Geometría

Poliedros. Volúmenes y áreas. Prisma. Cilindro. Pirámide. Cono. Esfera. Base, altura

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INTRODUCCION

La geometría ha sido desde los principios de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar soluciones a los problemas más comunes de quienes la han aplicado en su vida, pues, entre otros usos, facilita la medición de estructuras sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas y además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas.

En este trabajo se busca destacar y lograr reconocer la geometría en teoría y aplicación, además de identificar cinco figuras geométricas con sus formulas, características, aplicaciones y los procesos que para conseguir su área o volumen se requieran, entre las muchas otras que esta importante y extensa materia abarca.

Con la realización de este trabajo pretendemos la consecución de nuevos y diversos conocimientos que de seguro serán bastante útiles en el resto de nuestra vida escolar, universitaria y profesional.

Mostramos además en este trabajo una variedad de ejercicios de aplicación que demuestran nuestro entendimiento del tema y que debido a la dedicación que esto nos ha significado esperamos sea de su agrado este trabajo.

OBJETIVOS

- Se pretende mediante la realización de este trabajo, reconocer y destacar la importancia de la geometría como tema básico e indispensable para la vida de toda persona.

- Lograr el aprendizaje y reconocimiento de las diferentes figuras que a continuación van a ser presentadas, además de conocer su aplicación y características fundamentales.

- Conocer las formulas y datos generales para obtener de las estructuras estudiadas su área y volumen.

- Por medio de la investigación resolver con facilidad ejercicios de aplicación para la vida, o para nuestros estudios en matemáticas.

EL PRISMA

Definición

Sólido formado por tres o mas planos que se interceptan dos a dos y que están limitados por dos planos paralelos.

Geometría

Partes

Cálculos

- Area lateral:

AL = Pb h

Pb: Perímetro de la base. ( s + r + t)

h : Altura.

- Area total:

AT = AL + 2B

B: Area de una base.

- Volumen

V =Bh

EL CILINDRO

Definición

Se llama cilindro de revolución al cuerpo engendrado por un rectángulo al girar sobre uno de sus lados

( C - C1) como el eje de rotación.

Partes

Bases: Dos círculos (inferior y superior) que limitan el cilindro.

Superficie cilíndrica de revolución: Superficie curva.

Cálculos

- Area lateral

AL = 2  r g

g: generatriz (altura)

r: Radio

- Area total

AT =2  r ( g+r)

- Volumen

V=  r2 g

LA PIRAMIDE

Definición

Se le denominan pirámides a aquellos poliedros limitados por un polígono cualquiera llamado base, y por tantos triángulos como lados tiene la base que concurren en un punto.

Partes

Cálculos

- Area lateral

Como el área lateral se refiere al área de todas las caras laterales, para hallarla se debe sumar las áreas de cada uno de los triángulos que forman la pirámide:

AL= l/2 Pbap

ap: apotema (altura de cualquier lado de los triángulos laterales)

- Area total:

AT= AL+ B

Volumen

V=1/3 B * h

EL CONO

Definición

Se le llama cono al cuerpo engendrado por un triángulo rectángulo al girar sobre unos de sus catetos como eje de rotación.

Partes

- Base: Circulo que limita la figura.

- Superficie cónica de revolución: Superficie curva.

Cálculos:

- Area lateral

AL=  r g

- Area total

AT =  r ( g + r )

- Volumen

V= 1/3  r2 h

LA ESFERA

Definición

Es el sólido que se genera cuando una circunferencia gira sobre uno de sus diámetros.

Partes

r: Radio de la esfera

Cálculos

- Area

A= 4  r2

- Volumen

V= 4/3  r3

Ejercicios.

PRISMA

1. Hallar el área lateral de un prisma cuadrilátero regular recto, sabiendo que el lado de la base mide 6 cms. y su arista lateral 12 cms.

AL = Pb h

= (6 + 6 + 6 + 6) * 12

= 24 * 12

= 288 cm2

2. En un prisma cuadrilátero regular recto, el lado de la base mide 8cm, si la arista lateral mide 10 cm calcular el valor del área total.

AL= (8 * 4) * 10

= 32 * 10

= 320

AT=320 + 2B

= 320 + 128

= 448 cm2

3. En un prisma cuadrilátero regular recto, el lado de la base mide 5 mts, y su arista lateral mide l0 mts, hallar volumen.

V= 25 * 10

= 250 mts3

4. En un prisma triangular recto, hallar el área lateral teniendo en cuenta que cada lado de su base mide 5 cms y que su altura es de l0 cms.

AL= (5 + 5 + 5) * 10

= 150cm3

5. Un estanque en forma de prisma cuadrilátero recto, necesita ser llenado, se debe calcular su volumen para determinar la cantidad de agua, el área de su base es de 81 cm2 y su altura es de 10 cms.

V= 81 * 10

= 810 cm3

PIRAMIDE:

1. Hallar el área lateral de una pirámide cuadrilátera regular recta, cuyo lado de la base mide 10 cm. y su altura es de 6 cm.

AL = 1/2 Pbap

AL = ½ * 40 * 52+62 h = 52+62

= ½ * 40 * 61 cms2

= 40 * 7.81cm2

2

=156,2

2. Hallar el área total del anterior ejercicio.

AT = AL + 2B

= 156,2 + (10 * 10)

= 156,2 + 100

= 256,2 cms2

3. En una pirámide cuadrilátera regular recta, el lado de la base es 6mm, si la arista lateral mide 5mm, hallar el volumen.

