Gravitación universal

Química # Leis de Kepler. Campos de forzas centrais. Enerxía potencial gravitatoria. Satélites artificiais

  • Enviado por: Xurxo
  • Idioma: gallego
  • País: España España
  • 12 páginas
publicidad

GRAVITACIÓN UNIVERSAL

1ª) HISTORIA DA GRAVITACIÓN: LEIS DE KEPLER

Ao longo da historia xurdiron diversas teorías para explicar o funcionamento do Sistema Solar:

  • Ptolomeo de Alexandría (100-170): o So, e os demáis planetas describen órbitas circulares aorredor da Terra, que permañece fixa. Ésta é a teoría xeocéntrica

  • Copérnico (1473-1543): os planetas xiran en torno ao Sol en órbitas circulares

  • Tycho brahe (1546-1601): realizou un gran nº de medidas astronómicas, que evidenciaron que o movemento dos planetas non era circular

  • Kepler (1571-1630): fai un gran nº de medidas astronómicas, e aproveitando os datos de Tycho Brahe enuncia as tres leis que explican a configuración do Sistema Solar:

  • Tódolos planetas móvense en órbitas elípticas tendo ao Sol nun dos focos da elipse

  • O radio vector que xungue ao centro do Sol co planeta varre áreas iguais en tempos iguais. Isto ven a dicir que o planeta vai máis rápido cando está máis cerca do Sol (perihelio) que cando está máis lonxe (afelio)

  • O cociente entre o cadrado do tempo de revolución en torno ao Sol dun planeta e o cubo do semieixo maior da súa órbita é o mesmo para tódolos planetas (constante):

  • 2ª) CAMPOS DE FORZAS CENTRAIS

    a) Forzas centrais

    Son aquelas forzas nas que a súa liña de acción pasa sempre por un mesmo ponto fixo, chamado centro. Así a forza e o vector de posición teñen sempre a mesma dirección. Unexemplo de forza central é a debida ao campo gravitatorio que sempre ten carácter atractivo. Outro exemplo serían as forzas debidas ao campo eléctrico, que poden ser atractivas ou repulsivas:

    m

    m m

    m

    M é a masa central, m son as masas da periferia, é a forza central de interacción entre M e m, e é un vector unitario de dirección radial. Como o vector e o vector son opostos, a súa relación matemática ten signo negativo:

    onde K é unha relación de proporcionalidade

    b) Conservación do momento angular

    Para unha partícula de masa m que se desplaza cunha velocidade debida a unha forza central , o momento angular está dado pola seguinte expresión:

    Onde é o vector de posición da partícula e é o momento liñal da partícula

    z

    y

    x

    m

    Unha vez definido o momento angular , imos ver como varía co tempo.

    • Primeiramente realizamos a súa derivada respecto ao tempo:

    • Tendo en conta que: e que , podemos escribir que: , posto que se trata do producto vectorial de dous vectores paralelos (sen90º = 0)

    • Por outro lado podemos escribir que:

    • Finalmente: , e o producto dunha forza polo vector de posición é o momento da forza:

    • Como a forza é unha forza central, e teñen a mesma dirección (son paralelos), e o seu producto vectorial é 0 (sen90º = 0):

    Principio de conservación do momento angular

    Aplicando éste principio ao movemento dun planeta en torno ao Sol, debido a un campo de forzas centrais, dedúcense as seguintes consecuencuias:

    • Dirección de constante: o planeta ten unha traxectoria plana, xa que se non fose así cambiaría de dirección.

    • Senso de constante: o planeta xira sempre no mesmo senso, xa que se cambiara de senso, tamén cambiaría o senso de .

