Fundamentos de lógica matemática; Aranda

Informática. Lógica de proposiciones. Tautología. Predicados de primer orden

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Escolios al libro 'Fundamentos de Lógica Matemática' de J. Aranda, J.L. Fernández, J. Jiménez y F. Morilla. Ed. Sanz y Torres. Madrid 1999.

En cursiva la localización del texto comentado por el escolio. Algunos hacen referencia a temas tratados posteriormente en el libro, por lo que adquieren sentido tras una primera lectura completa del capítulo correspondiente. Otros son desarrollos bastante más extensos que un simple escolio, a modo de pequeño apéndice sobre un tema. Más de la mitad se refieren a los capítulos II y III, que es donde se concentran casi todos los problemas de comprensión. No hay acotaciones sobre lógica de segundo orden que en el curso 1999-2000 no entraba en el programa.

Si encuentras algún error o errata, por favor, avísame.

r.factorial@terra.es

Roberto Alonso Menlle

Ceuta

Curso 1999/2000

Antes de seguir dos observaciones sobre la notación:

A lo largo de todo el libro se utilizan casi exclusivamente las letras p y q para designar proposiciones. Es una tradición que puede llevar a confusión. No es raro resolver un problema mal por una transliteración disléxica. Atención pues a esos pequeños, pero graves, errores.

En estas notas usaré siempre el símbolo " para designar una equivalencia entre expresiones lógicas (símbolo que no forma parte del alfabeto de la lógica y usado en Programación 2, tanto para definición como para equivalencia) que nunca llevará a confusión, en lugar de la más tradicional y correcta ! usada en el libro, que reserva " para la definición.

CAPÍTULO II. Lógica de proposiciones.

Pag. 9. Último párrafo. Queda por definir que es un `enunciado declarativo'. Esto no es más que un pequeño guiño a lo que viene después. Tomemos el camino que tomemos para definir una proposición, siempre llegaremos a una oración primitiva que no podremos definir en función de otra definición. Llegamos a una definición axiomática; la necesidad de axiomatizar llega a cosas tan de uso común como el lenguaje. A fin de cuentas qué es un diccionario más que una colección de axiomas semánticos (muchos menos de lo que puede parecer a primera vista).

Pag. 17. Tabla de verdad. De aquí obtenemos directamente unas cuantas equivalencias, sin tener que esperar a la posterior demostración del correspondiente teorema (aunque la definición de equivalencia de sentencias sí esperará hasta la página 20).

p"q " ¬(¬p"¬q).

p"q " ¬(¬p"¬q). Estas dos primeras demuestran las leyes de Morgan.

p"q " ¬(p!q).

p!q " ¬p"q. FUNDAMENTAL. Será muy usada (la que más) en desarrollos posteriores.

Y si operamos en los casos " y ! obtenemos las siguientes equivalencias que resultarán de utilidad ¡especialmente en exámenes!:

p"q " (p"¬q) " (¬p"q) " (p"q) " (¬p"¬q)

p!q " (p"q) " (¬p"¬q) " (p"¬q) " (¬p"q).

Pag. 18. Por diferentes causas, al comenzar el estudio de la lógica, la correcta interpretación del condicional plantea demasiados problemas. Problemas que sólo tienen importancia si queremos formalizar como predicado lógico una oración verbal o situación real que implique una condición. Si ya tenemos escrito un predicado con condicional, situación típica de examen, podemos obviar toda la discusión que sigue; basta aplicar al pie de la letra la tabla de verdad, de manera mecánica.

De entrada, el nombre de `implicación material' tendrá razones históricas o etimológicas, pero es tremendamente desafortunada, dando lugar a equívocos. Amén de la coletilla `material', que parece sugerir que el condicional sólo es aplicable a procesos o conceptos materiales, no a abstractos. Pero bueno, esto es lo que hay y así hay que aceptarlo. Incluso, en desarrollos rápidos, verbales o sobre la pizarra, diremos con frecuencia simplemente `implicación'. Hay bastantes más ejemplos de abuso de lenguaje como veremos aquí y en el libro.

