    :

    'Grupos'

    Subgrupo de orden 1: 'Grupos'

    Posibles subgrupos de orden 2: 'Grupos'

    Posibles subgrupos de orden 3: 'Grupos'

    Subgrupo de orden 6: 'Grupos'

    Estudiemos los posibles subgrupos de orden 3:

    'Grupos'

    'Grupos'

    No es subgrupo para 'Grupos'

    'Grupos'

    No es subgrupo para 'Grupos'

    'Grupos'

    No es subgrupo para 'Grupos'

    'Grupos'

    No es subgrupo para 'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    No es subgrupo para 'Grupos'

    'Grupos'

    No es subgrupo para 'Grupos'

    'Grupos'

    No es subgrupo para 'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    Si es subgrupo para 'Grupos'

    'Grupos'

    No es subgrupo para 'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    No es subgrupo para 'Grupos'

    Luego el único subgrupo de orden 3 es 'Grupos'

    TEOREMA: Sea 'Grupos'
    un grupo y 'Grupos'
    subgrupos de 'Grupos'
    . Entonces 'Grupos'
    .

    Demostración:

    Sea 'Grupos'
    ¿ 'Grupos'

    'Grupos'

    Luego la intersección de subgrupos es un subgrupos.

    OBSERVACIÓN: La union de subgrupos, en general no es un subgrupo.

    • SISTEMA GENERADOR:

    IDEA INTUITIVA: Si 'Grupos'
    es un subconjunto de 'Grupos'
    , y no es subgrupo, ¿Qué hay que añadirle para que lo sea?.

    DEFINICIÓN: Sea 'Grupos'
    un grupo y 'Grupos'
    . Entonces se define el SUBGRUPO GENERADO POR S, denotado por 'Grupos'
    como:

    'Grupos'

    Podemos decir que 'Grupos'
    es el subgrupo “más pequeño” que contiene a 'Grupos'

    OBSERVACIÓN: Por el teorema anterior 'Grupos'
    , y 'Grupos'

    DEFINICIÓN: Si 'Grupos'
    es un grupo y 'Grupos'
    entonces se dice que 'Grupos'
    es un SISTEMA GENERADOR de 'Grupos'
    .

    TEOREMA: Sea 'Grupos'
    un grupo y 'Grupos'
    . Entonces:

    'Grupos'

    Entendiendo que: 'Grupos'

    EJEMPLO:

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    DEFINICIÓN: Sea 'Grupos'
    un grupo y 'Grupos'
    . Entonces se define el conjunto:

    'Grupos'

    TEOREMA: Sea 'Grupos'
    un grupo abeliano y 'Grupos'
    . Entonces:

    'Grupos'

    Demostración:

    'Grupos'

    'Grupos'

    Donde la condición imprescindible es que 'Grupos'
    sea abeliano.

    DEFINICIÓN: Sea 'Grupos'
    un GA y 'Grupos'
    . Entonces se dice que 'Grupos'
    es suma directa si 'Grupos'

    EJEMPLO:

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    Por el concepto de mcm

    'Grupos'

    Luego:

    'Grupos'

    • GRUPO COCIENTE:

    DEFINICIÓN: Sea 'Grupos'
    un grupo y 'Grupos'
    . Entonces se establece una relación binaria tal que:

    'Grupos'

    OBSERVACIÓN:

  • 'Grupos'
    es una relación de equivalencia.

  • Demostración:

    'Grupos'
    Si, por 'Grupos'
    .

    'Grupos'

    'Grupos'
    Si

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'
    Si

  • A la relación anterior se le llama “Adjunción por la izquierda” y se suele escribir 'Grupos'
    9

  • 'Grupos'
    'Grupos'

  • De forma similar se define 'Grupos'
    . Se demuestra que es de equivalencia y se llama “Adjunción por la derecha”. Además, las clases de equivalencia son: 'Grupos'

  • En general 'Grupos'

  • Sea 'Grupos'
    . En tal caso 'Grupos'

  • EJEMPLO:

    'Grupos'

    'Grupos'

    EJEMPLO:

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'
    pues poseen elementos distintos

    DEFINICIÓN: Sea 'Grupos'
    un grupo y 'Grupos'
    . Entonces se dice que'Grupos'
    es NORMAL, INVARIANTE o DISTINGUIDO, y se representa por 'Grupos'
    si:

    'Grupos'

    PROPOSICIÓN: Si 'Grupos'
    es abeliano, entonces todo subgrupo es normal.

