Geometría

Fundamentos Matemáticos de la Arquirectura # Combinatòria. Logaritmes. Fórmules trigonomètriques. Càlcul. Integrals

  • Enviado por: Sonipse
  • Idioma: catalán
  • País: España España
  • 17 páginas
publicidad

COMBINATÒRIA

Geometría
=Geometría
=Geometría

Geometría
+Geometría
=Geometría

Geometría
+Geometría
+Geometría
+...+Geometría
2n

Geometría
2n-1

2n-1

(x+y)n=xn+Geometría
xn-1y+Geometría
xn-2y2+...+Geometría
yn

Cm,n=Geometría
CRm,n=Geometría

Vm,n=m(m-1)...(m-n+1) VRm,n=mn

Pm=m! PRm,(a,b,...,s)=Geometría

LOGARITMES

Definició

Geometría
amb N>0, i a>1; es defineix: logaN=xax=N

El nombre a és la base del logaritme i el nombre x és el logaritme en base a de N.

Propietats

loga(M.N)= logaM+ logaN

loga(Mn)=n logaM

loga(M/N)= logaM- logaN

loga1=0 ; logaa=1 ; logaGeometría
=Geometría

Notacions

Si a=10 s'escriu log N i rep el nom de Logaritme Decimal.

Si a = e = 2'71828182...s'escriu ln N i rep el nom de Logaritme Neperiá.

Canvis de base

La relació entre el logaritme d'un nombre N en base a i en base b és donada per:

logaN= (logb N)/( logba)

FUNCIONS I FÓRMULES TRIGONOMÈTRIQUES

Definició i relació entre les funcions trigonomètriques

sinA = y/r ; cosA = x/r ; tgA = sin A /cos A= y/x

cosecA = 1/senA = r/y ; secA = 1/cosA = r/x

cotgA = 1/tgA = x/y ;

sin2 A + cos2A = 1

sec2 A- tag2 A = 1

cosec2 A- cotg2 A = 1

2Geometría
radians = 360 graus ;

Fórmules trigonomètriques


sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B

cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B

cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B

tag (A+B) =Geometría

tag (A-B) =Geometría

sin A + sinB = 2 sin Geometría
cosGeometría

cos A+ cos B = 2cosGeometría
cosGeometría

cos A - cos B = -2 sin Geometría
sin Geometría



sin A sin B = ½{cos (A-B) - cos (A+B)}

cos A cos B = ½{cos (A-B) + cos (A+B)}

sin A cos B = ½{sin (A-B) + sin (A+B)}

sin Geometría
= Geometría

cosGeometría
= Geometría

tagGeometría
=Geometría



sin 2A = 2 sin A cos A

cos 2A = cos2A - sin2 A

tag 2A = Geometría

sin3A =3 sinA - 4 sin3A

cos 3A = 4 cos3A - 3cosA

tag 3A = Geometría


Teorema del sinus

Geometría

Teorema del cosinus

Geometría
cosC

NOMBRES COMPLEXOS

Un nombre complex z es pot definir com un parell de nombres reals ordenats x i y , z = (x,y).

Els nombres x i y s´anomenen component real i imaginària de z respectivament.

La parella (x,0) representa el nombre real x.

La parella (0,1) s'anomena unitat imaginària i es representada per i.

Formes d'expressar un complex

Forma Cartesiana: z = (x,y)

Forma Binòmica z = x + iy

Forma Polar z = Geometría
on Geometría
(mòdul de z) i Geometría
(argument de z)

Per tant x = Geometría
i Geometría

Forma Trigonomètrica z =

Forma Exponencial z = Geometría

ja que Geometría
i (fórmules de Moivre-Euler)

Operacions

Suma: (x+iy) + (x'+iy') = (x+x') + i(y+y')

Resta: (x+iy) - (x'+iy') = (x-x') + i(y-y')

Producte: (x+iy).(x'+iy') = (xx'-yy') + i(xy'+yx')