¿Cómo puede ser cierto que de una falsedad `deduzcamos' una verdad y aceptemos la `deducción' como válida?. Ojo al detalle, lo que aceptamos como válido es la `deducción' o proceso deductivo, no lo deducido. Pero vayamos por partes. Primero hay que saber qué es el condicional y después qué la deducción.

En cuanto a qué es un condicional, no suele haber discrepancias si se pide una definición informal; cosa bien distinta ocurre si lo que pedimos es que se escriba su tabla de verdad. Partamos de un ejemplo:

Ante el mostrador muy surtido de una frutería me preguntan ¿qué fruta quieres comer? en un momento que no tengo muy claro que es lo que me apetece, pero contesto con la siguiente expresión condicional: `si es tropical, entonces que sea madura'. Oración que contiene implícita en la condición la frase: `cualquier fruta, me da lo mismo, pero si es…'. Ocurre entonces:

fruta tropical ! madura

¿me das una piña madura?: me la como (V ! V " V)

¿me das una piña verde?: NO me la como (V ! F " F)

¿me das una manzana madura?: me la como (F ! V " V)

¿me das una manzana verde?: me la como. (F ! F " V).

Siendo V o F la veracidad de cada proposición (en realidad, predicados, pero no afecta al razonamiento). O viéndolo en modo conjuntista siendo V o F la pertenencia o no a los respectivos conjuntos {frutas tropicales}, {frutas maduras} que están incluidos en el universal {frutas}. Así el conjunto {tropical !madura} tiene como elementos a todo el universal, excepto todas las frutas tropicales no maduras.

En general, para poner ejemplos, no se deben usar frases de uso corriente con una carga subjetiva o emocional, que teniendo una estructura gramatical idéntica a una expresión lógica, no se puede escribir como tal enunciado lógico. Por ejemplo, si con tono de fastidio digo `si llegas tarde entonces me voy solo al cine' se escribiría en lógica, a falta de otras premisas, con un bicondicional en vez de con un condicional.

Ahora, la deducción.

Tomando el ejemplo anterior, podemos ver que un condicional no es más que eso, la simple enunciación de una condición; no es ni una deducción ni mucho menos una implicación. Para poder hacer una buena deducción, necesitamos algo más, como se verá con más detalle en las reglas de inferencia o deducción (páginas 43 y ss). Pero aquí nos interesa centrarnos en los dos modos clásicos de hacer una deducción:

Expresar la condición Y afirmar el antecedente, de lo que deducimos el consecuente.

Expresar la condición Y negar el consecuente, de lo que deducimos la negación del antecedente.

En nuestro ejemplo de la fruta: Si digo: `Si la fruta es tropical, entonces que sea madura' y afirmo que la fruta que me voy a comer `sí es tropical', entonces sí puedo deducir que esa fruta tropical es madura. Si dado el mismo condicional, la afirmación que hago es `la fruta que voy a comer no está madura', entonces puedo deducir que no es tropical.

Por el contrario, si afirmo `no es tropical', entonces no puedo deducir si será madura o no. Tampoco podré saber si la fruta es tropical o no si afirmo que `es madura'.

Tenemos un problema añadido con el lenguaje normal, no formal. Cuando expresamos una condición, con frecuencia, de manera implícita, hacemos una afirmación del antecedente, de tal manera que en realidad estamos haciendo una deducción; o incluso estamos expresando una implicación lógica encubierta. Si oímos comentar a alguien `si la declaración de la renta me sale positiva, ya buscare alguna trampa', … en fin, mientras Hacienda no diga lo contrario, nuestro declarante está expresando una implicación lógica o estricta, no un simple condicional.

Un caso práctico:

En un examen nos dan dos proposiciones (o predicados) A y B, y nos preguntan si de A se deduce B. A priori, la respuesta sería `no tenemos suficientes elementos de juicio'. Pero sí los tenemos. La frase está haciendo una elipsis importante; una construcción más correcta sería: si afirmásemos A o negáramos B, ¿podríamos de A deducir B?. Ahora sí podemos contestar. Por supuesto, la respuesta dependerá de cómo sean A y B.

