Geometría

Geometría del plano. Ángulos. Polígonos. Longitudes. Áreas. Longitud. Figuras. Cuerpos geométricos. Volumen. Superficie

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A) GEOMETRÍA DEL PLANO

1.- Ángulos de un polígono.

Los ángulos son el espacio que hay entre dos semirrectas que parten desde un mismo punto. Según la abertura de estos ángulos, se pueden clasificar en:

-Agudos: si su medida está comprendida entre 0º y 90º.

<90º

-Rectos: si su medida es de 90º.

90º

-Obtusos: si su medida está comprendida entre 90º y 180º.

>90º

-Llanos: si su medida es de 180º.

180º

*El transportador es el instrumento para medir ángulos.

2.- Triángulos: rectas y puntos notables.

Los triángulos se pueden clasificar en dos grupos: según sus lados y según sus ángulos.

-Clasificación según sus lados:

-Triángulo escaleno: no tiene ningún lado igual.

-Triángulo isósceles: son los que tienen dos lados iguales.

A

CB

-Triángulo equilátero: son los que tienen los tres lados iguales.

A

CB

-Clasificación según sus ángulos:

-Acutángulos: son los triángulos con todos sus ángulos menores de 90º.

-Rectángulos: cuando uno de sus lados es de 90º. *

-Obtusángulos: cuando uno de sus ángulos de mayor de 90º.

* Teorema de Pitágoras: En los triángulos rectángulos, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos.

H2 = a2 + c2

-Rectas y puntos notables:

Las mediatrices de un triángulo son rectas perpendiculares de un segmento que pasan por su punto medio.

Las mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro, que está situado a igual distancia de los tres vértices y es el centro de la circunferencia circunscrita.

Las bisectrices de un triángulo son rectas que pasan por los vértices y dividen cada uno en dos ángulos iguales.

Las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro, que está situado a igual distancia de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita.

Las medianas de un triángulo son rectas que pasan por cada vértice y por el punto medio del lado opuesto.

Las medianas se cortan en un punto llamado baricentro, cuya distancia al vértice es el doble que su distancia al punto medio del lado opuesto.

Las alturas de un triángulo son rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice al lado opuesto o a su prolongación.

Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.

3.- Longitudes y áreas de figuras poligonales.

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de los lados.

El área de un polígono es la medida de su superficie.

Rectángulo Romboide

a b

A = a · b A = b · h

Rombo Triángulo

b

A = D · d A = b · h

2 2

Trapecio Polígono regular

B

A = (B+b) · h A = p · a

2 2

4.- Longitudes y áreas de figuras circulares.

La longitud de la circunferencia es 2r.

El área del círculo es r.

Longitud Área

Arco de Sector circular Corona circular Trapecio circular

Circunferencia

L = 2 · nº A = 2 · nº A = (R2 - r ) A = nº(R2 - r2)

360º 360º 360º

B) FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

1.- Prismas y pirámides.

Tanto los prismas como las pirámides pueden ser oblicuos:

→ Prisma oblicuo

Alguna de las caras laterales no es un rectángulo.

→ Pirámide oblicua

Alguna de las caras laterales no es un triángulo isósceles.

PRISMA

Altura Bases: dos polígonos iguales y paralelos

Caras laterales: paralelogramos.

Apotema de la base

PIRÁMIDE

Apotema de la pirámide

Altura Bases: un polígono.

Caras laterales: triángulos.

Apotema de la base

En algunos prismas, cualquier cara puede ser su base por ser todas las caras paralelogramos. Estos prismas se llaman paralelepípedos:

ORTOEDRO CUBO ROMBOEDRO ROMBOIDERO

Todas sus caras Todas sus caras Todas sus caras Todas sus caras

son rectángulos. son cuadrados. son rombos. son romboides.

-TRONCO DE PIRÁMIDE

Pirámide deficiente

Tronco de pirámide

Se obtienen dos cuerpos geométricos que se llaman tronco de pirámide y pirámide deficiente.

*En un ortoedro, el cuadrado de una diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los valores de sus tres dimensiones.

En un ortoedro:

z D = √ x2 + y2 + z2

y

x

Este resultado se conoce como teorema de Pitágoras en el espacio.

2.- Cuerpos redondos.

Un cuerpo redondo se obtiene al girar una superficie plana alrededor de un eje, situado en el mismo plano, de modo que cada punto de esta superficie describe una circunferencia al dar una vuelta completa:

*El eje de simetría de un cuerpo es una recta tal que, si giramos el cuerpo alrededor de ella con un determinado ángulo, se superpone consigo mismo.

*El plano de simetría de un cuerpo es un plano que contiene al eje de simetría y divide el cuerpo en dos mitades que son imagen especular la una de la otra.

3.- Volúmenes de poliedros, cilindros y conos.

El volumen del prisma o cilindro es igual al área de la base por la altura.

V = Abase · h

El volumen de la pirámide o cono es igual a la tercera parte del área de la base por la altura.

V = 1 Abase · h

3

4.- La esfera: elementos, área y volumen.

Al girar un semicírculo alrededor de su diámetro, se genera en el espacio un cuerpo que se llama esfera.

Si solo giramos alrededor de su diámetro la semicircunferencia correspondiente a este semicírculo, se genera una superficie curva llamada superficie esférica, que está formada por todos los puntos que se encuentran a igual distancia

del centro de la esfera.

Al cortar con planos una esfera se obtienen cuatro figuras geométricas:

SEMIESFERA CASQUETE ESFÉRICO ZONA ESFÉRICA HUSO ESFÉRICO

Un plano que pasa Un plano secante Dos planos paralelos Dos planos que

por el centro. a la esfera. Secantes a la esfera. tienen un diámetro

en común.

-VOLUMEN DE LA ESFERA

Vesfera = 2 · Vsemiesfera = 2 (1) Vcilindro = 2 · 2 · r3 = 4 · r3

3 3 3

-ÁREA DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA

La superficie del poliedro está formada por decenas de triángulos, que dan la sensación de una esfera casi perfecta. Si unimos cada vértice de estos triángulos con el centro de la esfera, se forman pirámides triangulares sumando casi el volumen del cuerpo.

-El área de la superficie esférica es: A = 4 · r2

-El volumen de la esfera es: V = 4 · r3

3