Geodesia

Coordenadas geodésicas. Fórmulas diferenciales. Cálculo magnitudes

  • Enviado por: Belén Soria
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 14 páginas
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FÓRMULAS DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

INTRODUCCIÓN

Tras la elaboración de la triangulación y el cálculo de las coordenadas geodésicas de los puntos es posible que los datos iniciales (longitud y azimut del lado inicial, las coordenadas del punto inicial) tomados durante el proceso estén sujetos a pequeñas variaciones.

Esto conlleva la necesidad de corregir las latitudes, longitudes y azimutes calculados para la triangulación.

Una opción sería resolver de nuevo los triángulos y calcular las latitudes, longitudes y azimutes en base a los nuevos datos iniciales, sin embargo es más sencilla la opción alternativa, consistente en la corrección de las coordenadas de los puntos calculando las correcciones a éstos.

Las fórmulas que expresan las correcciones de las coordenadas geodésicas de los puntos y los azimutes de las direcciones para cambiar los datos iniciales de la triangulación, se llaman fórmulas diferenciales de primer género.

Existe un segundo grupo de fórmulas encargadas de referir las coordenadas geodésicas calculadas bajo un elipsoide escogido a un nuevo elipsoide con parámetros distintos. A las fórmulas que expresan las correcciones a las coordenadas geodésicas por el cambio de parámetros del elipsoide, se les denomina fórmulas diferenciales de segundo orden. En éste caso las dejaremos fuera de nuestro ámbito de estudio y nos centraremos en la deducción de las fórmulas diferenciales de primer orden.


0. -DATOS DE PARTIDA

PUNTO 1 A (B1, L1)

PUNTO 2 B(B2, L2)

A12 : Azimut de A hacia B

A21: Azimut de B hacia B

Dónde

B es la latitud geodésica

L es la longitud geodésica.

El esquema de trabajo a seguir será el siguiente:

1- Deducción de los valores Geodesia
, Geodesia
, Geodesia
.

2- Deducción de las magnitudes Geodesia
,Geodesia
,Geodesia
.

3- Deducción de las magnitudes buscadas Geodesia
, Geodesia
, Geodesia
.

Comenzamos el proceso de cálculo:

Si B1 varia dB1, y también varían dA12 y ds. , para hallar las expresiones del punto B necesitamos dB2, dL2 y dA21, que vienen en función de dB1, dA12 y ds;

Por lo tanto nos encontramos con la siguientes expresiones:

Geodesia
Geodesia

1. -CÁLCULO DE LOS VALORES DE dB2B, dL2B y dA21B

Si el punto A´ se encuentra sobre el meridiano de A y posee una latitud B1+dB1. La longitud de la línea AB=s, desplazamos B a la posición B1´, entonces, se podrá afirmar que A´B1´=s.

Geodesia
Luego:

Geodesia

Obtenemos:

Geodesia

que no es mas que la diferencia de

latitudes de los puntos B1´ y B:

Geodesia

y la diferencia de latitudes be los puntos B´y B1´ :

Geodesia

Como Geodesia
entonces podemos afirmar que:

Geodesia
Geodesia
- Geodesia

Geodesia
Geodesia

Considerando el triángulo ABP, como esférico:

Geodesia

Suponiendo que Geodesia
, obtenemos:

Geodesia

Para la deducción de Geodesia
, observamos que:

Geodesia

De la misma forma se obtienen las siguientes ecuaciones:

Geodesia
Geodesia
+ Geodesia

Geodesia

De la figura de arriba se deduce que:

Geodesia

Si suponemos que Geodesia
, entonces:

Geodesia

Para deducir Geodesia
:

Geodesia

Si diferenciamos la expresión obtenemos la siguiente ecuación: Geodesia
:

Geodesia

suponiendo que Geodesia
, obtenemos:

Geodesia

De forma análoga :

Geodesia

Si tenemos en consideración que Geodesia
, podemos obtener las siguientes expresiones:

Geodesia

2. -CÁLCULO DE LAS MAGNITUDES Geodesia

Suponemos que AB = s y que varía en la magnitud BB1 = ds. Según podemos observar en las figuras siguientes:

El azimut de la línea BB1 es igual a Geodesia
, por lo tanto, según las fórmulas para resolver el problema geodésico directo hallamos que:

Geodesia

De forma análoga se obtienen la longitud del segundo punto y el azimut inverso, como se puede observar a continuación:

Geodesia

3. - CÁLCULO DE dB2A12 dL2A12 dA2A12

Si:

Geodesia

Dónde:

m Función de la longitud del azimut de la línea geodésica para la cual es correcta la igualdad escrita. La magnitud m se denomina longitud reducida de la línea geodésica.

Si tomamos el elipsoide como una esfera de radio igual al radio medio de curvatura.

Tomando como esférico el triángulo ABB1 y si expresamos sus lados en medida angular, llegaremos a la siguiente expresión

Geodesia

Como Geodesia
son muy pequeñas, se puede considerar que:

Geodesia

Si comparamos esta expresión con las dos expresiones anteriores llegamos a la siguiente conclusión:

Geodesia

Si tenemos en cuenta que el azimut de la línea BB1 es igual a Geodesia
obtenemos que:

Geodesia

De la misma forma se obtiene el siguiente resultado:

Geodesia

Para deducir Geodesia
, es necesario tener en consideración que la corrección al azimut inverso, como consecuencia de la variación del azimut directo debe estar compuesta por dos términos:

A) Corrección Geodesia
, relacionada con la longitud reducida de la línea geodésica. Esta parte de la corrección será:

Geodesia

B) Corrección basada en

el cambio del acercamiento

de los meridianos al

desplazarse el punto extremo como resultado de la variación del azimut inicial.

Anteriormente se había llegado a la conclusión de que:

Geodesia

Geodesia

Con lo cual, se puede deducir sin complicación que la variación del acercamiento de los meridianos en el punto extremo valdrá:

Geodesia

La corrección completa al azimut inverso tendrá la siguiente forma:

Geodesia

Como sabemos:

Geodesia

Con lo cual se puede decir que:

Geodesia

Con todo ello, se puede llegar a la expresión:

Geodesia

Si llamamos:

Geodesia

y sustituimos en la ecuación inicial obtendremos que :

4.-EXPRESIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Como conclusión podemos considerar que las fórmulas exactas, válidas para cualquier valor de s, serán de la siguiente forma:

Geodesia

Donde:

Geodesia

Geodesia

Geodesia

EXPRESIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

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