GRUPOS
• CONCEPTOS BÁSICOS:
OBSERVACIÓN: En este tema todos los conjuntos son no vacios, a menos que se especifique lo contrario.
• GRUPOIDES:
DEFINICIÓN: Sea 
un conjunto y 
una operación binaria en 
, (
). Entonces se dice que el par 
es un GRUPOIDE
DEFINICIÓN: Sea 
un grupoide, entonces se dice que 
es ELEMENTO NEUTRO de 
(elemento identidad) si se verifica que:
.
PROPOSICIÓN: Si existe elemento neutro , es único:
Demostración:
Sean 
y 
elementos neutros de 
. Entonces:
DEFINICIÓN: Sea 
un grupoide con elemento neutro. Entonces se dice que 
tiene ELEMENTO INVERSO(elemento opuesto) si:
OBSERVACIÓN: En un grupoide con elemento neutro los elementos inversos, si existen, pueden no ser únicos.
EJEMPLO:
Grupoide
| inverso de 
| inverso de 
|
| inverso de 
| inverso de 
|
• SEMIGRUPOS:
DEFINICIÓN: Se dice que 
es un SEMIGRUPO si 
es un grupoide con la propiedad asociativa. Matematicamente:
PROPOSICIÓN: Sea 
un semigrupo con elemento neutro. Entonces el elemento inverso, si existe, de cualquier elemento de 
es único.
Demostración:
Sea 
un semigrupo y 
su elemento neutro. Entonces:
son inversos de 
. Por tanto:
EJEMPLO: Sea 
, y 
(composición de funciones). Entonces:
es un semigrupo con elemento neutro 
¿Qué elementos tienen inverso?
(Por el teorema de la biyección)
Por tanto tienen inverso las funciones biyectivas, y su inversa es la función inversa.
• HOMOMORFISMOS:
DEFINICIÓN: Sean 
y 
dos grupoides. Entonces una aplicación entre 
y 
es un HOMOMORFISMO si se verifica que:
EJEMPLO:
¿Es homomorfismo? 
Luego no es homomorfismo
DEFINICIÓN: Se dice que:
Un homomorfismo inyectivo es un monomorfismo
Un homomorfismo suprayectivo es un epimorfismo
Un homomorfismo biyectivo es un isomorfismo
Un homomorfismo de 
en 
es un endomorfismo
Un endomorfismo biyectivo es un automorfismo
• GRUPOS:
DEFINICIÓN: Sea un semigrupo con elemento neutro, tal que todos los elementos tienen elemento inverso. Entonces dicho semigrupo se llama GRUPO. Es decir, un GRUPO es un par 
, donde 
es una operación binaria en 
que verifica :
DEFINICIÓN: Sea un grupo 
, donde 
es una operación binaria en 
que verifica las condiciones anteriormente expuestas, y además es conmutativo, es decir:
Entonces se dice que dicho grupo es un GRUPO CONMUTATIVO o ABELIANO.
PROPOSICIÓN: Sea un GRUPO 
. Entonces se verifica que:
Demostración:
El elemento neutro es único(Por ser Grupoide)
el inverso de 
es único.
Demostración:
Demostración:
es abeliano 
Demostración:
• EJEMPLOS:
| 
| Grupo Abeliano | 
| Grupo Abeliano |
| 
| Semigrupo con elemento neutro | 
| Grupo Abeliano |
| 
| Semigrupo sin elemento neutro | 
| Grupo Abeliano |
| 
| Semigrupo con elemento neutro | 
| Grupo Abeliano |
| 
| Semigrupo con elemento neutro | 
| Grupo Abeliano |
• EJEMPLOS FUNDAMENTALES DE GRUPOS:
• GRUPO DE LAS APLICACIONES BIYECTIVAS DE UN CONJUNTO: Sea 
y 
y “
” la composición de aplicaciones. Entonces 
es el grupo de las aplicaciones biyectivas de 
. Veamos que se cumplen las tres propiedades:
¿
?
Sea 
, 
y 
. 
pertenece claramente a 
, por ser biyectiva. Entonces:
Luego se verifica.
Sean 
y 
. Entonces:
Luego se verifica
(por el teorema de la biyección)
Luego se verifica.
