Funciones matemáticas

Matemáticas. Función. Relación. Dominio. Rango. Par ordenado. Gráfica. Tipos

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FEBRERO, 2011

Introducción.

El presente trabajo está realizado con la finalidad de adquirir conocimientos sólidos sobre las funciones, y los tipos de funciones existentes, tales como, la función inyectiva, biyectiva, entre otros, así como también, la clasificación de las funciones, la cual está dividida en algebraica y transcendentes.

FUNCION.

Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo algunas de las expresiones que más nos interesan dentro del cálculo son las funciones.

Una funciónes una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos la función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permiterelacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.

Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos del condominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del codominio, sin importar  si los  elementos del codominio puedan estar relacionados con dos o más del codominio.

RELACION.

Una relación , de los conjuntos es un subconjunto del producto cartesiano.

Una Relación binaria es una relación entre dos conjuntos.

El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas.

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: en este caso se representa como, pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.

En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien

RANGO DE UNA FUNCION.

Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Dominio Rango

PAR ORDENADO DE UNA FUNCION.

Un par ordenado es una tupla de dos elementos, tal que uno puede ser distinguido como el primero y el otro como el segundo. Un par ordenado con primer elemento a y segundo b es escrito usualmente como (a, b).

Dos pares ordenados cumplen: (a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d

El conjunto de todos los pares ordenados en los cuales el primer elemento se toma de un conjunto X determinado y el segundo de un conjunto Y se llama producto cartesiano de X e Y, escrito.

Dados dos objetos matemáticos a, b, se llama par ordenado al objeto (a,b). Es decir, al conjunto formado por a,b, con el orden indicado y encerrado en un paréntesis.

Por ejemplo, si a es 2 y b es 7, (2,7) es un par ordenado.

Por ejemplo, si a es la función sen(x) y b es la función e^x, (sen(x), e^x) es un par ordenado.
Por ejemplo, si a es el apellido Pérez y b es el apellido Beltrán, (Pérez, Beltrán) es un par ordenado.

El conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar tomando para primer elemento del par un elemento de A y para segundo elemento del par un elemento de B se llama producto cartesiano de A, B y se escribe AxB.

GRAFICA DE UNA FUNCION.

En matemáticas, la gráfica de una funciónf:X → Y es la visualización de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representación iconográfica. También puede definirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.

Las únicas funciones que se pueden visualizar de forma completa son las de una sola variable, representables como un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma únivoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes de la función para los que los valores de todas las variables excepto dos permanezcan constantes.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma pero con dominios y codominios diferentes.

Ejemplo.

La gráfica del polinomio cúbico en la recta real

Es {(x,x3-9x) : donde x es un número real}. Si el conjunto se representa en un plano cartesiano, el resultado es como el de la imagen.

TIPOS DE FUNCIÓN.

Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

  • Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
  • Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
  • Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .

Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre específico.

Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación

.

  • la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) siempre tiene al menos una solución.
  • la función es inyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
  • la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Una función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.

En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final) no tenga una preimagen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a Ay no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de Ay B: A-B.

En estas aplicaciones la cardinalidad de Xes siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Ytendrá mayor número de elementos que Xcuando tratamos de compararlos.

Ejemplo.

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:

,

,

Sobre el conjunto de caras pintadas:

,

,

,

Asociando cada pincel con la cara correspondiente:

Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicación, como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicación es inyectiva, y como la cara pintada de amarillo, no tiene ningún pincel de este color, la aplicación no es sobreyectiva.

Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A.

Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.

Ejemplo.

Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto de pinceles con pintura de colores:

,

,

,

En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pasar de tener el mismo color de pintura son dos pinceles distintos.

Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:

,

,

Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su color y solo una, esto hace que la correspondencia sea una aplicación, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicación es sobreyectiva.

Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva).

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.

En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B.

Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:

Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.

Ejemplo.

Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:

,

,

,

y el de caras como conjunto final:

,

,

,

La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicación porque todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente esta aplicación es biyectiva.

Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva.

Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre específico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.

Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparación, ni sobre su número de elementos.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unión de A y B.

Ejemplo.

Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores:

,

,

,

y como conjunto final el de caras coloreadas:

,

,

,

Vemos que todos los pinceles tienen una cara y solo una cara de su mismo color, luego esta correspondencia es una aplicación matemática.

Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicación no es inyectiva, y como la cara amarilla no tiene ningún pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta aplicación es no inyectiva y no sobreyectiva.

También, se pueden clasificar las funciones de la siguiente manera:

  1. Funciones algebraica.

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x – 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

1.1 Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

  • Función constante

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

  • Funciones polinómicas de primer grado

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

f(x) = mx +n

  • Función a fin

La función afín es del tipo:

y = mx + n

m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

  • Función lineal

La función lineales del tipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y = 2x

x

0

1

2

3

4

y = 2x

0

2

4

6

8

  • Función identidad

f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

  • Función cuadrática

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx +c

  • Funciones definidas a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

El dominio lo forman todos los números reales menos el 4.

  • Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.   

  • Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

  1. Funciones transcendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

  • Función exponencial

La función exponenciales del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

x

y = 2x

-3

1/8

-2

1/4

-1

1/2

0

1

1

2

2

4

3

8

  • Funciones logarítmicas

La función logarítmicaen base a es la función inversa de la exponencialen base a.

x

1/8

-3

1/4

-2

1/2

-1

1

0

2

1

4

2

8

3

  • Funciones trigonométricas
  1. Función seno
f(x) = sen x

Dominio:

Recorrido: [−1, 1]

Período:

Continuidad: Continua en

Impar: sen(−x) = −sen x

  1. Función coseno.


f(x) = cos x

Dominio:

Recorrido: [−1, 1]

Período:

Continuidad: Continua en

Par: cos(−x) = cos x

  1. Función tangente
f(x) = tg x

Dominio:

Recorrido:

Continuidad: Continua en

Período:

Impar: tg(−x) = −tg x

  1. Función cotangente
f(x) = cotg x

Dominio:

Recorrido:

Continuidad: Continua en

Período:

Impar: cotg(−x) = −cotg x

  1. Función secante
f(x) = sec x

Dominio:

Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)

Período:

Continuidad: Continua en

Par: sec(−x) = sec x

  1. Función cosecante

f(x) = cosec x

Dominio:

Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)

Período:

Continuidad: Continua en

Impar: cosec(−x) = −cosec x

Conclusión

Teniendo como consigna la investigación de las funciones matemáticas, se comenzó a interiorizar en el tema buscando la definición de la palabra función. Luego, se profundizo el tema investigando sobre ciertas funciones matemáticas específicas, tales como la función trigonométrica, cuadrática, logarítmica, exponencial, afín y polinómica, entre otros. Para cada una de las funciones se lograron comprender los modelos de ecuaciones matemáticas, que nos permiten resolver cualquier situación que se nos presente en la vida diaria.

Se Obtuvo un resultado muy positivo al finalizar el trabajo, debido a que incorporo gran cantidad de nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva manera de enfrentar problemáticas en campos donde creíamos que la matemática sería inútil.

Se puede afirmar que las funciones matemáticas han facilitado la labor en muchas ciencias y son sumamente necesarias para obtener resultados precisos para cada situación.

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