    Deste principio de conservación dedúcese a 2ª lei de Kepler do movemento planetario: “as áreas barridas polo radio vector que xungue ao Sol co planeta son iguais en tempos iguais”. Imos facer a súa demostración matemática aplicada ao movemento dun planeta en torno ao Sol:

    • Nun tempo dt, o vector varre a área dA, que aproximaremos á área do triángulo OAB:

    B

    ds

    A

    • Por outro lado, o módulo do momento angular é:

    E usando a expresión anterior: , porque tanto L como m son constantes. é a velocidade areolar, que representa a área que varre o vector nun tempo dado.

    c) Carácter conservativo dunha forza central

    Tódalas forzas centrais son conservativas, é decir, o traballo realizado por éstas forzas para desplazar a unha partícula de masa m dende o ponto A ata o ponto B non depende do camiño percorrido, senón dos pontos inicial e final.

    Unha forza central exprésase como o gradiente dun campo escalar : ou

    Ao realizar un traballo que vaia dende un poto inicial A ata un ponto final B e regrese ao ponto inicial (traballo ao longo dunha liña pechada), teremos:

    Posto que o traballo total realizado non depende do camiño percorrido senón dos pontos inicial e final, as forzas son conservativas.

    Outro xeito de decir que unha forza é conservativa é que ao actuar sobor dun corpo de masa m a Enerxía mecánica permañece constante. A enerxía mecánica é a suma das enerxías potencial e cinética que posee un corpo, e ésta suma é constante:

    Para demostrar isto, suporemos que un corpo se desplaza dende o ponto A ata o ponto B. Imos ver canto vale o traballo aplicado sobor dese corpo:

    • Igualando as expresións anteriores:

    4ª) LEI DA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

    Baseándose nas leis de Kepler, Newton demostrou que a forza que rexe o movemento dos planetas é unha forza central, á que chamou Forza Gravitatoria. Aplicando éstes conceptos ao movemento da Terra en torno ao Sol nunha órbita circular (para simplificar cálculos), teremos:

    • O movemento da Terra é circular e uniforme:

    !

    an é constante porque a velocidade v, e o radio de xiro r, tamén o son

    • En base á 2ª lei da Dinámica, sempre que existe unha aceleración sobor dun corpo de masa m, será debida á existencia dunha forza F: . Ésta forza está dirixida cara ao centro do Sol: FS-T, e tendo en conta que nun movemento circular cúmplese que , podemos escribir o seguinte:

    • Por outro lado, ao ser un movemento circular uniforme, existirá un periodo T de rotación:

    Ao sustituir na expresión de FS-T, teremos:

    • Multiplicando e dividindo por r2, e tendo en conta a terceira lei de Kepler :

    • En base á 3ª lei da Dinámica (acción e reacción), se o Sol exerce unha forza sobor da Terra, ésta exercerá outra forza sobor do Sol, igual pero de senso contrario:

    • Como as forzas son iguais, podemos igualar ambas expresións:

    • Ao sustituir a expresión anterior en F, teremos:

    Onde G = 6,67.10-11 N.m2.Kg-2 (constante de gravitación universal)

    • A expresión vectorial da forza é:

    O signo menos é debido a que e teñen sensos contrarios.

    M m

    5ª) CAMPO GRAVITATORIO

    a) Intensidade de Campo Gravitatoiro

    Sexa unha masa M e nas súas proximidades consideramos outra masa m. Ésta masa m é atraída pola masa M cunha forza que ven dada pola expresión vista no apartado anterior. Ao alonxar á masa m da masa M a unha distancia maior que a inicial disminue a forza con que a masa M a atrae. Chega un momento que ao alonxar tanto a masa m a forza que exerce M sobor de m é nula: dícese entón que m está no infinito e á rexión do espacio onde M manifesta os seus efectos chámaselle Campo Gravitatorio.

    Todo Campo Gravitatorio está determiñado por tres elementos que o definen:

    • A intensidade do Campo

    • O potencial do campo

    • As liñas de forza (que nos permiten visualizar ao Campo)

    Defínese Intesidade de campo gravitatorio nun ponto, como a forza que exerce a masa que xenerou o campo sobor da unidade de masa colocada nese ponto:

    !

    Tal e como se pode observar, é unha magnitude vectorial que posee a mesma dirección e senso que a forza gravitatoria.