    TEOREMA(Caracterización de subgrupos normales): Sea 'Grupos'
    un grupo y 'Grupos'
    . Entonces:

    'Grupos'

    Demostración :

    Véase apéndice.

    DEFINICIÓN: Sea 'Grupos'
    un grupo y 'Grupos'
    . Se representa por 'Grupos'
    al conjunto cociente 'Grupos'
    ó 'Grupos'
    . Si definimos:

    'Grupos'

    Entonces se tiene que 'Grupos'
    es un grupo llamado GRUPO COCIENTE.

    Demostración:

    Veamos que 'Grupos'
    es operación interna. Evidentemente es aplicación, pero ¿Depende del representante?

    Sean:

    'Grupos'
    ('Grupos'
    ) ('Grupos'
    )

    'Grupos'
    ('Grupos'
    ) ('Grupos'
    )

    'Grupos'

    'Grupos'
    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego no depende del representante. Por tanto es operación interna.

    Veamos ahora que 'Grupos'
    posee elemento neutro

    'Grupos'

    'Grupos'

    Por tanto posee elemento neutro.

    Estudiamos ahora si es asociativa:

    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego es asociativo.

    Verificamos ahora que posee elemento inverso:

    'Grupos'
    ???

    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego tiene elemento inverso.

    Por tanto queda demostrado que 'Grupos'
    es grupo

    EJEMPLO:

    'Grupos'

    Por ser 'Grupos'
    abeliano se verifica que 'Grupos'

    'Grupos'

    Luego

    'Grupos'

    • HOMOMORFISMO DE GRUPOS:

    DEFINICIÓN: Sean 'Grupos'
    y 'Grupos'
    grupos. Entonces se dice que la aplicación 'Grupos'
    es un homomorfismo de grupos si se verifica que:

    'Grupos'

    OBSERVACIÓN:

  • Se introducen los conceptos de auto, epi, homomorfismo, etc..

  • Se dice que dos grupos son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, y se escribe 'Grupos'

  • PROPOSICIÓN:

  • 'Grupos'

  • Demostración:

    Sea 'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego 'Grupos'

  • 'Grupos'

  • Demostración:

    Sea 'Grupos'
    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    Como el inverso es único , resulta que 'Grupos'

    Luego efectivamente 'Grupos'

    DEFINICIÓN: Sea 'Grupos'
    un homomorfismo de grupos. Entonces se define:

    El núcleo de 'Grupos'
    como el conjunto 'Grupos'

    La imagen de 'Grupos'
    como el conjunto 'Grupos'

    TEOREMA: Sea 'Grupos'
    un homomorfismo de grupos. Entonces se verifica que:

  • 'Grupos'

  • Demostración:

    'Grupos'

    Evidentemente 'Grupos'
    , ya que 'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego es subgrupo. Veamos si es normal.

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego es subgrupo normal. Queda demostrado

  • 'Grupos'
    es monomorfismo si y solo si 'Grupos'

  • Demostración:

    'Grupos'
    Como 'Grupos'
    es monomorfismo resulta que 'Grupos'
    es inyectivo.

    'Grupos'

    'Grupos'

    Sea 'Grupos'

    'Grupos'
    por ser 'Grupos'
    inyectivo

    Luego 'Grupos'

    'Grupos'
    'Grupos'

    ¿ Es 'Grupos'
    monomorfismo ? 'Grupos'
    ¿ Es 'Grupos'
    inyectivo? 'Grupos'
    ¿ 'Grupos'
    ?

