Geometría

Matemáticas. Ángulo entre recta y plano, entre dos planos, entre dos rectas. Proyección de un sólido. Poliedros. Sólidos redondos y de revolución. Cilindros de revolución. Rebatimiento de plano y por homología

  • Enviado por: Francisco Javier Suarez
  • Idioma: castellano
  • País: Venezuela Venezuela
  • 14 páginas

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Desarrollo

PARTE I

'Geometría'

1) Distancia entre dos rectas que se cruzan (perpendicular común):

La menor distan­cia entre dos rectas se mide según una recta que sea perpendicular a la vez a las rectas a y b (osea es perpendicular a un plano, el cual es paralelo a las direcciones de a y b.)

Para medir esta distancia se puede:

1) Sobre la recta a escoger un punto A.

2) En él trazar una recta b' paralela a la rec­ta b, determinando así el plano ab' a.

3) La distancia BX de un punto cualquiera B de la recta b al plano a es igual a la distancia pedida (ver distancia de un punto a un plano).

'Geometría'

2) Ángulo entre dos rectas que se cruzan

Para determinar el ángulo que forman dos di­recciones cualesquiera en el espacio, se fija un punto arbitrario A y por él se trazan dos rectas (b' y c') paralelas a las rectas b y c respectiva­mente.

El ángulo que forman las rectas b' y c' (que se determinan como en el caso anterior) es igual al ángulo que forman las direcciones b y c.

NOTA:

Si el ángulo corresponde a 9Oº se dice que las rectas b' y c' son perpendiculares y las rec­tas b y c ortogonales.

3) Ángulo entre recta y plano.

El ángulo que forma la recta a con el plano  es igual, por definición, al ángulo que forma la recta a con su proyección ortogonal en el plano .

SOLUCIÓN:

1) Se determina el punto A: intersección de la recta a con el plano .

2) Se fija un punto B sobre la recta a y por este punto se construye una recta p perpen­dicular al plano p.

3) Se busca el punto B (intersección de la recta p con el plano , en realidad la proyec­ción ortogonal del punto B en el plano ).

  • El ángulo pedido es el ángulo que forma la recta a: AB con la recta AB.

  • 4) Angulo entre dos planos

    El ángulo en­tre los planos alpha y  se puede determinar así:

    1) Determinar la intersección i entre los planos alpha y 

    2) En un punto A de la intersección levan­tar un plano y perpendicular a la intersección i.

    3) Se determina la intersección a entre el plano alpha y gama

    4) Se determina la intersección b entre el plano alpha y gama

    .5) El ángulo entre las intersecciones a y b es igual al de los planos alpha y 

    Otra forma de medir este ángulo:

    1) Escoger un punto arbitrario A y levantar en él una recta p perpendicular al plano alpha

    2) En el punto A trazar una recta q perpen­dicular al plano 

    3) El ángulo que forman estas perpendicu­lares p y q es igual al ángulo entre los planos alpha y 

    PARTE II

    5) Proyección de Sólido

    Es la representación de un sólido mediante sus proyecciones ortogonales, las cuales resultan al trazar rayos proyectantes por los puntos más significativos del cuerpo, como vértices, o por todos aquellos puntos que definan su contorno. Uniéndolas de manera oportunas se generan las proyecciones del sólido.

     

    Un cuerpo, para definirse en un sistema de representación, necesita, como mínimo, dos proyecciones. Es conveniente que esté situado paralelamente a los planos vertical y horizontal de proyección, para conseguir así el mayor número posible de magnitudes reales en los elementos proyectados.

     

    1) POLIEDROS

    Son aquellos sólidos que tienen todas sus caras planas y que a la vez se subdividen en:

    A) Geométricamente definidos.

    a) Poliedros regulares: Son aquellos que tienen todas las caras, aristas, ángulos, etc., igua­les entre sí.

    Existen cinco poliedros regulares:

    Tetraedro

    Cubo

    Octaedro

    Dodecaedro

    Icosaedro

    b) Pirámides y prismas: (Poliedros ra­diales).

    LA PIRÁMIDE.—Es un sólido que tiene un vértice, al que convergen las aristas longitudi­nales y una base.

    EL PRISMA.—Tiene todas las aristas longitu­dinales paralelas entre sí (es un caso particular de pirámide cuando el vértice se desplaza en el infinito) y dos bases.