• GRUPO DE LAS PERMUTACIONES DE N ELEMENTOS: Sea 
y 
el conjunto de las permutaciones de 
. Entonces 
es grupo por ser un caso particular del anterior, ya que las permutaciones son aplicaciones biyectivas.
• GRUPO SIMÉTRICO DE N ELEMENTOS: Otra manera de representar y llamar al grupo de las permutaciones de n elementos es como el grupo simétrico de n elementos, representado por 
, formado por elementos de la forma:
Donde 
es un elemento de 
(
), de tal manera que lo que hace cada elemento de 
es asignar a cada elemento de 
otro elemento de 
, que es el que está en la parte inferior de su columna. Es, pues, una reordenación. Se puede comprobar que es un grupo.
EJEMPLO:
, 
Evidentemente existe elemento neutro, todos los elementos tienen elemento inverso, y además, el grupo no es abeliano.
También podemos verlo como el grupo de las isometrías del triángulo equilátero(giros sobre el centro y las alturas), o grupo diédrico de orden 6:
• GRUPO ADITIVO: Sea 
. Consideramos el conjunto 
y en el la operación “
”definida por:
Entonces el par 
es un grupo abeliano, llamado grupo aditivo.
Demostración:
Sea 
y 
Luego se verifica
Sean 
Luego se verifica
Sean 
Luego se verifica
Veamos si es conmutativo:
Sean 
Luego se verifica.
Por tanto 
es un grupo abeliano.
• GRUPO MULTIPLICATIVO: Sea 
y 
primo. Consideramos el conjunto 
y en él la operación “
”definida por:
Entonces el par 
es un grupo abeliano, llamado grupo multiplicativo.
Demostración:
Sea 
y 
Luego se verifica
Sean 
Luego se verifica
Sea 
Entonces, por ser 
primo, se verifica que:
Por tanto:
Luego se verifica
Veamos si es conmutativo:
Sean 
Luego se verifica.
Por tanto 
es un grupo abeliano.
• GRUPO DE MATRICES: Sean “
” y “
” la adición y el producto habitual entre matrices. Entonces:
• 
es GA (Matrices reales de orden mxn) y 
• 
es GA (Matrices reales cuadradas con determinante no nulo). Se llama Grupo lineal de orden n. 
• 
es GA (Matrices reales cuadradas con determinante la unidad). Se llama Grupo especial lineal de orden n. 
• 
es GA (Matrices reales cuadradas ortogonales). Se llama Grupo ortogonal de orden n. 
• 
es GA (Matrices reales cuadradas ortogonales con determinante la unidad). Se llama Grupo ortogonal especial de orden n. 
OBSERVACIÓN:
• SUBGRUPOS:
DEFINICIÓN: Sea 
un grupo y 
. Entonces se dice que 
es un SUBGRUPO de 
, y se escribe 
si 
es un grupo.
Por tanto, para ver si un subconjunto es subgrupo es necesario comprobar si :
¿ Es 
operación en 
?
¿ Es 
asociativa en 
?
¿ Es 
conmutativa en 
?
¿ Existe elemento neutro en 
?
¿ Existe elemento inverso en 
?
TEOREMA: Sea 
un grupo, 
, 
. Entonces:
es grupo 
Demostración:
Si 
¿
?
por ser 
grupoide
por ser 
grupoide
Si 
¿
? 
¿
grupo? 
Luego queda demostrado
OBSERVACIÓN: Si 
es aditivo entonces 
EJEMPLO:
TEOREMA(de Lagrange): Sea 
un grupo finito y 
. Entonces el orden de 
divide al orden de 
.
Este teorema se aplica al cálculo del número de subgrupos.
EJEMPLO: Veamos los subgrupos de 
:
Subgrupo de orden 1: 
Posibles subgrupos de orden 2: 
Posibles subgrupos de orden 3: 
Subgrupo de orden 6: 
Estudiemos los posibles subgrupos de orden 3:
| 
|
| 
| No es subgrupo para 
|
| 
| No es subgrupo para 
|
| 
| No es subgrupo para 
|
| 
| No es subgrupo para 
|
| 
|
| 
| No es subgrupo para 
|
| 
| No es subgrupo para 
|
| 
| No es subgrupo para 
|
| 
|
| 
| Si es subgrupo para 
|
| 
| No es subgrupo para 
|
Luego el único subgrupo de orden 3 es 
TEOREMA: Sea 
un grupo y 
subgrupos de 
. Entonces 
.