    Sean 'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

  • 'Grupos'

  • Demostración:

    Evidentemente 'Grupos'
    , ya que 'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego queda demostrado

  • 'Grupos'
    es epimorfismo si y solo si 'Grupos'

  • Demostración:

    'Grupos'
    Como 'Grupos'
    es epimorfismo resulta que 'Grupos'
    es suprayectiva

    Por tanto 'Grupos'

    'Grupos'

    Como la condición de pertenecer a 'Grupos'
    se verifica 'Grupos'
    resulta que 'Grupos'

    'Grupos'
    'Grupos'

    Por tanto 'Grupos'
    , luego 'Grupos'
    es suprayectiva y por tanto epimorfismo

    TEOREMA(Isomorfía): Sean 'Grupos'
    y 'Grupos'
    dos grupos, y sea 'Grupos'
    un homomorfismo de grupos. Entonces se verifica que:

    'Grupos'

    'Grupos'
    Sabemos que 'Grupos'
    . Veamos, pues, el grupo cociente:

    'Grupos'

    ¿Cuáles son las clases?

    'Grupos'
    'Grupos'

    Demostración:

    Veamos que : 'Grupos'
    es aplicación, homomorfismo y es suprayectiva.

    Para ver que es aplicación veamos que no depende del representante:

    Sea 'Grupos'

    'Grupos'

    Luego no depende del representante

    Veamos ahora que es homomorfismo:

    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego es homomorfismo

    Veamos ahora que es inyectivo:

    'Grupos'

    Pero 'Grupos'

    Luego es inyectivo

    Veamos ahora que es suprayectivo

    'Grupos'

    Por definición de imagen:

    'Grupos'

    Luego es suprayectivo.

    Por tanto existe un homomorfismo biyectivo entre ambos grupos, y son isomorfos.

    PROPOSICIÓN: Al igual que hicimos con aplicaciones, es posible descomponer canonicamente un homomorfismo:

    'Grupos'

    EJEMPLO:

    Demostrar que 'Grupos'
    . Para ello vamos a convertir a 'Grupos'
    en el nucleo de un isomorfismo.

    Definimos:

    'Grupos'

    Veamos que 'Grupos'
    es homomorfismo:

    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego es homomorfismo

    Evidentemente 'Grupos'
    , ya que 'Grupos'

    Veamos quien es la imagen:

    'Grupos'

    Luego 'Grupos'
    , y por tanto son isomorfos, según el Teorema de Isomorfía

    OBSERVACION:

  • Si 'Grupos'
    es suprayectivo(epimorfismo), entonces 'Grupos'

  • Si 'Grupos'
    es inyectivo(monomorfismo), entonces 'Grupos'

  • Si 'Grupos'
    es biyectivo(isomorfismo), entonces 'Grupos'

  • EJEMPLO:

    'Grupos'

    Veamos que 'Grupos'
    es un homomorfismo:

    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego es homomorfismo

    Veamos si es inyectivo:

    'Grupos'

    Luego 'Grupos'
    no es inyectiva

    Evidentemente es suprayectiva, pues 'Grupos'

    Por tanto se verifica que:

    'Grupos'

    EJEMPLO:

    'Grupos'

    Veamos que 'Grupos'
    es un homomorfismo:

    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego es homomorfismo

    Veamos si es inyectivo:

    'Grupos'

    Luego 'Grupos'
    no es inyectiva

    Evidentemente es suprayectiva, pues 'Grupos'

    Por tanto se verifica que:

    'Grupos'

    • GRUPOS CICLICOS:

    DEFINICIÓN: Sea 'Grupos'
    un grupo. Entonces se dice que 'Grupos'
    es cíclico si:

    'Grupos'

    Es decir, si:

    Grupo multiplicativo 'Grupos'

    Grupo aditivo 'Grupos'

    EJEMPLO:

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    Veamos ahora un caso de un grupo no ciclico:

    'Grupos'

    Buscamos 'Grupos'

    'Grupos'

    Si 'Grupos'
    resulta que como 'Grupos'

    Luego 'Grupos'
    no es ciclico.

    PROPOSICIÓN: Todo grupo cíclico es abeliano.

    Demostración:

    Sea 'Grupos'
    un grupo cíclico multiplicativo. Por tanto 'Grupos'
    , es decir:

    'Grupos'

    Sean 'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    Entonces:

    'Grupos'

    PROPOSICIÓN: Todo subgrupo de un grupo cíclico es normal

    OBSERVACIÓN: Para ser cíclico ha de ser abeliano.