Divisió: Geometría

Les formes polars i exponencial són molt indicades per efectuar productes i divisions. Així:


Geometría

Geometría

Geometría

Geometría


també són les més indicades per efectuar potències i radicacions

Potenciació

Geometría
]Geometría
= Geometría
; Geometría

Radicació

Geometría
; Geometría
per k = 0,1,2,...,n-1

Propietats

oposat de z = x+iy : -z=-x-iy

conjugat de z = x+iy: z* = x-iy

propietats de la cojugació:

z+z* = 2x ; z-z* = 2iy

(z+z')* = z*+z'*

z.z* = Geometría

(z.z')* = z*.z'*

(z/z')*=z*/z'*

El mòdul Geometría
d'un complex z = x+iy, també s'anomena “valor absolut de z” i s'escriu |z|, complint:

|z+z'|Geometría
; |z.z'| = |z|.|z'|

Logaritmació

Sigui z = x+iy=Geometría
. Es defineix ln z =ln i com a part principal de lnz a: lnGeometría
amb Geometría

Exponenciació

Sigui z = x+iy=Geometría
. Llavors

FUNCIONS HIPERBÒLIQUES

L'angle A és el doble de l'àrea ombrejada a la figura.

Geometría


Geometría

sinh(AGeometría
B) = sinhA coshBGeometría
coshA sinhB

cosh(A+B) = coshA coshBGeometría
sinhA sinhB

sinh2A =2sinhA coshA

Geometría

Geometría


Geometría

Geometría

Geometría

Geometría

Geometría


sinh A sinh B = ½{cosh (A+B) - cos (A-B)}

cosh A cosh B = ½{cosh (A+B) + cosh (A-B)}

sinh A cosh B = ½{sinh (A+B) + sinh (A-B)}

Relacions entre les funcions trigonomètriques, les exponencials i les hiperbòliques

Geometría

Geometría

Geometría
Geometría

LÍMIT DE FUNCIONS

si i només si per , existeix un nombre de tal forma que ||f(x)-L||<Geometría
per tot x que sigui 0<||x-a||<Geometría

Formes indeterminades: Geometría

Formes 0/0 Geometría
, regla de L'Hôpital:

Si ­

Forma Geometría

  • Si Geometría

  • S'escull la més senzilla i es resol per la regla de L'Hôpital.

Forma Geometría

  • Si Geometría

  • Si Geometría
    , la indeterminació Geometría
    es transforma en Geometría

  • Si Geometría
    , desapareix la indeterminació

Formes exponencials Geometría

Si les funcions f i g compleixen que el Geometría
és una de les formes indeterminades, llavors tindrem que el o d'un altra manera

TAULA DE DERIVADES

Siguin: k, n, a ,e nombres reals ; e = 2'71828182

y, u, v, ui funcions de la variable independent x, respecte a la qual es deriva, amb vGeometría

y = k

y' = 0

y = xn

y' = n xn-1

y = u + v

y' = u' + v'

y = Geometría

y' = Geometría

y = k . u

y' = k . u'

y = u . v

y' = u'v+uv'

y = Geometría

y' = Geometría

y = u / v

y' = (vu'-uv')/v2

y = 1/u

y' = -u'/u2

y = un

y' = n .u'.un-1

y = au

y' = au u' ln a

y = eu

y' = eu u'

y = loga u

y' = u' / (u ln a)

y = ln u

y' = u' / u

y = sin u

y' = u' cos u

y = cos u

y' = -u' sin u

y = tag u

y' = u' /cos2 u

y = sinh u

y' =u' cosh u

y = cosh u

y' = u' sinh u

y = tagh u

y' = u'/ cosh2 u

y = cosec u

y' = -u' cos u /sin2 u

y = sec u

y' = u' sin u /cos2 u

y = cotag u

y' =-u' /sin2 u

y = cosech u

y' = -u' cosh u /sinh2 u

y = sech u

y' = -u' sinh u /cosh2 u

y = cotagh u

y' = -u' /sinh2 u

y = arc sin u

Geometría

y = arc cos u

Geometría

y = arc tag u

Geometría

y = arc sinh u

Geometría

y = arc cosh u

Geometría

y = arc tagh u

Geometría

y = arc cosec u = arc sin (1/u)

y = arc sec u = arc cos (1/u)

y = arc cotg u = arc tag (1/u)