Ejemplo tomado del examen tipo A de la primera semana junio de 2000, pregunta 2:

Dadas P1:(p"q) !p P2: p!(p"q), se decude o es consecuencia:

a) P2 de P1, pero no P1 de P2 (respuesta correcta)

b) P1 de P2, pero no P2 de P1

c) P1 de P2, y P2 de P1

d) ni P1 de P2, ni P2 de P1

Ver otro ejemplo más elaborado en el mismo examen, pregunta 7 (respuesta correcta: d).

Pag. 21. Esta tabla de verdad está organizada de tal manera que en las columnas Cx y Cy, (x e y complementarias entre sí en base 16), los contenidos semánticos son complementarios. Dicho de otro modo, tomando C3 y C12, 3+12=15, donde una tiene una V la otra tiene una F y viceversa. Me gusta bastante más otra organización: las columnas están organizadas de tal modo que siendo V=1 y F=0 el valor en binario de cada columna se corresponde con el valor decimal del subíndice de C. Permite ver una serie de simetrías entre las diferentes conectivas u operadores que así no se ven. De todos modos, para nosotros es algo intrascendente.

Pag. 23, principio del párrafo II.3.1. Al contrario que los otros procedimientos de decisión, éste además de decidir, evidencia todos los posibles casos de indeterminación.

Pag. 34 Axiomas de del sistema PM. Hay que memorizarlos por narices. Por dos razones:

Primero, por ser tautologías pueden simplificar enormemente el trabajo. Véase el escolio de la página 40.

Segundo, si se intenta operar dentro de ellos, especialmente el cuarto, es extraordinariamente fácil incurrir en un error de operación; sobre todo, en el tipo de fallo señalado en el escolio de la página 48. (Cómo ejercicio: operar hasta llegar a tautología el cuarto axioma).

Supongo que estos no serán los axiomas primitivos de PM. Los originales imagino que estarían definidos sólo con las conectivas primitivas (disyunción y negación), a partir de cuales se demuestran los teoremas correspondientes de equivalencias con los símbolos definidos. Por eso se da la aparente contradicción de que para los axiomas presentados en el libro se puede demostrar que son tautologías.

Estos axiomas se completarán con otros dos, en la página 99, para lógica de predicados.

Pag. 40. Por alguna parte del libro o de los ejercicios del CD vienen las siguientes expresiones, que aparentan falaces, pero son consecuencia directa de la tabla de verdad del condicional:

De cualquier cosa se deduce una tautología.

De una contradicción se deduce cualquier cosa.

Siendo p una proposición cualquiera, las expresiones `p ! Tautología' y `Contradicción ! p' son tautológicas. En cada una de ellas, la tautología y la contradicción hacen que ! sea una tautología.

Son dos frases que conviene no olvidar. Pueden ahorrar mucho trabajo si nos preguntan si un condicional es tautológico, contradictorio o indeterminado y nos damos cuenta que el antecedente (consecuente) es una contradicción (tautología).

Pag. 42 y 43. Se mencionan hasta 17 maneras tradicionales de referirse al condicional S!T. Faltan dos de uso muy frecuente, especialmente en matemáticas, para referirse a la implicación formal o matemática:

S es condición suficiente pero no necesaria para T

T es condición necesaria pero no suficiente para S.

Incurriendo una vez más en abuso de lenguaje, también se usan estas dos expresiones verbales para el condicional o implicación material.

Tanto si es implicación formal o material, estas expresiones se refieren a S!T; en ningún caso se deben tomar al pie de la letra traduciéndolas como (S!T)"¬(T!S).

Pag. 44. No confundir jamás las reglas de inferencia con el método de resolución que se verá más adelante. En particular será de uso intensivo RI^.