    TEOREMA: Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

    Demostración:

    Sea 'Grupos'
    un grupo cíclico y 'Grupos'

    ¿'Grupos'
    es cíclico? 'Grupos'

    'Grupos'

    Sea 'Grupos'
    , y sea 'Grupos'
    el ínfimo de 'Grupos'
    , que siempre existe por el axioma del supremo.

    Veamos que'Grupos'

    'Grupos'
    Basta utilizar que 'Grupos'
    es el menor subgrupo que contiene a 'Grupos'
    .

    Si 'Grupos'
    , y como 'Grupos'
    resulta que 'Grupos'

    'Grupos'
    Sea 'Grupos'
    'Grupos'

    'Grupos'

    Aquí distinguimos tres casos:

  • 'Grupos'

  • 'Grupos'

    como:

    'Grupos'

    'Grupos'

    y:

    'Grupos'

    ocurre que 'Grupos'

    Luego 'Grupos'
    , y por tanto 'Grupos'

  • 'Grupos'

  • 'Grupos'
    En este caso basta comprobar si 'Grupos'
    , ya que por ser 'Grupos'
    un

  • subgrupo ser verifica que:

    'Grupos'

    con lo que volveriamos al caso 1

    Sabemos que: 'Grupos'
    , lo que nos lleva al caso 1

    DEFINICIÓN: Sea 'Grupos'
    un grupo y 'Grupos'
    . Entonces se define el orden de 'Grupos'
    como el orden del subgrupo que genera, y se escribe 'Grupos'

    PROPOSICIÓN: Sea 'Grupos'
    un grupo finito. Entonces si 'Grupos'
    , el orden de 'Grupos'
    es el menor entero positivo 'Grupos'
    tal que 'Grupos'
    . Además, en ese caso se verifica que:

    'Grupos'

    ya que:

    'Grupos'

    Con lo que volveríamos a empezar.

    PROPIEDADES:

  • Sea 'Grupos'
    un grupo finito de orden 'Grupos'
    . Entonces 'Grupos'

  • Sea 'Grupos'
    un grupo y 'Grupos'
    con 'Grupos'
    . Entonces si 'Grupos'
    y 'Grupos'
    se verifica que 'Grupos'

  • Sea 'Grupos'
    un grupo finito, con 'Grupos'
    y 'Grupos'
    primo. Entonces 'Grupos'
    es cíclico

  • (Teorema pequeño de Fermat) En 'Grupos'
    se verifica que 'Grupos'

  • Demostración:

    Sea 'Grupos'

    Por otro lado:

    'Grupos'

    TEOREMA(De clasificación): Sea 'Grupos'
    un grupo cíclico. Entonces:

  • Si 'Grupos'
    tiene orden infinito entonces 'Grupos'

  • Si 'Grupos'
    tiene orden finito entonces 'Grupos'

  • Demostración:

  • Sabemos que 'Grupos'

  • Definimos un isomorfismo tal que:

    'Grupos'

    Veamos que es homomorfismo:

    'Grupos'

    'Grupos'

    Luego es homomorfismo.

    Veamos ahora si es suprayectivo:

    'Grupos'

    Como 'Grupos'
    es cíclico 'Grupos'

    'Grupos'

    Luego es suprayectivo

    Veamos ahora si es inyectivo:

    ¿'Grupos'
    es inyectivo? 'Grupos'

    'Grupos'

    Supongamos que existe 'Grupos'
    . Eso implica que 'Grupos'
    es un grupo finito de 'Grupos'
    elementos, lo que es imposible

    Supongamos que existe 'Grupos'
    , lo que es imposible, como ya hemos visto, por ser 'Grupos'
    infinito.

    Por tanto 'Grupos'
    , y 'Grupos'
    es inyectivo.

    Luego efectivamente 'Grupos'
    es un isomorfismo y 'Grupos'

  • Si 'Grupos'
    , entonces

  • 'Grupos'

    Definimos entonces un isomorfismo:

    'Grupos'

    que, como se puede comprobar, es efectivamente un isomorfismo. Por tanto 'Grupos'

    COROLARIO: Dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos.