Geometría

y = arc cotagh u = arc tangh (1/u)

Geometría

SÈRIES DE TAYLOR

Desenvolupament d'una funció d'una variable

Geometría

on Rn ,la resta , es pot calcular per qualsevol de les següents fórmules:

resta de Cauchy;

resta de Lagrange;

Essent un valor qualsevol entre a i x.

Si Geometría
, s'obté una sèrie infinita que s'anomena sèrie de Taylor de f(x) entorn al punt x= a. Si a=0 s'anomena sèrie de MacLaurin.

Exemples

Geometría

REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS

Interseccions amb els eixos

Interseccions amb l'eix X : Les arrels de la equació f(x) = 0 ens donen les interseccions amb l'eix X.

Interseccions amb l'eix Y : L'ordenada del punt d'intersecció de la corba amb l'eix Y es y = f(0).

Estudi de les simetries

Simetria respecte a l'eix X : La corba és simètrica respecte a l'eix X quan per cada valor de x li corresponen dos valors y oposats.

Simetria respecte a l'eix Y : Es simètrica respecte a l'eix Y quan canviem (x) per (-x) i l'ordenada no varia ; y =f(x) = f(-x)

Simetria respecte a l'origen : Es simètrica respecte a l'origen quan canviem (x) per (-x) i la (y) esdevé (-y) ; y = f(x) , -y = f(-x)

Càlcul d'assímptotes

Assímptotes verticals:

  • La recta x = a es una assímptota vertical (positiva) si Geometría

  • La recta x = c es una assímptota vertical (negativa) si Geometría

Assímptotes oblíqües (i horitzontals) :

  • Si existeixen Geometría
    Geometría
    serà una assímptota oblíqua per la dreta . Si m = 0 la recta y = b serà una assímptota horitzontal per la dreta.

  • Si existeixen Geometría
    Geometría
    serà una assímptota oblíqua per l'esquerra. Si m2 = 0 la recta y = b2 serà una assimptota horitzontal per l'esquerra.

Intervals de creixement i decreixement

Si f(x) es contínua, en els intervals on f'(x)>0 [f'(x)<0], la funció creix [decreix]

Concavitat i convexitat

Si f(x) es diferenciable, en els intervals on f''(x)>0 [f''(x)<0], la funció és cóncava [convexa], és a dir, que representa una curvatura de la forma Geometría

Extrems relatius (màxims i mínims)

x0 és un extrem relatiu de f ! f'(x0) = 0

si: f''(x0) < 0 ! x0 màxim relatiu de f(x)

f''(x0) > 0 ! x0 mínim relatiu de f(x)

f''(x0) = 0 ! calculem la primera derivada que no s'anul·li en x0, si es parella o senar es té:

Si és d'ordre parell Geometría

Si és d'ordre senar Geometría
, llavors la funció té un Punt d'inflexió pla en x0, ès a dir, amb tangent horitzontal || a l'eix X.

Punts d'inflexió

Si existeixen punts d'inflexió plans ja hauran aparegut estudiant l'existencia de màxims i mínims.

x0 és un punt d'inflexió de f ! f''(x0) = 0 i exiteix una derivada d'ordre senar Geometría

INTEGRACIÓ: PRIMERES PROPIETATS

Geometría

Regla de Barrow

Si Geometría
Geometría

Intervals infinits

Geometría

Taula d'integrals immediates


Geometría

Geometría

Geometría

Geometría
+C

+C

Geometría
+C

Geometría

Geometría

Geometría

Geometría

Geometría

Geometría

Geometría

+C

Geometría

Geometría

Geometría

Geometría


MÈTODES BÀSICS D'INTEGRACIÓ

Integració per parts

Geometría

Integració de funcions racionals

  • Primer cas: grau P(x) < grau Q(x)

  • Siguin a1... an les arrels (reals i complexes) de Q(x) i siguin Geometría
    els seus graus respectius de multiplicitat

  • Geometría
    sent c el coeficient de major potència de Q(x).