Pag. 47. (II-6.2) Como se ve en la colección de `Ejercicio Básicos de Lógica de Proposiciones' incluida en el CD (de muy recomendable ejecución), existen dos tipos de formas normales, la conjuntiva y la disyuntiva, perfectamente válidas las dos, y convertibles la una en la otra, como se vio en ETC1 (expresión de fórmulas lógicas como sumas de mimterms o multiplicación de maxterms). Podíamos pasar de una forma a la otra según nuestra disponibilidad de puertas. Normalmente en ETC, usábamos más la primera, pues era más compacta al escribir: omitíamos el signo and y paréntesis. Pero en lógica, siempre escribimos las conectivas, por lo que usaremos más la segunda (maxterms). Bien por tradición, bien porque en los comienzos de la electrónica digital fuese más fácil sintetizar circuitos lógicos usando maxterms o bien por el parecido con la aritmética, en la que la multiplicación es distributiva con respecto a la suma, usaremos en lógica la forma normal conjuntiva. (La distributividad de la suma con respecto a la multiplicación se cumple sólo en lógica, no en aritmética).

Pag. 48. Final del último párrafo sangrado. Como notación informal, también podemos usar V o T para indicar una tautología, en vez de ¬p"p, que evita errores graves si se simplifica la expresión de una manera mecánica. Por ejemplo: en (¬q " q) " p, no se plantea ningún problema por omitir la tautología, queda lo que es, una indeterminación en función de p; pero si en q " ¬q " q no escribimos la tautología evidente nos quedaría una indeterminación en función de q, en vez de T " q, que también es una tautología. Para la contradicción podemos usar F o C.

La omisión errónea de una tautología en una disyunción o de una contradicción en una conjunción, son errores graves muy fáciles de cometer.

Pag. 49. II.6.1 Regla de resolución. Aquí es donde viene a colación la nota hecha a la página 44 que, junto al párrafo inmediatamente después de (II-121): 'Una propiedad importante de las resolventes es que cualquier resolvente de dos cláusulas P1 y P2 es una consecuencia lógica de P1 y P2', permite aclarar un error frecuente inducido por la actual redacción del libro (y sobre todo su ordenación), que invita a hacer una generalización equivocada del proceso de resolución. Hago un pequeño resumen informal de la mecánica de resolución.

Poner todos los predicados en forma clausulada, aplicar resolución hasta donde sea posible; si al final llegamos a una única cláusula resolvente, arreglado, esta cláusula será la consecuencia lógica que estamos buscando. Si al contrario, obtenemos dos o más resolventes que no se pueden resolver en otra, estas resolventes serán los predicados sobre los que trabajaremos para realizar una inferencia correcta; para ello, aplicar la regla de la unión o de la introducción de la conjunción (RI^, pag. 44). Las otras reglas de inferencia las hemos estado usando mecánicamente en el proceso de resolución.

Y aquí salta uno de los problemas más cotidianos: el hacer las cosas 'mecánicamente'. Incluso teniendo lo anterior claro, te pones a trabajar, escribes predicados en forma clausulada y colocaditas las cláusulas una encima de otra ... y tira millas; empiezas a tachar y operas rápido, sobre la marcha, SIN reescribir las resolventes. Resultado: acabas haciendo una disyunción de predicados y consigues una hermosa e ilógica inferencia lógica.

Hay además otro error muy común. Nos presentan una proposición y preguntan ¿cuántas cláusulas tiene?. Clausulamos y obtenemos n cláusulas, de las que m son tautologías. La respuesta es n-m, no n. Un ejemplo: (p"q) ! p " (¬p"¬q) " p " (¬p"p) " (¬q"p). La proposición tiene una cláusula, no dos. La otra es tautología. Decir que tiene dos cláusulas es admitir como válida (¬q"p) " T " (¬q"p) " T " T " … : infinitas cláusulas. La expresión desde luego es correcta, pero carece por completo de interés para el proceso de resolución.

Pag. 50. Segundo párrafo, referido a la completitud del sistema inferencial basado en la regla de resolución. En la página 107 se define literal como fórmula atómica con o sin ¬. El párrafo completo es prácticamente ininteligible; con tantas oraciones coordinadas con conjunciones copulativas, al final no sabes quién coordina con quién. De una manera informal, creo que se puede resumir en ir resolviendo cláusulas y los resultados combinarlos con todo lo posible. Además habría que incluir en todas esas combinaciones la disyunción de todos los literales que forman parte en alguna premisa con todas las premisas y todas las conclusiones. De este modo, si P es el conjunto de las premisas, C el de las conclusiones, L el de los literales y # el cardinal de un conjunto se verifican las siguientes relaciones: #{P"L} " #{P} * #{L} y #{C"L} " #{C} * #{L}.