    Se tivésemos varias masas que xeneren cada unha delas campos gravitatorios, o campo gravitatorio xeral será a suma vectorial dos campos xerados por cada masa:

    b) Campo Gravitatorio terrestre

    Aplicando a expresión terrestre a un corpo situado na superficie da Terra, teremos:

    c) Liñas de forza do Campo Gravitatorio

    As liñas de forza do Campo gravitatorio xerado por unha masa M, representan o camiño percorrido por unha partícula de masa m abandonada nese Campo gravitatorio. O Campo é radial dirixido sempre hacia M. O nº de liñas de campo que atravesan unha superficie S van depender dunha serie de factores:

    • Tamaño da superficie

    • Nº de liñas de campo

    • Posición da superficie: se a superficie é perpendicular ás liñas de campo, o nº de liñas de campo que atravesan á superficie será máxima, e se é paralela será mínima

    d) Fluxo do Campo Gravitatorio

    Defínese unha nova magnitude chamada Fluxo do campo () como o nº de liñas de campo que atravesan unha superficie dada S:

    Se o campo non é uniforme, a intensidade en cada ponto da superficie varía, polo cal teremos que coller un elemento dS de superficie:

    Se a superficie é pechada, o fluxo total do Campo pode ser de dous tipos:

    • Fluxo positivo se as liñas de campo saen fora da superficie

    • Fluxo negativo se as liñas de campo entran na superficie

    Para o Campo Gravitatorio, cúmplese que  < 0 xa que as liñas de campo entran na superficie

    6ª) ENERXÍA POTENCIAL GRAVITATORIA

    Cando as forzas son conservativas, o traballo só depende da posición inicial e da posición final do corpo a tratar, e a cada ponto da traxectoria seguida por ese corpo pódeselle asignar un escalar, chamado Enerxía Potencial (EP).

    • A forza gravitatoria é unha forza central , e polo tanto, será conservativa, Ao desprazar a unha partícula de masa m dende o ponto B ata o A, teremos que o traballo realizado será:

    • Por outro lado, o traballo defínese como:

    • Comparando ambas expresión, podemos escribir o seguinte:

    • Finalmente, a enerxía potencial graviatoria defínese como:

    • O signo menos significa o seguinte: se a enerxía potencial a unha distancia infinita é cero, a medida que nos imos aproximando ao centro do campo, a enerxía disminue (aumenta en valor negativo, o que sognifica que é unha enerxía desprendida).

    A pequenas alturas sobor do chan, a Enerxía potencial gravitatoria pode expresarse do seguinte xeito:

    A enerxía potencial pode ser positiva ou negativa, dependendo da orixe do sistema de referencia que se considere.

    • Se usamos a expresión para pontos situados na superficie da Terra, a enerxía potencial ten valor positivo.

    • Se usamos a expresión , suponse a orixe nun ponto inifitamente afastado da Terra. Así o signo da enerxía potencial será negativo

    7ª) POTENCIAL GRAVITATORIO

    Defínese o potencial gravitatorio V, á enerxía potencial gravitatoria por unidade de masa en cada ponto do campo gravitatorio.

    !

    O Potencial gravitatorio nun ponto equivale ao traballo que temos que facer para levar (con velocidade constante) á unidade de masa dende o infinito ata ese ponto.

    O lugar xeométrico dos pontos do espacio que poseen o mesmo valor do Potencial gravitatorio chámase superficie equipotencial:

    • Son superficies concéntricas e perpendiculares ás liñas de campo

    • En cada superficie, o valor de V permañece constante, é decir, o traballo realizado para desplazar a unha masa por esa superficie é nulo

    Resumindo, nun campo gravitatorio aparecen dúas funcións:

    • Unha función vectorial: vector campo

    • Unha función escalar: potencial

    8ª) SATÉLITES ARTIFICIAIS

    a) Velocidade de escape.