  • Es planteja la igualtat.

  • on el nombres Aij son coeficients a determinar.

  • Es resol l'equació i s'obtenen els coeficients Aij.

  • S'integra cadascun dels sumands que intervinguin a la igualtat plantejada en b) Tenint en compte que:Geometría

  • Si hi ha arrels complexes Geometría
    , llavors

  • , simplificant convenienment el resultat de la integral de P(x)/Q(x), aquest ha de ser un resultat sense valors complexos.

    • Segon cas: grau P(x) Geometría
      grau Q(x)

    s'efectua la divisió obenint un quocient C(x )i una resta R(x) Geometría
    .

    . La és trivial i la correspon al primer cas.

    Integrals del tipus

    El canvi de variable sent u = m.c.m. (n,---,q)

    la transforma en integral d'una funció racional.

    Integrals Binomials Geometría

    El canvi xn = t , x = Geometría
    , dx = Geometría
    ho racionalitza sempre i quan sigui enter un dels tres nombres següents Geometría
    . En cas contrari la racionalització és impossible.

    Integrals del tipus Geometría

    El canvi Geometría
    es redueix la integral d'una funció racional sobre t.

    Integrals del tipus

    • Si m és senar, llavors cos x = t

    • Si n és senar, llavors sin x = t

    • Si m i n son de la mateixa paritat es pot fer tg x = t

    Integrals del tipus Geometría

    El canvi Geometría
    la converteix en la integral de una funció racional en t.

    El procediment generalitzable a Geometría
    amb F sent una funció racional, i f(x) tal que la seva funció inversa tingui derivada racional, llavors el canvi f(x) = t transforma la integral en una racional.

    Taula d'integrals


    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría
    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría


    CÀLCUL D'ÀREES PLANES

    Forma Cartesiana


    Geometría

    I si canvia el signe

    Geometría


    Forma Polar

    Geometría

    Forma Paramètrica

    Geometría

    CÀLCUL DE LA LONGITUD D'UN ARC DE CORBA

    Forma Cartesiana

    Geometría

    Forma Polar

    Geometría

    Forma Paramètrica

    Geometría

    ÀREA D'UNA SUPERFÍCIE DE REVOLUCIÓ AL VOLTANT DE L'EIX X

    Forma Cartesiana

    Geometría

    Forma Polar

    Geometría

    Forma Paramètrica

    Geometría

    VOLUMS DE REVOLUCIÓ AL VOLTANT DE L'EIX X

    Forma Cartesiana

    Geometría

    Forma Polar

    Geometría

    Forma Paramètrica

    Geometría

    AL VOLTANT DE L'EIX Y

    Només cal canviar X per Y, i Y per X, en les fórmules anteriors.

    CENTRES DE GRAVETAT

    D'un arc de corba

    Geometría

    On L es la longitud total del arc on Geometría
    i.e.; Geometría

    D'una àrea plana

    Geometría

    VECTORS

    Sent Geometría
    vectors en coordenades cartesianes

    Mòdul d'un vector: Geometría

    Suma: Geometría

    Producte per un escalar: Geometría

    Vector unitari en la direcció de

    Producte escalar

    Geometría

    Producte vectorial

    Fórmules i propietats diverses

    COORDENADES CURVILÍNIES

    Equacions de transformació

    Factors d'escala

    Geometría

    Base

    Geometría

    Diferencials

    Geometría

    Coordenades polars del pla Geometría

    Coordenades Cilíndriques

    Coordenades Esfèriques

    Geometría

    c

    b

    a

    C

    B

    A

    O

    P(x,y)

    y

    x

    A

    r

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría

    Geometría