Todos los comentarios anteriores son extensivos a lógica de predicados de primer orden con las evidentes precauciones referidas a los cuantificadores y al valor semántico de los predicados para cada sujeto concreto del universo del discurso.

CAPÍTULO III. Lógica de predicados de primer orden.

Pag. 92. III.2.1 Para enlazar un poco con la terminología usada en el gran hueso de la carrera que es Programación II (Ver pag. 30, 31, 32 y nota a pie de ésta última en el libro de texto de PII: Diseño de programas, formalismos y abstracción. R. Peña Marí, Prentice Hall, 2ª edición, al que cariñosamente llamo `el laberinto de la Peña' o abreviadamente el Peña(zo)'.): si una sentencia es cerrada, diremos que todas las variables que intervienen en las fórmulas atómicas son variables ligadas o mudas. Están ligadas a un cuantificador, cuantificador con el que hemos realizado una restricción o especificación del dominio de los posibles valores que la variable puede tomar (especificación de las condiciones del dominio). Por el contrario, si la sentencia es abierta, es que tiene variables libres, con lo que no podremos darle una interpretación mientras no establezcamos las condiciones del dominio de dicha variable, que es lo mismo que cuantificar la sentencia.

Pag 94. III-5 a III-10. Son de una trivialidad pasmosa, como pasmosa es la facilidad con la que te olvidas de algo tan trivial en momentos críticos.

Pag. 96 y ss. Interpretación. Los casos mencionados aquí son simples. Veamos uno bastante más complejo sacado del examen de la segunda semana de junio de 2000, tipo E, aprovechando el ejercicio para discutir otros temas (antes sería conveniente pelearse con los problemas 182, 187 y otros similares de la colección de problemas del CD -números de la versión de 1998-).

Nos dan los siguientes predicados (inmediatamente después de cada predicado su clausulación):

P3 " "x"y(Rxy !Sxy) " "x"y(¬Rxy " Sxy) " "x(¬Rxfx " Sxfx) " ¬Rxfx " Sxfx.

P4 " "x"y(Rxy!Qx) " "x"y(¬Rxy " Qx) " ¬Rxfx " Qx.

P5 " "x"y(Qx!¬Sxy) " "x"y(¬Qx " ¬Sxy) " ¬Qa " ¬Say.

Y la siguiente interpretación M: U={0,1,2}, Q={0}, R={(2,2)}, S={(0,1),(1,2),(2,1)}.

Al presentarnos así la interpretación, quiere decir que tenemos un conjunto Universal de sólo tres elementos (los señalados: 0, 1 y 2), que al predicado Q sólo lo hará cierto el sujeto 0, a R sólo el par (2,2) -esto es, cuando x=2, y=2-, y a S lo hacen cierto los pares indicados.

Intercalo, en otro tipo de letra, tamaño y color diferentes acotaciones a este ejercicio con la notación y terminología usada en Programación II sin entrar en mayores detalles (páginas 33 a 41 del ya mencionado Peña)

En este ejercicio, tanto R como S son predicados con dos variables y dada la interpretación ofrecida, ambas son del mismo tipo, pues pertenecen al mismo universo del discurso. Normalmente en PII deberemos especificar el dominio (universo) de cada una de las variables.

Para el predicado Q: ID "{x} y D " U (ID: conjunto de identificadores, D: dominio)

Para los predicados R, S: ID "{x,y} y D " UxU (producto cartesiano)

En ambos casos los dominios coinciden con los respectivos conjuntos  de todos los posibles estados y se cumple #Q =3 y #R = #S = 9.

estados(Q)"{0}, estados(R)"{(2,2)}, estados(S)"{(0,1),(1,2),(2,1)}.