    B) Poliedros geométricamente indefi­nidos:

    Que no tienen ninguna regularidad geométrica.

    2) SÓLIDOS REDONDOS

    Los sólidos redondos se caracterizan por tener:

    Una línea: que se mueve dé acuerdo con ciertas condiciones y cuyo lugar geométrico forma cierta superficie.

    Directriz: Línea recta o curva sobre la cual se apoya continuamente la generatriz.

    Director: Plano, al cual son paralelas las generatrices.

    Eje de revolución: Línea alrededor de la cual rota la generatriz.

    Eje de simetría: Línea con respecto a la cual el cuerpo es simétrico.

    Los sólidos redondos se subdividen en:

    a) Superficies regladas. — Cuando la generatriz movida es una línea recta y que se subdividen en:

    RECTOS

    OBLICUOS

    NO DE REVOLUC ION

    DE REVOLUC ION

    b) Desarrollables El CONO y él

    CILINDRO (análogos a la pirámide y prisma) y

    pueden ser: rectos (el eje es perpendicular a

    la base y pasa por su centro) y oblicuos.

    El cono y el cilindro recto pueden ser de revolución cuando su base es una circunfe­rencia o no de revolución, cuando tienen por base una elipse, parábola o una curva en general.

    El cono y cilindro CUADRICO tiene por sección plana siempre una curva de segundo grado una cónica.

    c)Superficie alabeada: Es, por definición, una superficie reglada, donde dos gene­ratrices rectas, consecutivas no son paralelas, ni se cortan. Su contorno corresponde a una línea curva (a menos que coincida precisamente con una de sus generatrices rectas.

    SÓLIDOS DE REVOLUCION

    6) Sólidos de revolución: Generatriz curva que rota alrededor de un eje.

    ESFERA: Generatriz circular gira alrededor de su diámetro.

    ELIPSOIDE: Generatriz elíptica gira alrede­dor de uno de sus ejes.

    PARABOLOIDE: Generatriz parabólica, gira al­rededor de su eje.

    HIPERBOLOIDE (de dos hojas): Generatriz hiperbólica gira alrededor de su eje real (el que la corta).

    Doblemente regladas: Superficies, donde por cada punto pasan dos generatrices rectas:

    HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN (dc una hoja): Generatriz recta que gira alrededor de una di­rectriz no paralela y no concurrente a ella, o también: generatriz recta que se apoya sobre dos directrices circulares, concéntricas, planas y forma ángulo constante con ellas.

    HIPERBOLOIDE ELÍPTICO: Generatriz recta que se apoya sobre tres directrices rectas y no concurrentes, o también, generatriz recta que se apoya sobre dos directrices elípticas, paralelas, concéntricas y forma ángulo constante con ellas.

    PARABOLOIDE HIPERBÓLICO: Generatriz rec­ta que se apoya sobre dos directrices rectas no concurrentes estando paralela al plano director.

    Existe siempre otro plano director, que es paralelo a las directrices de la primera trama de generatrices.

    Las generatrices correspondientes a la segun­da trama son paralelas a este plano director y se apoyan sobre directrices que pueden ser cuales­quiera dos generatrices de la primera trama.

    Si los dos planos directores son perpendicu­lares entre sí, el hiperboloide es simétrico al­rededor de un eje que es paralelo a la intersec­ción de ambos planos directores y pasa por el punto de corte de las perpendiculares comunes a las parejas de las directrices respectivas.

    El paraboloide hiperbólico es una superficie muy usada en la construcción de techos, obras hidráulicas, canales, muros de sostenimiento, taludes, etc.

    Con frecuencia se define también como un cuadrilátero alabeado, (no plano) cuyos lados no concurrentes corresponden a las directrices de cada trama> o sea, que los planos directores son paralelos a estos lados no concurrentes respec­tivamente.

    6.1) TETRAEDO REGULAR

    Caras: 4 — triángulos equiláteros.

    Vértices: 4 — a cada uno concurren tres aristas.

    Aristas: 6 aristas opuestas, son ortogona­les entre sí.

    Sección principal: 6 — formadas por una arista y el punto medio de la arista opuesta =

    ADM.

    CONTIENE:

    El centro de gravedad N de la cara ABC.

    La altura ND del tetraedro.

