Fundamentos matematicos

Informática. Conjuntos. Aplicaciones. Grupos. Homomorfismos. Cardinalidad. Combinatoria. Espacios vectoriales. Diagonalización

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T1 : Breve definición sobre conjuntos

& “)”,”(“ : Demostración del derecho y la inversa de una igualdad (doble contenido).

& Otras anotaciones: P(A){parte de A} CA {contenido en A} # {absurdo} Ø {conjunto vacío } " {intersección} U {unión (o)}

& Recuerda tb. AUB = A " B A"B = A U B

& Producto vectorial : A x (B-C) igualamos el primer término (A) a x y le segundo (B-C) a y algo asi:

(x,y) E A x (B-C)

x E A

y E (B-C)

T2 : Aplicaciones

Dados dos ctos. A, B una correspondencia es asociar elmentos de A con elementos de B .

& Aplicación : Correspondencia de A en B tal que a cada elem de A le correponde uno único de B.

Aplicación : .

I ) Esta bien definida pc x E A ¿  f(x) E B ¿

II ) Aplicación x = x' ! f (x) = f (x') .

& Imagen : A los elementos de A tale que f(a)=b con a EA , decimos que es la imagen de a y a la antimagen de b .

& Clasificación de las aplicaciones :

  • Si f: A?B aplicación cumple que todo elem de B con antimagen ésta es única decimos que es Inyectiva

  • Inyectiva ! f(x) = f(x´) !x = x'

  • Si todo elemnto de B tiene antimagen decimos que la aplicación es sobre .

  • Sobre ! pc y E B  x E A /f(x)=y

  • Será biyectiva si es a la vez inyectiva y sobre

  • Biyectiva ! Es Inyectiva y sobre

    Gráficamente :

  • Trazamos líneas verticales si cruzan siempre a la gráfica en un único punto (Aplicación)

  • Lineas horizontales Toca una vez a la gra´fica por línea (biyectiva) si cualq linea horiz la toca (sobre)

  • & Dominio u original de f : Todos los elementos de Aque tienen imagen en B .

    Dom(f)=Or(f)=[a E A/bEB : f (a) = b]

    Im(f) = [y E B /  x E A :f (x) = y]

    &Sean f : A ! B y g : A ! B dos aplicaciones , llamamos composic. De f con g

    a ! f(a) b ! g(b)

    a la aplicación h : A ! B denotada por h = gof = g(f(a))

    a ! h(a)=g(f(a))

    & Propiedades :

  • (fog)oh = fo(goh)

  • II) (f -1) = f -1

    III) (fog) -1 = g-1of-1

    Notas : Si existe una aplicación f : A!B biyectiva ,  f-¹: B!Atb biyectiva tal que verifique :

    f-¹of = IdA  fof -¹ = IdB

    T3 : Relaciones binarias de equivalencia

    Sea A un conjunto cualquiera R C AxA decimos que R es una RBE si verifica :

  • Reflexiva ! pc a E A aRa

  • Simétrica ! aRb !bRa

  • c) Transitiva ! aRb ! aRc

    bRc

    & Clases de equivalencia : Dado A cto y R RBE llamamos clase de equiv. A CA al cto formado por todos los elemntos de A relacionados con a .

    Cl(a) = C(a) =a ={ x E A/xRa}

    & Conjunto cociente: (de A sobre R)conj de todas las clases de equiv de los elem de A

    A/R = { a / a E A }

    Notas:

    La unión de las clases de equivalencia tiene que recubrir todo el conjunto R(recta),R²(plano), R³(espacio) .

    mº = múltiplos de m

    & Descomposición canónica de una aplicación :Sea f: A?B una aplicación definimos en A la relación binaria .

    (a,b ( A aRb ( f(a)=f(b)

    Comprobamos que efectivamente f es una RBE hallamos sus clases y su conjunto cociente y ordenamos de esta forma :

    A p! A/Rf f! Imf i! B

    x ! x ! f(x) ! f(x)

    T4 : Grupos

    & Leyes de composición : Sea A un cto. Decimos que * es una ley de compos interna con # : AxA ! A si # es unaaplicación

    (a,b) ! # (a,b) : a # b

    Nota definimos # como operador y traducimos su presencia a operado con...

    & Si A ,B conjuntos ! es una ley de comp.. externa si " : A x B ! A

    (a,b) ! " (a,b) : a"b

    si " es aplicación.

    & Grupo sea G un conjunto y * una ley de comp. interna decimos que (G,*) es un grupo si verifica :

  • Asociativa: pc x, y, z E G (x # y) # z = x #(y#z).

  • Elemento neutro :  e E G : pc x E G e # x = x # e = x.

  • El.simétrico o inverso : pc x E G  x-1 E G x # x-1 = x -1 # x = e.