V= 1/3 B h

= 1/3 36 * h

= 1/3 36 * 4

= 144

3

V= 48 mm3

4. Hallar el área lateral del anterior ejercicio.

AL= ½ Pb ap

= ½ 24 * 5

= 120

2

= 60

5. Se va a construir un casino en forma de pirámide y se necesita saber el área de su base para comprar el terreno, para hallarla tenemos que la apotema es de 11,66 mts y que su altura es de 10mts.

CILINDRO:

1. En un cilindro recto, la generatriz mide 12 cms y el radio de la base 4 cm.

Hallar el área lateral.

AL = 2  r g

=2 * 3,14 * 4 * 12

= 301,44 cm3

2. En un cilindro recto, la generatriz mide 20cms y el lado de la base mide 10 cm, hallar el Volumen

V=  r2 g

= 3,14 * (10)2 *20

= 3,14 * 2000

= 6280 cms2

3. En un cilindro recto, la generatriz mide 4mts y su radio es de 7 cm, hallar el área total.

AT= 2  r ( g+r)

= 2 * 3,14 *7 (4 +7)

= 43,96 * 11

= 483,56

4. Hallar el volumen de un cilindro recto de radio 8cm sabiendo que su generatriz es la mitad del radio.

V=  r2 g

= 3,14 * 64 * 4

= 3,14 * 256

= 803,84 cm3

5. Un vaso en forma de cilindro recto necesita ser llenado de agua, para saber cuanto liquido servir se debe saber el volumen de este, su generatriz es de 10 cm y el radio de la base es la mitad de la generatriz al cuadrado.

V=  r2 g

V= 3.14 * 52 * 10

V= 3.14 * 25 * 10

V= 3.14 * 250

V= 785 cm3

CONO:

1. Hallar el volumen de un cono recto de generatriz 5 cm y radio de la base de 4cm.

V= 1/3  r2 h --------------

­V= 1/3 * 3,14 * 16* 3

V= 150,72

3

V= 50,24 cm3

2. Hallar el área lateral de un cono recto de 8 cm de altura y 10 cm de generatriz

AL=  r g

= 3.14 * 6 *10

= 188,4 cm2

3. Hallar el área total de un cono recto de generatriz de 6 cm y radio de la base igual a 3 cm.

AT =  r ( g + r )

= 3,14 * 3 * (6 + 3)

= 3,14 *3 * (9)

= 9,42 * (9)

= 84,78 cm2

4. Hallar el área total de un cono recto de 8 cm de altura y 10 cm de generatriz.

AT =  r ( g + r )

= 3,14 * r * (10 + r)

= 3,14 * 6 * (10 + 6)

= 3,14 * 6* 16

= 301,144 cm2

5. Cuál es el volumen de un cono de helado cuya bisectriz es de 10cm y cuyo radio de su base es de 4 cm?

V= 1/3  r2 h

V=1/3 * 3,14 * 16 * h

V=1/3 * 3,14 * 16 * 9,165

V= 460,4496 / 3

V= 153,4832 cm3

ESFERA

1. Hallar el área de una esfera de 6 cm de radio.

A= 4  r2

= 4 * 3.14 * 36

= 452,16 cm2

2. Hallar el volumen de una esfera de radio 5 cm.

V= 4/3  r3

= 4/3 * 3.14 * 125

= 12,56 * 125

3

= 1570

3

= 523,33 cm3

3. Hallar el área de una esfera de 12 cm de diámetro

A= 4  r2

= 4 * 3.14 * 36

= 452,16 cm2

4. Hallar el volumen de una esfera de 2 cm, de radio

V= 4/3  r3

= 4/3 3.14 * 8

= 100,48

3

= 33,49 cm3

5. Un balón de fútbol tiene un diámetro de 22 cm, hallar su área.

A= 4  r2

A= 4 * 3,14 * 121

A= 1519,76 cm2

CONCLUSIONES

- La geometría en sus diversos campos, aprendida durante la elaboración de este trabajo se convierte en una habilidad mas para resolver problemas cotidianos.

- Se debe conocer y aprender mas a fondo por medio de investigaciones y otros recursos para lograr obtener uso del tema, por lo tanto es de suma importancia el profundizar en esta área.

- Es un tema no complicado de aprender, e interesante cuando se trata de su aplicación, ya que no encontramos mayores obstáculos o dificultades para su ejecución.

- Se ha logrado con este trabajo conocer a fondo el área de la geometría aunque todavía sea necesario mas de su practica y del conocimiento de su teoría.

BIBLIOGRAFIA

Matemática constructiva 9.

Enciclopedia temática LAROUSSE.

Enciclopedia temática PLANETA.

Teorema de Pitágoras

52 32 = h

h = 25 - 9

h = 16

h = 4

Teorema de Pitágoras

11*662 - 102= lado base

2

136 (aprox) - 100 = L

2

36 = L

6 = L

62 = Area Base

h= 52 - 42

h= 3

r = 102 - 82

r = 36

r = 6

r = 102 - 82

r = 36

r = 6

h = 102 - 42

h = 100 - 16

h = 84

h = 9,165

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