¿Cuántas funciones de Skolem hay que introducir en P3 para clausularla? (en el examen preguntaba en P4). Una; puede parecer que dos, pero se introduce dos veces la misma función. Otra cosa sería si por haber más cuantificadores hubieran aparecido g(x) y f(x), en cuyo caso sí serían dos funciones.

¿La interpretación M satisface a ¬P4?: se trata de demostrar que "x"U, ¬P4 es una tautología. O bien si encontramos un contraejemplo podemos asegurar que M no satisface a ¬P4.

¬P4 " Rxf(x) " ¬Qx. Para x=0, Q se hace verdadero, ¬Q falso, lo que hace toda la conjunción falsa. Por tanto, M no satisface a ¬P4.

¬p4 = UxU, estados(¬P4)"{"}

¿M satisface a P4?. El gran escollo. Veamos varias maneras de resolverlo

P4 " ¬Rxfx " Qx.

Para x=0, Q cierto, P4 cierto (por ser P4 una disyunción).

Para x=1, Q falso, pero ¬R1* (* será cualquier valor) es cierto, entonces P4 cierto.

Para x=2, Q falso, ¿¬R2*?. Aquí hay que recordar qué es la función de Skolem en este caso concreto: es algún (o algunos) elemento(s) del universal que en función de x hace falso a R. No quiere decir que tengamos que probar todas las combinaciones del 2 con los otros elementos del universal. (Lo veremos más claros con los otros métodos para resolver el problema). Y bien, en este caso, existen dos elementos, el 0 y el 1 que hacen a ¬R cierto. Por tanto, también en este caso P4 es cierto y podemos asegurar que M satisface P4.

Otro método, muy claro pero largo. Usando III-11 a III-14 del libro podemos escribir, partiendo de la forma no clausulada:

P4 " "x"y(Rxy!Qx) " "x"y(¬Rxy " Qx) " [(¬R00"Q0)"(¬R01"Q0)"(¬R02"Q0)]" [(¬R10"Q1)"(¬R11"Q1)"(¬R12"Q1)]" [(¬R20"Q2)"(¬R21"Q2)"(¬R22"Q2)], que es una tautología, pues tenemos [V"V"V]"[V"V"V]"[V"V"F].

Como ejercicio: ¿por qué no es válida la siguiente transformación?: P4 " "x"y(Rxy!Qx) " "x"y(¬Rxy " Qx) " [(¬R00"Q0)" (¬R01"Q0)" (¬R02"Q0)]" [(¬R10"Q1)" (¬R11"Q1)" (¬R12"Q1)]" [(¬R20"Q2)" (¬R21"Q2)" (¬R22"Q2)]

Y el tercer método, quizá el más útil en este tipo de problemas. Trabajar directamente sobre la forma no clausulada, pero sin condicionales.

P4 " "x"y(¬Rxy " Qx). Para x igual a 0 y a 1, no tenemos problemas, se satisface (lo hemos visto más arriba). Y para x=2, ¿existe algún y perteneciente al universal que haga cierto P4?. Sí, tenemos dos (y=0 e y=1, aunque nos llega y sobra con uno). Por tanto, lo ya repetido otras veces, M satisface a P4

p4 = UxU, estados(P4)"{(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1)}

¿M satisface a P3?. Queda como problema, muy similar al anterior, que también tiene respuesta afirmativa.

¿Es ¬P4 satisfacible?. Como ya hemos visto que M no satisface a ¬P4; existe entonces la tentación de decir que no. Pero para que sea satisfacible, basta con que exista una asignación de variables (dentro o fuera de M, pero por supuesto dentro del universo del discurso) que haga a ¬P4 verdadera, como es el caso.

Esto entra dentro de lo que habría que establecer como convenio, pero en principio creo que si la pregunta fuese ¿es ¬P4 satisfacible en la interpretación M?, la respuesta seguiría siendo afirmativa, a pesar que la interpretación M, como un todo, no satisface ¬P4.

Por ejemplo, dentro de la interpretación M el estado  = (x=2,y=2), satisface ¬P4:

[¬P4] (x=2,y=2) = V.

