Funciones y números primos

Teoría de números. Función número primo. Trasformaciones de Laplace y Euler. Propiedades

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UNA APROXIMACION DE LA FUNCIONFunciones y números primos

EN TEORIA DE NUMEROS

1.-Abstract

La funcion Funciones y números primos
en teoria de numeros nos da el numero de primos en un intervalo de 2 a x donde x es un numero real, la formulacin exacta de sesta funcion existe sin embargo tienen varios problemas como por ejemplo que son dificiles de computar o necesitas conocer todos los primos menores que el numero dado x.

En este documento pretendo dar una aproximación de esta funcion Funciones y números primos
usando para ello los metodos matematicos de la transformada de Laplace y la trasnformacion de Euler de una serie alterna, pienso que este metodo puede simplificar grandemente el problema para poder hallar una expresion de esta formula valida para todo x.

2.-Calculo deFunciones y números primos

De la identidad:

Funciones y números primos

Donde la suma esta tomada sobre todos los primos y con f is diferenciable para todo R substituyendo f(x) =exp(-sx) con Re(s)>0 tendriamos::

(2) Funciones y números primos

O de la definicion de la Transformada de Laplace:

Funciones y números primos

Si pudiesemos calcular la suma anterior podriamos resolver Funciones y números primos
haciendo la transformada inversa desgraciadamente esta suma es dificl de calcular para hallar una aproximacion usaremos la transformacion de Euler de una serie alterna::

Funciones y números primos
Funciones y números primos
Funciones y números primos

La funcion Funciones y números primos
vale 0 o 1 dependiendo de si n es primo o compuesto y (-1)p is -1 para todos los primos excepto 2 y tenemos que el termino an>0 para todo n asi que aplicando la transformación de Euler:

Funciones y números primos
Funciones y números primos

En este caso a0=1

Donde se ha definido el operador derivada fraccionaria como sigue: Funciones y números primos
, Funciones y números primos

Poninedo Z=exp(-s) en Nuestra trasnformada de Euler tendriamos:

::

Funciones y números primos
Funciones y números primos

Funciones y números primos

Funciones y números primos
Funciones y números primos

Donde la funcion E(s) esta definida como::

Funciones y números primos

Funciones y números primos
Funciones y números primos

Donde L-1 es la transformada inversa de Laplace:

Funciones y números primos

And finally we have Funciones y números primos

Where we have called R(s) to the function

Funciones y números primos
Funciones y números primos

Una variacion de este metodo podria servirnos para calcular sumatorios sobre primos para cualquier funcion f(x) simplemente si cogemos la serie:

Funciones y números primos
Funciones y números primos

Haciendo ahora Z=1

Funciones y números primos
Funciones y números primos
Funciones y números primos

Aplicando ahora Z=1 en nuestra transformacion de Euler tendremos:

Funciones y números primos
Funciones y números primos

Asi que hemos conseguido calcular la serie Funciones y números primos
para cualquier f:

La eleccion de la transformada de Euler se debe a que sirve para mejorar la convergencia de la s series alternadas y que bastan unos pocos terminos de la serie aplicando dicha transformación para calcular su suma de manera aproximada asi que relamente con unos pocos valores de Funciones y números primos
bastarian para calcular la suma aproximada de exp(-sp) para todos los primos p.

Otro uso de este metodo seria para calcular la funcion B(n) que es la funcion característica de los primos:

b(n)=0 sii n es compuesto b(n)=1 sii n es primo.

Sabemos que Funciones y números primos
siendo este B(n):

Funciones y números primos
Funciones y números primos

A partir de conocer B(n) para todo n representadola podriamos saber cuando B(n) =1 siendo en este caso el n un numero primo.