    Para lanzar fora do Campo Gravitatorio terrestre un satélite, é necesario aplicarlle unha velocidade mínima chamada velocidade de escape. Ésta velocidade mínima significa unha enerxía mínima igual ao traballo necesario para levar ao satélite de masa m dende a superficie da Terra ata o infinito.

    Como a Enerxía mecánica permañece constante, aplicamos o principio de conservación da enerxía mecánica a dous pontos: o ponto 1, situado na superficie da Terra, e o ponto 2, situado a unha distancia infinita da superficie terrestre:

    Da expresión anterior despexo v1 e obtemos:

    Tendo en conta que: , podemos escribir o seguinte:

    Para o caso da Terra, g = 9,81 m/s2 e RT = 6378 Km, e sustituindo:

    b) Velocidade orbital

    É a velocidade que debe ter un satélite para manterse xirando nunha órbita circular estacionaria a unha altura h sobor da superficie da Terra.

    A forza con que a Terra atrae ao satélite vale:

    Por outro lado, ao rotar o satélite posee unha forza centrípeta:

    Posto que o movemento é uniforme, v = cte. (at = 0) e aplicando a 2ª lei de Newton:

    Para que isto sexa así as dúas forzas anteriores serán iguais:

    , e despexando o valor de v, teremos.

    Tendo en conta que: , podemos escribir o seguinte:

    c) Periodo de revolución dun satélite

    É o tempo que tarda o satélite en percorrer unha órbita completa. Aplicando as expresións do movemento circular uniforme:

    Tendo en conta que: , podemos escribir o seguinte:

    CUESTIONS SELECTIVO. GRAVITACIÓN UNIVERSAL

  • (Setembro - 2000). Dadas dúas masas m e 2m separadas unha distancia d, xustifica se hai algún ponto intermedio da recta de unión que cumpra:

  • Campo nulo e potencial positivo

  • Campo nulo e potencial negativo

  • Campo e potencial positivos

  • (Setembro - 99). A ingravidez de dous astronautas dentro dunha nave espacial débese a:

  • Que non hai gravedade

  • Que a nave e o astronauta son atraídos pola Terra coa mesma aceleración

  • Que non hai atmósfera

  • (Xuño - 99). Cando un satélite que está xirando aorredor da Terra perde parte da súa enerxía por fricción, o radio da súa órbita é:

  • Maior

  • Menor

  • Mantense constante

  • (Setembro - 98). Un satélite de masa m describe unha traxectoria circular de radio r ao xirar aorredor dun planeta de masa M. A enerxía mecánica do satélite é numericamente:

  • Igual á metade da súa enerxía potencial

  • Igual á súa enerxía potencial

  • Igual ao dobre da súa enerxía potencial

  • (Xuño - 98). Unha masa desprázase nun campo gravitatorio dende un lugar no que a súa enerxía potencial vale -200 J ata outro onde vale -400 J. ¿Cal é o traballo realizado por ou contra o campo?:

  • -200 J

  • 200 J

  • -600 J

  • (Setembro - 97). Cando sobor dun corpo actúa unha forza, a aceleración que adquire é:

  • Proporcional á masa

  • Inversamente proporcional á masa

  • Só depende da forza

  • (Xuño - 97). Un móvil describe un movemento circular plano, co módulo da súa velocidade constante.

  • Existe necesariamente unha aceleración

  • Existe só se o plano non é horizontal

  • Non existe por ser v constante

  • (Setembro - 96). Considérese un corpo sobor da superficie terrestre:

  • A súa masa e o seu peso son os mesmos en tódolos pontos da superficie

  • A súa masa, pero non o seu peso, é a mesma en tódolos pontos da superficie

  • O seu peso, non a súa masa, é o mesmo en tódolos pontos da superficie

  • (Xuño - 96). O traballo realizado por unha forza depende só dos pontos inicial e final da traxectoria:

  • Se as forzas son conservativas

  • Independentemente do tipo de forza

  • Cando non existen forzas de tipo electromagnético

  • SOLUCIÓNS CUESTIONS SELECTIVO. GRAVITACIÓN UNIVERSAL

    1ª) A resposta correcta é a a

    • Campo gravitatorio: ao ser o campo gravitatorio un campo vectorial central dirixido cara hacia cada masa, os dous campos producidos polas masas m e 2m teñen a mesma dirección pero sensos contrarios, polo que hai un ponto intermedio (x) entre as dúas masas nas que o Campo gravitatorio central é nulo:

    g1 g2

    x d - x

    !