Demostración:
Sea 
¿ 
Luego la intersección de subgrupos es un subgrupos.
OBSERVACIÓN: La union de subgrupos, en general no es un subgrupo.
• SISTEMA GENERADOR:
IDEA INTUITIVA: Si 
es un subconjunto de 
, y no es subgrupo, ¿Qué hay que añadirle para que lo sea?.
DEFINICIÓN: Sea 
un grupo y 
. Entonces se define el SUBGRUPO GENERADO POR S, denotado por 
como:
Podemos decir que 
es el subgrupo “más pequeño” que contiene a 
OBSERVACIÓN: Por el teorema anterior 
, y 
DEFINICIÓN: Si 
es un grupo y 
entonces se dice que 
es un SISTEMA GENERADOR de 
.
TEOREMA: Sea 
un grupo y 
. Entonces:
Entendiendo que: 
EJEMPLO:
DEFINICIÓN: Sea 
un grupo y 
. Entonces se define el conjunto:
TEOREMA: Sea 
un grupo abeliano y 
. Entonces:
Demostración:
Donde la condición imprescindible es que 
sea abeliano.
DEFINICIÓN: Sea 
un GA y 
. Entonces se dice que 
es suma directa si 
EJEMPLO:
Por el concepto de mcm
Luego:
• GRUPO COCIENTE:
DEFINICIÓN: Sea 
un grupo y 
. Entonces se establece una relación binaria tal que:
OBSERVACIÓN:
es una relación de equivalencia.
Demostración:
Si, por 
.
Si
Si
A la relación anterior se le llama “Adjunción por la izquierda” y se suele escribir 
9
De forma similar se define 
. Se demuestra que es de equivalencia y se llama “Adjunción por la derecha”. Además, las clases de equivalencia son: 
En general 
Sea 
. En tal caso 
EJEMPLO:
EJEMPLO:
pues poseen elementos distintos
DEFINICIÓN: Sea 
un grupo y 
. Entonces se dice que
es NORMAL, INVARIANTE o DISTINGUIDO, y se representa por 
si:
PROPOSICIÓN: Si 
es abeliano, entonces todo subgrupo es normal.
TEOREMA(Caracterización de subgrupos normales): Sea 
un grupo y 
. Entonces:
Demostración :
Véase apéndice.
DEFINICIÓN: Sea 
un grupo y 
. Se representa por 
al conjunto cociente 
ó 
. Si definimos:
Entonces se tiene que 
es un grupo llamado GRUPO COCIENTE.
Demostración:
Veamos que 
es operación interna. Evidentemente es aplicación, pero ¿Depende del representante?
Sean:
(
) (
)
(
) (
)
Luego no depende del representante. Por tanto es operación interna.
Veamos ahora que 
posee elemento neutro
Por tanto posee elemento neutro.
Estudiamos ahora si es asociativa:
Luego es asociativo.
Verificamos ahora que posee elemento inverso:
???
Luego tiene elemento inverso.
Por tanto queda demostrado que 
es grupo
EJEMPLO:
Por ser 
abeliano se verifica que 
Luego
• HOMOMORFISMO DE GRUPOS:
DEFINICIÓN: Sean 
y 
grupos. Entonces se dice que la aplicación 
es un homomorfismo de grupos si se verifica que:
OBSERVACIÓN:
Se introducen los conceptos de auto, epi, homomorfismo, etc..
Se dice que dos grupos son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, y se escribe 
PROPOSICIÓN:
Demostración:
Sea 
Luego 
Demostración:
Sea 
Como el inverso es único , resulta que 
Luego efectivamente 
DEFINICIÓN: Sea 
un homomorfismo de grupos. Entonces se define:
El núcleo de 
como el conjunto 
La imagen de 
como el conjunto 
TEOREMA: Sea 
un homomorfismo de grupos. Entonces se verifica que:
Demostración:
Evidentemente 
, ya que 
Luego es subgrupo. Veamos si es normal.