    TEOREMA: Sea 'Grupos'
    un grupo y 'Grupos'
    , 'Grupos'
    . Entonces, si 'Grupos'
    , 'Grupos'
    , se tiene que:

    'Grupos'

    Demostración:

    Sea 'Grupos'
    un grupo, 'Grupos'
    , 'Grupos'
    , 'Grupos'
    , 'Grupos'
    , 'Grupos'
    , 'Grupos'
    , 'Grupos'
    , 'Grupos'
    . Entonces:

    'Grupos'

    Por tanto 'Grupos'

    'Grupos'

    Y como 'Grupos'
    , 'Grupos'
    , resulta que 'Grupos'
    , luego 'Grupos'
    , que es lo que queriamos demostrar.

    OBSERVACIÓN: Si 'Grupos'
    es un grupo cíclico finito, el teorema anterior nos da una formula para calcular en orden de cualquier elemento de 'Grupos'

    EJEMPLO:

    'Grupos'

    'Grupos'

    'Grupos'

    COROLARIO(Caracterización de los generadores de un grupo cíclico): Sea 'Grupos'
    un grupo cíclico, 'Grupos'
    . Entonces:

  • Si 'Grupos'
    entonces los generadores de 'Grupos'
    son 'Grupos'
    , donde 'Grupos'
    y 'Grupos'

  • Si 'Grupos'
    entonces los generadores de 'Grupos'
    son 'Grupos'
    y 'Grupos'

  • TEOREMA(Caracterización de los subgrupos de un grupo cíclico): Sea 'Grupos'
    un grupo cíclico, 'Grupos'
    , y 'Grupos'
    . Entonces los subgrupos de 'Grupos'
    son:

    'Grupos'
    , donde 'Grupos'
    y 'Grupos'

    Además, solo existe un subgrupo por cada orden.

    PROPOSICIÓN: Sea 'Grupos'
    un homomorfismo de grupos y 'Grupos'
    cíclico, 'Grupos'
    . Entonces para conocer 'Grupos'
    basta con conocer 'Grupos'
    .

    Demostración:

    Si 'Grupos'
    , 'Grupos'
    . Por tanto

    'Grupos'

    TEOREMA: Sean 'Grupos'
    , 'Grupos'
    dos grupos cíclicos, 'Grupos'
    , 'Grupos'
    . Entonces todos los posibles isomorfismos entre 'Grupos'
    y 'Grupos'
    son todos los posibles homomorfismos entre 'Grupos'
    y 'Grupos'
    tales que llevan un generador de 'Grupos'
    en otro de 'Grupos'
    .

    De ahora en adelante, y siempre que no haya lugar a confusión, representaremos los grupos por el conjunto en el que están construidos

    Para ver que todo elemento tiene inverso necesitamos el Teorema de Bezout:

    Si 'Grupos'
    y 'Grupos'
    entonces 'Grupos'

    Veamos un ejemplo: El inverso de 'Grupos'
    en 'Grupos'
    Se trata de hallar 'Grupos'
    tal que 'Grupos'
    . Pero 'Grupos'
    Luego 'Grupos'

    Vease página 4

    Si el grupo fuera aditivo, entonces 'Grupos'

    Si el grupo fuera aditivo, entonces el conjunto sería 'Grupos'

    'Grupos'

    Si 'Grupos'
    es aditivo entonces sería 'Grupos'

    Véase página 4

    Son el mismo por ser 'Grupos'

    'Grupos'

    Lo que hacemos al crear 'Grupos'
    es fracturar 'Grupos'
    en subconjuntos(Clases de equivalencia) y tratarlos como elementos, de tal manera que al contener cada subconjunto a los elementos que tienen la misma imagen, podemos considerar cada subconjunto como un elemento del conjunto 'Grupos'
    (De hecho, lo son), existiendo entonces un isomorfismo entre ambos conjunto ('Grupos'
    e 'Grupos'
    )

    'Grupos'

    Demostración análoga para grupos aditivos

    De ahora en adelante, y para simplificar la nomenclatura representaremos 'Grupos'
    como 'Grupos'

    Por definición de 'Grupos'

    ´Por el Teorema de Lagrange

    Tengase en cuenta que el grupo es aditivo

    'Grupos'

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