    Quedándonos co valor positivo de x, teremos: . A ésta distancia de m, o campo total é nulo

    • Potencial gravitatorio: o Potencial gravitatorio é un campo escalar polo que o potencial total nese ponto x calculado anteriormente, será a suma escalar dos potenciais xerados polas masas m e 2m

    Posto que , entón . É decir, o anterior cociente é positivo, polo tanto, o Potencial gravitatorio nese ponto x é positivo

    2ª) A solución correcta é a b posto que a nave e os astronautas son atraídos pola Tera coa mesma aceleración, e ambos están en caída libre. A celeración que sofren ambos está dada pola seguinte expresión:

    Ésta expresión non depende para nada das masas dos astronautas e da nave espacial. Así ambos sofren a mesma aceleración e polo tanto, ambos teñen a mesma velocidade de caída

    3ª) A solución correcta é a b posto que ao reducir a súa enerxía debido á fricción coa atmósfera terrestre, perde velocidade, é decir, perde Enerxía cinética. Como a enerxía mecánica permañece constante, ao disminuir a EC, ten que aumentar a EP, e polo tanto disminúe o valor do radio de xiro:

    4ª) A solución correcta é a a

    !

    Tendo en conta que a velocidade orbital está dada pola seguinte expresión:

    A forza con que o planeta de masa M atrae ao satélite de masa m vale:

    Por outro lado, ao rotar o satélite posee unha forza centrípeta:

    Posto que o movemento é uniforme, v = cte. (at = 0) e aplicando a 2ª lei de Newton:

    Para que isto sexa así as dúas forzas anteriores serán iguais:

    , e despexando o valor de v, teremos.

    Sustitúo ésta expresión na expresión da Enerxía mecánica:

    é decir, a metade da Enerxía Potencial

    5ª) A solución correcta é a a

    6ª) A solución correcta é a b:

    Segundo a 2ª lei de Newton: ! , é decir, a aceleración dun corpo é inversamente proporcional á súa masa. A maior masa menor aceleración adquirida por unha mesma forza apricada

    7ª) A solución correcta é a a:

    En todo movemento circular uniforme cúmprese que:

    • v é constante e proporcional ao radio de xiro:

    • a aceleración ten dúas compoñentes: unha compoñente tanxencial (at) e unha compoñente normal (an). No movemento circular uniforme cúmprese que at = 0 e an " 0

    • a aceleración normal está dada pola seguinte expresión:

    8ª) A resposta correcta é a b:

    • a masa dun corpo é sempre constante, posto que é unha propiedade extensiva do corpo

    • o peso é unha propiedade dun corpo que varía posto que depende da forza con que é atraído por outro corpo. No caso de que sexa un corpo de masa m atraído pola gravedade terrestre na súa superficie, a expresión do seu peso é:

    9ª) A resposta correcta é a a:

    Tódalas forzas centrais son conservativas, é decir, o traballo realizado por éstas forzas para desplazar a unha partícula de masa m dende o ponto A ata o ponto B non depende do camiño percorrido, senón dos pontos inicial e final.

    Unha forza central exprésase como o gradiente dun campo escalar : ou

    Ao realizar un traballo que vaia dende un poto inicial A ata un ponto final B e regrese ao ponto inicial (traballo ao longo dunha liña pechada), teremos:

    12

    M

    O

    d

    Sol

    T

    M

    m

    B

    A

    M

    V1

    V2

    M

    S

    dS

    RT

    MT

    h

    m

    2m