Luego es subgrupo normal. Queda demostrado
es monomorfismo si y solo si 
Demostración:
Como 
es monomorfismo resulta que 
es inyectivo.
Sea 
por ser 
inyectivo
Luego 
¿ Es 
monomorfismo ? 
¿ Es 
inyectivo? 
¿ 
?
Sean 
Demostración:
Evidentemente 
, ya que 
Luego queda demostrado
es epimorfismo si y solo si 
Demostración:
Como 
es epimorfismo resulta que 
es suprayectiva
Por tanto 
Como la condición de pertenecer a 
se verifica 
resulta que 
Por tanto 
, luego 
es suprayectiva y por tanto epimorfismo
TEOREMA(Isomorfía): Sean 
y 
dos grupos, y sea 
un homomorfismo de grupos. Entonces se verifica que:
Sabemos que 
. Veamos, pues, el grupo cociente:
¿Cuáles son las clases?
Demostración:
Veamos que : 
es aplicación, homomorfismo y es suprayectiva.
Para ver que es aplicación veamos que no depende del representante:
Sea 
Luego no depende del representante
Veamos ahora que es homomorfismo:
Luego es homomorfismo
Veamos ahora que es inyectivo:
Pero 
Luego es inyectivo
Veamos ahora que es suprayectivo
Por definición de imagen:
Luego es suprayectivo.
Por tanto existe un homomorfismo biyectivo entre ambos grupos, y son isomorfos.
PROPOSICIÓN: Al igual que hicimos con aplicaciones, es posible descomponer canonicamente un homomorfismo:
EJEMPLO:
Demostrar que 
. Para ello vamos a convertir a 
en el nucleo de un isomorfismo.
Definimos:
Veamos que 
es homomorfismo:
Luego es homomorfismo
Evidentemente 
, ya que 
Veamos quien es la imagen:
Luego 
, y por tanto son isomorfos, según el Teorema de Isomorfía
OBSERVACION:
Si 
es suprayectivo(epimorfismo), entonces 
Si 
es inyectivo(monomorfismo), entonces 
Si 
es biyectivo(isomorfismo), entonces 
EJEMPLO:
Veamos que 
es un homomorfismo:
Luego es homomorfismo
Veamos si es inyectivo:
Luego 
no es inyectiva
Evidentemente es suprayectiva, pues 
Por tanto se verifica que:
EJEMPLO:
Veamos que 
es un homomorfismo:
Luego es homomorfismo
Veamos si es inyectivo:
Luego 
no es inyectiva
Evidentemente es suprayectiva, pues 
Por tanto se verifica que:
• GRUPOS CICLICOS:
DEFINICIÓN: Sea 
un grupo. Entonces se dice que 
es cíclico si:
Es decir, si:
Grupo multiplicativo 
Grupo aditivo 
EJEMPLO:
Veamos ahora un caso de un grupo no ciclico:
Buscamos 
Si 
resulta que como 
Luego 
no es ciclico.
PROPOSICIÓN: Todo grupo cíclico es abeliano.
Demostración:
Sea 
un grupo cíclico multiplicativo. Por tanto 
, es decir:
Sean 
Entonces:
PROPOSICIÓN: Todo subgrupo de un grupo cíclico es normal
OBSERVACIÓN: Para ser cíclico ha de ser abeliano.
TEOREMA: Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.
Demostración:
Sea 
un grupo cíclico y 
¿
es cíclico? 
Sea 
, y sea 
el ínfimo de 
, que siempre existe por el axioma del supremo.
Veamos que
Basta utilizar que 
es el menor subgrupo que contiene a 
.
Si 
, y como 
resulta que 
Sea 
Aquí distinguimos tres casos:
como:
y:
ocurre que 
Luego 
, y por tanto 
En este caso basta comprobar si 
, ya que por ser 
un
subgrupo ser verifica que:
con lo que volveriamos al caso 1
Sabemos que: 
, lo que nos lleva al caso 1
DEFINICIÓN: Sea 
un grupo y 
. Entonces se define el orden de 
como el orden del subgrupo que genera, y se escribe 
PROPOSICIÓN: Sea 
un grupo finito. Entonces si 
, el orden de 
es el menor entero positivo 
tal que 
. Además, en ese caso se verifica que:
ya que:
Con lo que volveríamos a empezar.
