Funciones y números primos

UNA APROXIMACION DE LA FUNCION

EN TEORIA DE NUMEROS

1.-Abstract

La funcion
en teoria de numeros nos da el numero de primos en un intervalo de 2 a x donde x es un numero real, la formulacin exacta de sesta funcion existe sin embargo tienen varios problemas como por ejemplo que son dificiles de computar o necesitas conocer todos los primos menores que el numero dado x.

En este documento pretendo dar una aproximación de esta funcion
usando para ello los metodos matematicos de la transformada de Laplace y la trasnformacion de Euler de una serie alterna, pienso que este metodo puede simplificar grandemente el problema para poder hallar una expresion de esta formula valida para todo x.

2.-Calculo de

De la identidad:

Donde la suma esta tomada sobre todos los primos y con f is diferenciable para todo R substituyendo f(x) =exp(-sx) con Re(s)>0 tendriamos::

(2)

O de la definicion de la Transformada de Laplace:

Si pudiesemos calcular la suma anterior podriamos resolver
haciendo la transformada inversa desgraciadamente esta suma es dificl de calcular para hallar una aproximacion usaremos la transformacion de Euler de una serie alterna::

La funcion
vale 0 o 1 dependiendo de si n es primo o compuesto y (-1)p is -1 para todos los primos excepto 2 y tenemos que el termino an>0 para todo n asi que aplicando la transformación de Euler:

En este caso a0=1

Donde se ha definido el operador derivada fraccionaria como sigue:
,

Poninedo Z=exp(-s) en Nuestra trasnformada de Euler tendriamos:

::

Donde la funcion E(s) esta definida como::

Donde L-1 es la transformada inversa de Laplace:

And finally we have

Where we have called R(s) to the function

Una variacion de este metodo podria servirnos para calcular sumatorios sobre primos para cualquier funcion f(x) simplemente si cogemos la serie:

Haciendo ahora Z=1

Aplicando ahora Z=1 en nuestra transformacion de Euler tendremos:

Asi que hemos conseguido calcular la serie
para cualquier f:

La eleccion de la transformada de Euler se debe a que sirve para mejorar la convergencia de la s series alternadas y que bastan unos pocos terminos de la serie aplicando dicha transformación para calcular su suma de manera aproximada asi que relamente con unos pocos valores de
bastarian para calcular la suma aproximada de exp(-sp) para todos los primos p.

Otro uso de este metodo seria para calcular la funcion B(n) que es la funcion característica de los primos:

b(n)=0 sii n es compuesto b(n)=1 sii n es primo.

Sabemos que
siendo este B(n):

A partir de conocer B(n) para todo n representadola podriamos saber cuando B(n) =1 siendo en este caso el n un numero primo.