  • Conmutativa : (Si se verif. g.conmutativo) pc x, y E G x # y = y # x.

  • &Subgrupo de G : Sea (G,*) grupo decimos q H c G , H " O es subgrupo si: pc x, y E H x * y -1 y lo de mostramos por H " G , es decir, si (H,* )es grupo .H"G es subg propio si H " G " H " {e} " H " G .A H=G y H={e} se les llama subg impropios.

    Nota Sea (G,*) grupo , o(G) = nº elementos de G.

    &Tma. De Lagarange : Sea (G,*) grupo finito, H"G ! orden(H)/orden(G) {o(H)/o(G)} Este tma facilita busq de subgrupos aquellos cuyo orden sea cociente de orden (H) y div = enetero.

    &Orden de un elemento : Dado (G,*) grupo orden de un elem. x E G al menor nº de veces q operamos para obtener neutro de G, es decir,

    O(x) = n ! n E N es el menor q verifique

    x*x*x*......*x = e

    Nota : xn = e ; nx =e (notaciones más usadas en multip y aditivos respect).

    &Engendrados : Sea (G,*) grupo decimos G engendrado por x si ...

    G = {e, x, x2 ....x n-1} multiplicativo.

    G = {e, x, 2x.....(n-1)x} aditivo.

    T4(b) : Homomorfismos

    & Homomorfismos : Sean (G,*) y (G',#) grupos f(G,*)!(G',#) es homomorfidmo de grupos si verifica :

    I f.aplicación.

    II pc x, y E G f (x*y) = f(x) # f(y).

    & Nucleo e imagen : Sea f: G ! G' homom. De grupos llamamos nucleo Ker(f) al cto.

    Ker(f) = Nu(f) = {x E G / f(x) = e'}(siendo e'neutro de G')

    E imagen de f : G ! G' al conjunto :

    Im(f)={ y E G'/  x E G : f (x) = y }

    &Claseificacion de los Homomorfismos :

  • f (inyectiva) : Monomorfismo.

  • f (sobre) : Epimorfismo.

  • f (biyectiva) : Isomorfismo

  • G = G' : Endomorfismo

  • G = G' y f biyectiva : Automorfidmo

  • &Propiedades de los Homom. :

  • f(e) = e'

  • f (x-1) = [f(x)]-1.

  • F (x2) = f(x)2

  • & Descomposición canónica de un Homomorfismo.

    Dado f: (G,*)! (G',#) Homom. de grupos .

    pc x, y E G x R f y ! x * y-1 E Kerf ! f(x) = f(y) Rf es R.B.E

    G / Rf = G / R Kerf

    Para la descomposic. canónica

    G ——! G/Kerf ——! Imf ——! G'

    x ——! x ! f(x) —! f(x)

    epimorf. isomorf. monomorf.

    T5 : Cardinalidad.

    &Cardinalidad : Nº de elementos de un cto. finito. Al cardinal de los ctos. finitos se les llama nº transfinitos.

    &Relación de equipotencia :X, Y ctos. X~Y !  f: X ! Y aplicación biyectiva

    (~ es una RBE y X equipotente Y).

    I.Reflexiva pc x cto X~X pues  Idx : x ! x aplic. biyectiva

    x ! Id(x) = x

    II. Simétrica X~Y !  f: X ! Y f aplicación biyectiva !  f -1 : Y! X !

    Y~X

    III. Transitiva :

    X~Y  f: X ! Y Aplicación biyectiva

    " "

    Y~X  g: Y! X Aplicación biyectiva

     gof : X ! Z aplicación biyectiva ! X~Z

    X = {Y/ X~Y} ! {Y/ Card (x1) = Card (Y)}

    !

    {Y /  f: X! Y aplic biyectiva}

    &Conjuntos numerables : Sea X ctoes numerable si X finito o X~N (se puede ordenar como sucesion de nº finitos entre si)

    X numerable ! X fto o  f: X! N aplicac biyectiva

    X numerable ! X fto o X={an / n E N} con ai = nj pc i " j

    Algunos ejemplos de ctos numerables serían (N, Z y Q ) de no numerables (Intervalos abiertos y cerrados y R).

    Combinatoria

    &Variaciones de n elemetos : m (elementos de entre los q escoger); n(elementos a escoger q compondran cto.) IMPORTA EL ORDEN

    a) Con repetición VRm n =mn

    b) Sin repetición Vm n = n! / (m-n)!

    &Permutaciones : Variaciones con m = n

  • Con repetición PRm = nm

  • Sin repetición Pm = n!

  • & Combinaciones : Similares a las variac pero NOIMPORTA ORDEN . Ejm formar un equipo con un nº de personas.

    Comb.= Vmn / Pn = ( mn ) = m! / n!(m-n)!

    T6 : Matrices y determinantes .