PROPIEDADES:
Sea 
un grupo finito de orden 
. Entonces 
Sea 
un grupo y 
con 
. Entonces si 
y 
se verifica que 
Sea 
un grupo finito, con 
y 
primo. Entonces 
es cíclico
(Teorema pequeño de Fermat) En 
se verifica que 
Demostración:
Sea 
Por otro lado:
TEOREMA(De clasificación): Sea 
un grupo cíclico. Entonces:
Si 
tiene orden infinito entonces 
Si 
tiene orden finito entonces 
Demostración:
Sabemos que 
Definimos un isomorfismo tal que:
Veamos que es homomorfismo:
Luego es homomorfismo.
Veamos ahora si es suprayectivo:
Como 
es cíclico 
Luego es suprayectivo
Veamos ahora si es inyectivo:
¿
es inyectivo? 
Supongamos que existe 
. Eso implica que 
es un grupo finito de 
elementos, lo que es imposible
Supongamos que existe 
, lo que es imposible, como ya hemos visto, por ser 
infinito.
Por tanto 
, y 
es inyectivo.
Luego efectivamente 
es un isomorfismo y 
Si 
, entonces
Definimos entonces un isomorfismo:
que, como se puede comprobar, es efectivamente un isomorfismo. Por tanto 
COROLARIO: Dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos.
TEOREMA: Sea 
un grupo y 
, 
. Entonces, si 
, 
, se tiene que:
Demostración:
Sea 
un grupo, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Entonces:
Por tanto 
Y como 
, 
, resulta que 
, luego 
, que es lo que queriamos demostrar.
OBSERVACIÓN: Si 
es un grupo cíclico finito, el teorema anterior nos da una formula para calcular en orden de cualquier elemento de 
EJEMPLO:
COROLARIO(Caracterización de los generadores de un grupo cíclico): Sea 
un grupo cíclico, 
. Entonces:
Si 
entonces los generadores de 
son 
, donde 
y 
Si 
entonces los generadores de 
son 
y 
TEOREMA(Caracterización de los subgrupos de un grupo cíclico): Sea 
un grupo cíclico, 
, y 
. Entonces los subgrupos de 
son:
, donde 
y 
Además, solo existe un subgrupo por cada orden.
PROPOSICIÓN: Sea 
un homomorfismo de grupos y 
cíclico, 
. Entonces para conocer 
basta con conocer 
.
Demostración:
Si 
, 
. Por tanto
TEOREMA: Sean 
, 
dos grupos cíclicos, 
, 
. Entonces todos los posibles isomorfismos entre 
y 
son todos los posibles homomorfismos entre 
y 
tales que llevan un generador de 
en otro de 
.
De ahora en adelante, y siempre que no haya lugar a confusión, representaremos los grupos por el conjunto en el que están construidos
Para ver que todo elemento tiene inverso necesitamos el Teorema de Bezout:
Si 
y 
entonces 
Veamos un ejemplo: El inverso de 
en 
Se trata de hallar 
tal que 
. Pero 
Luego 
Vease página 4
Si el grupo fuera aditivo, entonces 
Si el grupo fuera aditivo, entonces el conjunto sería 
Si 
es aditivo entonces sería 
Véase página 4
Son el mismo por ser 
Lo que hacemos al crear 
es fracturar 
en subconjuntos(Clases de equivalencia) y tratarlos como elementos, de tal manera que al contener cada subconjunto a los elementos que tienen la misma imagen, podemos considerar cada subconjunto como un elemento del conjunto 
(De hecho, lo son), existiendo entonces un isomorfismo entre ambos conjunto (
e 
)
Demostración análoga para grupos aditivos
De ahora en adelante, y para simplificar la nomenclatura representaremos 
como 
Por definición de 
´Por el Teorema de Lagrange
Tengase en cuenta que el grupo es aditivo
Grupos
Grupos
Grupos