Fuera de la interpretación de M, con los datos que tenemos, no podemos decidir.

Pag. 103 III-42. En el momento que predicamos algo (P) de dos o más sujetos (xy) y lo ponemos en un único predicado, estamos entrando de cabeza, sin quererlo ni saberlo, en lógica de relaciones. Si tú y yo somos L, siendo L el predicado `ser estudiante de lógica', es que pertenecemos a la clase de equivalencia formada por todos los estudiantes de lógica, nos guste o no.

Pag. 109, párrafo anterior a III-59. Tal como está redactado, suena como si estuviéramos haciendo trampa. Pero veamos otra manera: si escribimos "xPx, esto lo leemos `En todo el universo del discurso sí existe una x tal que esa x sea P'. Pues bien, a `esa x' dejaremos de llamarla así para llamarla a. ¿Qué quién es a?. No nos preocupa, a nosotros nos basta con saber que a " al universo del discurso y que verifica la propiedad `ser P'. Esta x que es a, no tiene que ser única (el caso de unicidad de la x que es a ya lo veremos más adelante), pero es algo que tampoco nos preocupa.

Pag. 110, final de segundo caso (…al ser imposible..). También aquí la redacción puede resultar confusa. Tal vez sirva (¿?) la siguiente: al ser imposible asignar un valor arbitrario para dicha constante de Skolem, ya que la variable a sustituir esta ligada tanto al existencial como al universal. Para cada posible valor de la x existirá otro valor que cumpla lo que sigue, pero dependerá en cada caso de la x que tomemos del universo del discurso.

Pag. 110. último párrafo. Antes de seguir, hay que fijar el convenio notacional que se va a usar pero que no está convenientemente explicado. En lo que sigue g y f serán funciones y a una constante de Skolem. Para mayor claridad, pongo el punto que normalmente omitimos y que se lee `tal que'.

"x"y"z"t.Rxyzt "("x"y)^(Az"t).Rxyzt " Rxf(x)zg(z). y está ligado a x, t SÓLO está ligada a z.

"x"y.Pxy " ("f)"x.Pxf(x)

"y.Rxy " "x"y.Rxy " Rxf(x)

"x"y.Rxy " Ray

Siguen ahora cuatro expresiones que no son convenio notacional, pero es conveniente destacarlas y que son fáciles de demostrar convirtiendo P!Q en ¬P"Q

"x(Px!"yQy) " "x"y(Px!Qy) " Px ! Qa

"x("yPy !Qx) " "x"y(Py!Qx) " Pa!Qx

"x("yPy!Qx) " Py ! Qx

"x"y(Pxy ! Qy) " Pxf(x) ! Qf(x).

Pag. 123 III.8. Es una satisfacción ver que no soy el único que unas veces omito acentos y otras pongo de más.

Pag. 129 III.10. Desde la aparición de un lenguaje formal para la lógica, dominar la silogística aristotélica y escolástica puede ser de gran ayuda para realizar inferencias rápidas a partir de premisas sencillas, sin usar lápiz y papel, pero creo que el esfuerzo no compensa en absoluto (mejor olvidar tediosas clases de filosofía. Que se fastidie Esperanza Aguirre y su comité de sabios). Todo esto ya es historia, de la fungible.

CAPÍTULO IV. Otras lógicas.

Pag. 178 antes de IV-7. Y si el artículo determinado singular es el descriptor del universo del discurso, el artículo determinado plural es el cuantificador universal.

Pag. 179 segundo párrafo. Para mantener la misma notación que en los ejemplos que siguen, podrían haber intercambiado x e y.

En el ejemplo del 7 lo podemos poner y leer así: 7=ix.(x2=49), "(1)x"N. x2=49, etc.

