Funciones vectoriales

En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.

R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j

Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones

X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b

Una función vectorial se expresa como:

R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k

Cuando t varia es posible imaginar que la curva C esta siendo trazada por la punta móvil de r(t)

Ejercicios:

1 Trazar la grafica correspondiente a la función vectorial

R(t)= 2 cos ti + 2 sen tj +tk t" o

Las ecuaciones parametricas de la curva son x = 2 cos t

Y = 2 sen t . eliminando el parámetro t de las 2 primeras ecuaciones,

Se ve que los puntos de la curva están situados en el cilindro circular

X2 + y2 = 4

z

cilindro x2+ y2 = 4

x

y

2.- trazar la grafica correspondiente a la función vectorial

r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + 3k

los puntos de la curva están situados en el cilindro x2 + y2 = 4

el valor constante z = 3 hace que la curva este situada 3 unidades arriaba del plano xy z

x2 + y2 = 4

z = 3

y

x

obtengo la función vectorial que describe la curva c de intersección del plano y = 2 x y el paraboloide z = 9 - x2 -y2

si hacemos x = t, entonces y = 2t, y de esta manera z = 9 - t2 - 4 t2 = 9 -5t2

z

X

Y

Calculo de funciones vectoriales

Limites y continuidad

La función fundamental de limite de una función vectorial se define en términos de los limites de las funciones componentes

Lim r(t) = lim f(t), lim g(t), lim h(t)

t a t a t a

TEOREMA

Si lim t a r1(t) = L1 y lim t a r2 (t) = L2 entonces

Lim C r1 (t) = CL1, C en donde C es un escalar

t a

(ii) lim [ r1 + r2 (t) = L1 + L2

t a

lim r1 . rt2 = L1 . L2

t a

Derivadas de funciones vectoriales

La derivada de una función vectorial r es

r'(t) = lim 1/t [r (t +t) - r(t)]

TEOREMA

Si r(t)= < f(t), g(t), h(t)>, en donde f,g,h son diferenciables, entonces

r'(t) =< f'(t). g'(t).h'(t)>

Interpretación geométrica de r'(t)

Si el vector r't no es 0 en un punto p, entonces puede dibujarse tangente a la curva en p.

r = r(t + t) - r(t)

r/ t = 1/t [r (t + t)-r(t)

Ejercicios:

1.-Trazar la curva C que es descrita por un punto P cuya posición está dada por r(t) = cos 2 ti + sen tj, o" t " 2". Trace r'(0) y r'("/6)

Eliminando el parámetro de las ecuaciones parametricas x = cos 2t

Y =2 sen t 0" t " 2" encontramos que C es la parábola x = 1-2y2

-1" x" 1

r'(t) = -2 sen 2 ti + cos tj

r´(0) = j y r'(" /6) = -"3i + " /2 J

r'(" /6) y

r'(0)

x

(1,0)

2.- obtener ecuaciones de parametricas de la recta tangente de la curva C cuyas ecuaciones son parametricas son

x = t2 y = t2 - t z = -7 t

en t =3

la función vectorial que indica posición de un punto p de la curva es

r(t) = r2 i + (t2 -t )j - 7 tk

r't = 2 ti + (2t -1)j -7k

r'(3) = 6i + 5j -7k.

Que es tangente a C en el punto cuyo vector de posición es

r'(3)= 9i +6j -21k

esto es, p(9,6,-21). Empleando las componentes de r'(3), vemos que

x =9 + 6t y =6 +5t z = -21 -7t

son ecuaciones parametricas de la recta tangente.

Derivadas de orden

Las derivadas de orden superior( o sucesivas) de una función vectorial se obtiene también diferenciando sus componentes. En el caso de la segunda derivada tenemos r'' = f''(t)i + g''(t)j + h''(t)k.

Ejemplo:

r(t) = (t3 - 2t2 )i + 4tj + e-tk ,

r'(t) = (3t2 -4t)i + 4j - e-tk

r''(t) = ( 6t -4)i + e-tk

regla de cadena

si r es una función vectorial diferenciables y s = u(t) es una función escalar diferenciable, entonces de r(s) con respecto a t es

dr/dt = dr/ds ds/dt = r'(s) u' (t)

Ejemplo:

Si r(s) = cos 2si + sen 2sj + e-3sk, en donde s = t4 , entonces

dr/dt = [ -2 sen 2si + 2 cos 2sj - 3e-3sk]4t3

integrales de funciones vectoriales

si f, g y h son integrables, entonces las integrales indefinida y definida de una función vectorial r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k se definen respectivamente por:

" r(t) dt = [ "f(t) dt] i +[ "g(t) dt] + [ "h(t) dt]k

Ejemplo:

Si

R(t) = 6t2 i + 4e-2tj +8 cos 4tk

Entonces

" r(t) dt = [6t2 dt]i + [ " 4e-2t dt]j + [ "8 cos 4t dt]k

=[2t3 + c1]i + [-2e-2t +c2]j + [ "2 sen 4t + c3]k

=2t3i-2e-2tj + 2sen 4tk +C

Ejercicios:

3.-r(t)=ti+ 2tj + cos tk, t "0

z

y

x

15.- r(t) = < t cos t - sen t, t + cos t

=e2t (2t + 1)i + ½ e-2tj + 1/2et2k +C

Movimiento sobre una curva

Velocidad y aceleración

Supóngase que un cuerpo o una partícula móvil describe una trayectoria C, y que su posición en ella esta dada por la función vectorial

R(t) = f(t)i + g(t)j +h(t)k

En donde t representa el tiempo. Si f, g y h tienen segundas derivadas, entonces los vectores

V(t) = r'(t)= f'(t) + g'(t)j + h'(t)k

a(t) =r''(t) =f''(t)i + g''(t)j + h''(t)k

se llaman velocidad y aceleración de la partícula, respectivamente. La

función escalar øv(t)ø= ødr/dtø ="(dx/dt)2+ (dy/dt)2+dz/dt)2

la longitud esta relacionada con la longitud de arco s mediante s'(t) =øv(t)ø

s = " øv(t)ø dt

Ejemplo1:

La posición de una partícula