    El centro O de la esfera inscrita y circunscrita al tetraedro.

    La menor distancia PM entre dos aristas opuestas• = el radio de la esfera inscrita = ON.

    rT = el radio de la esfera tangente a toda arista =

    — 1/2 perpendicular común a las aristas opues­tas = OP = OM.

    = el radio de la esfera circunscrita = OD.

    Construcción de la sección principal del te­traedro de arista a:

    1)Determinar el triángulo equilátero ABC y la altura h de él.

    2)Determinar el triángulo isósceles ADM construido con un lado a y dos lados h; la altura del tetraedro x es la altura DN del triángulo ADM (bajada al lado Ii).

    6.2) EXAEDO REGULAR

    Caras.—6 Cuadrados.

    Vértices: 8 a cada uno concurren 3 aristas.
    Aristas. —12 ortogonales o paralelas en­tre sí

    Diagonales menores. —12 diagonales de

    las caras (o son paralelas u ortogonales entre sí). Diagonales mayores.—4 diagonales inter­nas que se cortan en el centro y no son paralelas ni ortogonales.

    Sección principal (o diagonal): Hay 6 secciones principales, dos siempre perpendicu­lares entre sí.

    CONTIENE: 2 aristas opuestas (AE y CG),

    2 diagonales menores (AC y EG),

    2 diagonales mayores (EC y AG) y el del cubo O.

    6.3) CONO DE REVOLUCION

    Base: Circunferencia con radio igual al radio del cono.

    Eje: Pasa por el centro de la base y es per­pendicular a ella;

    Vértice: Punto sobre el eje al que `concu­rren todas las generatrices.

    Generatrices: Todas de igual longitud y todas forman igual ángulo con el eje.

    Generatrices opuestas: Copla narres con el eje.

    Altura: Longitud del eje.

    Sección principal (axial): Contiene el eje, vértice, centro de la base y dos generatrices opuestas. Es un triángulo isósceles con base igual al diámetro y dos lados iguales a longitud de las generatrices.

    Sección sencilla: Cualquier sección que pasa por el vértice.

    Sección en general: Una curva de segun­do grado.

    Plano tangente al cono: Contiene el vér­tice. Es tangente según una generatriz.

    Cono equilátero: Su sección principal es

    un triángulo equilátero, el diámetro es igual a

    la longitud de las generatrices, o sea, las gene­ratrices opuestas forman 600.

    Cono doble: Las generatrices se prolongan a ambos lados del vértice.

    Visibilidad: Se puede determinar según la dirección del eje del cono: Si a partir del vértice sube, la base se ve en Proyección horizontal y si se adelanta, se ve en Proyección vertical.

    6.4) CILINDRO DE REVOLUCION

    Base: Dos circunferencias iguales con radio igual al del cilindro.

    Generatrices: Todas de igual longitud y paralelas entre sí.

    Generatrices opuestas: Son coplanares con el eje.

    Eje: Paralelo a las generatrices de igual lon­gitud, une los centros de las bases.

    Altura longitud: Longitud de las ge­neratrices.

    7) Sección principal (axial)

    Contiene el eje y los centros de las bases del sólido (ABB'A').

    Es un rectángulo con un lado igual al diáme­tro del cilindro y otro a su longitud.

    Sección sencilla: Cualquier sección para­lela al eje del cilindro (CDD'C'), es un rectán­gulo con un lado menor que el diámetro y otro igual a la altura del cilindro.

    Sección normal: Circunferencia igual a la base.

    Sección en general: Una elipse o partes de una elipse.

    Plano tangente al cilindro: Tiene direc­ción del eje del cilindro y es tangente según una generatriz del mismo.

    Plano que toca al cilindro en un punto: La base es tangente al plano, pero éste no es paralelo al eje del sólido.

    Cilindro equilátero: Su sección principal es un cuadrado, o sea, el diámetro del cilindro es igual a su altura.

    REBATIMIENTO DE PLANO

    PROCEDIMIENTO PARA REBATIR UN PLANO:

    El rebatimiento es un método indirecto usado en Geometría Descriptiva para obtener un pla­no en verdadero tamaño y consiste en hacer ro­tar un plano alrededor de su recta horizontal (o frontal), hasta que dicho plano sea paralelo al plano horizontal (o vertical de proyección).