    &Matrices :

    A = ( a11 ...... a1n aij ! elemento de la fila i columna j

    .

    .

    am1.......amn)

    • Diagonal : Todos sus elementos son cero exepto los de la diagonal

    • Triangular: Elementos por arriba o por debajo de la diagonal cero.

    • Cuadrada : m = n Dimens de matriz (mxn filas por columnas)

    • Traspuesta : Cambio de filas por columnas At

    &Operaciones con matrices :

    • Suma y resta de matrices A ± B = ( aij ± bij )

    • Producto por escalar K.A = (K.aij)

    • Producto de matrices (sólo si nº columnas deA = nº filas de B)

    ( a b ( g h ( ag+bi ah+bj

    c d . i j ) = cg+di ch+dj

    e f ) eg+fi eh+fi )

    &Determinantes Tres métodos :

    • Método de Zarrus (para matrices cuadradas )

    / a b c

    d e f = aei + bfg + cdh - [ceg + fha + bdi]

    g h i /

    - Metodo desarrollo por filas o por columnas

    / a b c

    d e f = -d / b c + e / a c - f / a b

    g h i / h i / g i / g h/

    • Método haciendo cero (Gauss) Mediante operaciones permitidas en el determinante convertirlo en el determinnate de una matriz triangular.

    &Matriz adjunta : Adj(A) se halla sustituyendo cada elemnto de A por su adjunto

    &Matriz ortogonal Aquella cuya inversaes igual a su traspuesta.

    &Matrices permutables A.B = B.A

    &Matriz simétrica del tipo ( a d e

    d b f

    e f c )

    &Matriz traspuesta : Una matriz tA es traspuesta de otra A si es el resultado de sustituir sus filas por sus columnas

    & Inversa de una matriz :

    A-1 = 1 / det(A) . tAdj (A)

    &Rango de una matriz : Numero de columnas o filas linealmente independientes.

    Se elige una columna y se va haciendo el determinnante q forma esta columna con otras de tal modo q hagamos el det de una mat cuadrada si detA " 0 rg(A) = n (nº filas) y cada vez q detA = 0 hacemos n-1

    Det (A) = 0 ! Rg(A) < nº filas

    Det (A) " 0 ! Rg (A) = nº filas

    & Solución de ecuaciones : Hemos de saber q la matriz de coeficientes es la formada por los coeficientes de lasincógnitas (A) y la matriz ampliada es aquella q incluye los términos independientes (Ab), n (nº incognitas), y n-r (nº variables de las q depende la solución)

    & Método de Crammmer : Para cada una de las incógnitas creamos una matriz sustituyendo su columna de coeficientes (la q le corresp a esa incógnita) por la de términos independientes, hallamos su determinante y dividimos por el de la matriz de coeficientes (A).

    &Th Rouche-Frobenius :

  • Rg(A) = Rg (Ab) {Sitema compatible admite solución}

    • r = n S.C.Determinado (Una única solución) CRAMMER

    • r < n S.C.Indeterminado (Infinitas soluciones) CRAMMER

  • Rg (A) " Rg (Ab) S.Incompatible (No tiene solución)

  • & Método de Gauss : Se trata deconseguir mediante trasformaciones permitidas en la matriz , una matriz triangular y resolver.

    T7 : Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

    &Noción de cuerpo : Sea K y + : K x K ! K l.c.i en K y  : K x K ! K

    (, ) !  +  (, ) !   l.c.i. decimos que es un cuerpo si verifica :

    (K,+)grupo abeliano (asoc, inverso, neutro y conmutat

  • Distributiva ( + )  =  +  ( + ) =  + 

  • (K,+)grupo abeliano (asoc, inverso, neutro y conmutat

  • (K-{0}, .) g abeliano

  • No tiene divisor en cero

  • &Espacio vectoral : Sea V cto y K cuerpo definidos en l.c.i +: V x V ! V y una

    (u,v) ! u + v

    l.c.e " K: K xV ! V decimos que (V, +, K) es un e.v sobre K (V(K)) si verifica :

    (, u) ! u

  •  (u + v) = u + v

  • ().u =  (.u)

  • ( + ).u = u + u

  • 1.u = u

  • (V,+) Grupo abeliano.

  • pc  y  E K y pc u y v E V.A los elementos de V se los llama vectores y alos de K escalares siendo K un cuerpode escalares .