Pag. 190, final. Sobre este epígrafe, el prof. J. Jiménez me comentó en consulta telefónica que el ejemplo no era completamente correcto, pero no recuerdo exáctamente qué era lo que estaba mal. Yo le veo (?) dos problemas:

El primero es más un problema de redacción. Establecer la relación `ser padre de' es establecer la relación `ser padre de algún x " U', lo que automáticamente está creando una clase P. Entonces la relación (composición) planteada en el ejemplo puede parecer una relación entre clases. Creo que un enunciado (o definición) más correcto sería `establecer una composición (que es una relación, llamémosla C) entre elementos, x, de una clase R (x"R) y otra clase (A) diferente'. Si esto es correcto significaría que los elementos de la composición (x"R) C A serían todas aquellas personas que son padres de la clase de los informáticos, esto es `aquellos padres que lo son de todos los informáticos' que es un absurdo por dos razones, mientras la genética diga lo contrario, nadie puede ser padre/madre de todos los informáticos (pobecit@ si existiera), y si existe, no puede haber más de uno. La conmutación de esta relación sería A C (x"R) que ahora sí podemos leer correctamente como la nueva clase formada por todos los informáticos que son padres.

Pag. 193. Meter un pequeño resumen de las relaciones: "xyz:

Reflexiva: (Rxy " Ryx) ! (Rxx " Ryy), o en forma clásica breve, Rxx.

Simétrica: Rxy ! Ryx.

Asimétrica: Rxy ! ¬Rxy.

Antisimétrica: Rxy " Ryx ! x=y.

Transitiva: Rxy " Ryz ! Rxz.

Pag. 199, séptima línea, frase `una entidad sólo puede tener propiedades de tipo superior próximo'. Próximo en la acepción matemática del término: el inmediatamente superior (o inferior).

Pag. 209, último párrafo antes de la tabla. Ley del tercio excluso: p " ¬p, `siempre se verifica una sentencia o su negación'.

Ley de la contradicción: ¬(p " ¬p), `no se pueden verificar simultáneamente una sentencia y su contradicción'.

Como consecuencia de la no satisfacción en la lógica trivalente de leyes de uso muy común en lógica bivalente como las anteriores, dada una fórmula polivalente NO SE PUEDEN realizar operaciones de transformación en fórmulas `equivalentes' sobre ella. Por ejemplo, NO son ciertas las dos equivalencias siguientes:

p ! q " ¬p " q, (p " q) ! p. Compruébese con la tabla de verdad para los valores p = q =1/2 .

Esta norma de no-transformación es extensible a todas las lógicas polivalentes y borrosa. Lo que no impide que cada una de ellas tenga sus propias leyes específicas de transformación.

CAPÍTULO V. Lógica borrosa.

Pag. 235 primer párrafo. Este grado de pertenencia se puede definir, según los casos, de un modo extensivo (tabulando) o intensivo, mediante una función de pertenencia (ver pags. 232 y 248).

Pag 235 último ejemplo. Queda demostrado con un contraejemplo que no estamos sumando probabilidades.

Pag 239 el ejemplo 1 no es muy afortunado: difícilmente el elemento del producto cartesiano `joven' de 5 años, estatura media de 170, tendrá un grado de pertenencia 1. No quiere decir esto que el producto cartesiano esté mal definido, lo que necesita una redefinición son los conjuntos borrosos de partida.

Pag 244. Recordatorio del producto de matrices:

a

b

a1+b4

a2+b5

a3+b6

c

d

X

1

2

3

=

c1+d4

c2+d5

c3+d6

e

f

4

5

6

e1+f4

e2+f5

e3+f6

g

h

g1+h4

g2+h5

g3+f6

Pag. 235 V-30 a. Si lo que nos piden es I(¬A(x) !B(y)) nos sale lo siguiente, que a primera vista parece erróneo: max(min(A(x),B (y)), 1-(1-A )) = max(min(A(x),B (y)), A ).

Pag. 254 Párrafo que empieza `Para obtener…' El condicional ampliado tiene la forma: (P!Q)^(¬P!R). Pag. 15.

Pag. 262. Recordatorio de cuantificador borroso. Afectan a la cardinalidad del conjunto borroso, haciéndolo más o menos impreciso (número borroso). Algunos cuantificadores borrosos son: muchos, pocos, algunos ….

r! infimáticos, Ceuta.