    PROCEDIMIENTO:

    Supongamos que tenemos un plano dado por sus trazas h y f, y queremos rebatir el plano alrededor de su traza horizontal (recta horizon­tal de cota cero), hasta que coincida con el plano horizontal. En este caso la recta h es el eje de rebatimiento (se la denomina también «charnela»), y por consiguiente conserva su posición (h hR).

    MÉTODO GENERAL:

    Rebatimos el punto A (un punto cualquiera del plano) y vamos a observar qué trayectoria efectúa durante el rebatimiento:

    1) El punto se conserva siempre en un pla­no perpendicular al eje de rebatimiento (en este caso un plano vertical), el cual se proyecta en proyección horizontal según la recta ph. El pun­to AR debe estar también sobre la recta ph

    2) La distancia AB entre el punto A y el eje de rebatimiento (segmento de recta de máxima pendiente entre el punto y el eje de rebatimien­to) debe verse en la proyección rebatida en ver­dadero tamaño (como todas las demás distan­cias del plano rebatido).

    Para ello buscamos el verdadero tamaño del segmento AB y lo colocamos a partir del eje de rebatimiento BR sobre la recta ph obtenién­dose el punto AR.

    De esta forma se podría obtener todos los puntos del plano en la proyección rebatida.

    Para la obtención de la proyección des-reba­tida (horizontal), habría que efectuar los pasos inversos (véase figura), siendo los verdaderos tamaños paralelos entre sí.

    Rebatiendo la traza: Otra forma de reba­tir los puntos es la de utilizar las trazas.

    La traza horizontal es el eje de rebatimiento.

    El punto A yace sobre la traza vertical.

    El segmento AVBV se proyecta en verdadero tamaño, porque está sobre la recta frontal.

    El punto BV Bh BR por estar sobre el eje.

    El punto AR debe estar sobre la recta ph (ver método anterior) y a la vez conservar la dis­tancia AVBV ARBR; por esta razón la traza vertical rebatida es la recta ARBR fR

    Para rebatir un punto M del plano:

    Se traza una recta horizontal c por el punto M; esta recta corta la traza f en el punto C, el cual rebatido está también sobre la traza reba­tida fR

    El punto MR está sobre la recta cR y sobre la de «referencia de rebatimiento» MhMR. Para el des-rebatimiento se usa el procedimiento a la inversa.

    REBATIMIENTO POR HOMOLOGIA

    Supongamos el plano hf.

    Rebatimos el plano con el punto A alrededor de la traza h (según método general).

    Para rebatir el punto M podemos trazar la recta AhMh que es una del plano y por eso se corta con la recta hh en el punto 1”.

    La proyección iR por estar sobre el eje de rebatimiento (eje doble, eje muerto, eje de homología); a la recta AhMhih corresponde la recta rebatida RAR. El punto MR está sobre esta recta y además sobre la recta MhMR per­pendicular al eje (rayo de homología).

    Entre la proyección horizontal y la rebatida existe la relación de homología siendo:

    1) El eje de rebatimiento (la recta carac­terística) = eje de homología.

    2) La pareja de puntos Ah, AR es la pareja que define la homología. (El punto A se rebate por el método general.)

    3) La unión de los puntos Ah, AR la direc­ción de los rayos de homología (en caso de pro­yección ortogonal la dirección es perpendicular a la recta característica).

    La homología se puede usar tanto para ob­tener los puntos rebatidos (Ah, AR) como para obtener aquellos en proyección horizontal

    (BR, Bh).

    Para la obtención de la proyección vertical se puede utilizar también la recta de máxima pendiente del «primer punto rebatido», de su verdadero tamaño y diferencia de cota respec­tivamente.

    Un punto M está sobre una recta horizontal m que es más cercana al eje de rebatimiento que la recta horizontal a, que pasa por A; por esta razón también la diferencia de cota de la recta m es más pequeña que la de la recta a.

    La diferencia de cota entre el eje de rebati­miento y dicho punto, se puede medir en el es­pacio comprendido entre el verdadero tamaño y el rayo de homología del primer punto reba­tido .

    OBSERVACIÓN:

    Si el punto está del otro lado de la recta hori­zontal, la diferencia de cota va a tener también el signo opuesto (el punto N).

    La proyección vertical de un punto se puede siempre obtener como la proyección de un pun­to del plano (ya que éste pertenece al plano).

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