    &Combinación lineal de vectores : Sean {v1,v2,....vn} C V llamamos comb.lineal de estos a toda exprsión del tipo 1v1+2v2+...nvn con 1, 2, ...n E K

    &Subespacio vectorial : Sea V(K) e.v., WCV, W"0 decimos que W es subesp. Vectorial de V ! pc , E K y pc u, v E W u + v E W

    Dado el sist. de vectores {v1,v2,....vn}de V llamamos subes.vectorial de V engendrado por {v1, v2....vn}al subesp.vectorial

    <v1,...vn> = {uEV/u = 1v1 + ....+ nvn con 1...n E K}

    &Vectores linealmente independientes : Sean {v1,....vn} C V. Son libres si

    1v1+....+nvn = 0v implica 1...n = 0

    &Vectores generadores : Sean {v1,...vn}vectores CV son generadores si

    pc v E V ¿Existe 1...n? / v = 1v1+...+nvn

    <v1,....,vn>

    &Dimension de V : Si{v1,..., vn} es libre y generador es base de V y nº de vectores es la dimensión de V. (Si e.v se reduce a 0v su dimensión es 0)

    & Suma: Sea V(K) e.v y U y W subesp. De V llamamos subesp suma al formado por:

    U + W = {u + w E V/ u E U y w E W}

    Se trata de suma directa si verifica:

  • U + W = V

  • U " W = {w}

  • &Propiedades :

  • V(K) e.v W subesp de V // Dim W " Dim V

  • Dim (U+W) = Dim U + Dim W = Dim (U"W)

  • Dim (U*W) = Dim U + Dim W

  • Dim (U+W) = DimU + DimW - dimU"W

  • Nota : {v1, ...vn} C V libre ! Rg {v1, ... vn}= n y si Rg{v1, ...vn}< n !Ligado

    Base canónica es la base más simple de encontrar en un espacio vectorial

    &Aplicaciones lineales : Sean U(k) y V(k) e.v de K f: U!V aplic lineal si .

    • a) Es aplicación

    • b) F (u+v) =  f(u) +  f(v) pc ,  E K y pc u, v E U

    Nucleo de f Kerf = {u E U / 0}

    Imagen de f Imf = {vEV/  u E U : f(u)=v}

    Proposiciones :

  • Kerf subgrupo de U

  • Imf subgrupo de V

  • F homomorfismo ! Kerf = {0v}

  • F epimorfismo ! Imf = V

  • Dim U = dim Kerf + dim Imf

  • &Generadores

    pc u E U  1...n E K

    ¿ u = 1v1+... +pvp + p+1 up+1....+ p+qup+q ?

    pc u E U ! f (u) = Imf ! f (u) = p+1up+1 + ...p+qup+q

    f(u) = p+1 f(up+1) +...... p+q .f(up+q) =

    = f ( p+1.up+1 +... + p+q.up+q )

    & Expresión matricial de una aplicación lineal

    Sea f: U! V a.lineal dimU = n y dimV = p y sean  = {u1,..., un} base de u y 1 = {v1, ...vp}base de V.

    F(u1) E V f(u1) = a11 v1 + a21v2 .... + ap1vp

    F (u2)E V f(u2) = a12v2 + a22v2 .... + ap2vp

    .

    f(un) E V f(u3)= a1nv1 + a2nv2 .... + apnvn

    Sea x E U ! x = x1u1 + ... xnun ! f(x) = f(x1u1+...xnvn) = x1f(u1)+...xnf(un) =

    x1( a11v1 + a21v2+...a1nxn)+ ...+ xn(a1nv1+...apnvp) = v1 (a11x1+...a1nxn) + vp (ap1x1+...apnxn) = ( y1, y2, .....yp)1

    Notas:

    Toda aplicación lineal tiene asociada una matriz y toda matriz tiene asociada una aplicación lineal.

    por filas : F(x)t = Mt Xt

    f: U !V aplicac lineal ! dimenf = rg M con M matriz asociada a M.

    T8 : Diagonalización de Matrices

    Sea A E Mn(K), se trata de halalr valores de  E K y de v E Mn(k) v " 0 t q cumplan AV = V

    AV = V

    AV - V = 0

    (A - I)V = 0 S.C.I

    Si es S.C.I {puesto q V " 0soluc trivial} y ademas sist homog det (A - I) = 0 {pq rg(A-I) < n}

    & Polin característico de A : Polinomio de grado n en  dado por P() = det (A-I)

    & Autovalores de la matriz A : Raices de P() {Hacen cero el polinomio}

    y a los vectores V E Mnx1(K) tq AV = V se les denomina autovectores de A asociados al autovalor o de A.

    &Espacio propio de o Cto formado por todos autovectores de A asociados a o sabiendo q estos esp propios son subesp de Kn

    Llamamos matriz de paso p a la matriz formadapor los autovectores de A.

    & Th 1 : Si A E Mn(K) y tiene 1,....n E K autovalores distintos A Diagonalizable

    &Th2 : Sea A E Mn(K) y 1,....n E K autovalores de A con m1,... mp p E N(sus respectivas multiplicidades)y m1+...+mp = n es diagonalizable ! dim Ei =mi pc i = 1,...p.