Funciones matemáticas

Matemáticas. Funciones. Concepto. Función Cuadrática. Función Logarítmica. Función Exponencial. Función Lineal. Variables. Logaritmos

  • Enviado por: Bessy
  • Idioma: castellano
  • País: Venezuela Venezuela
  • 19 páginas
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INDICE

PAG.

  • Índice …………………………………………………………………….. 1

  • Introducción …………………………………………………………….. 2

  • Funciones matemáticas

    • Función, Concepto, etc.…………………………………………... 3-4

    • Función Cuadrática……………………………………………….. 5-6

    • Función Logarítmica……………………………………………… 7-11

    • Función Exponencial……………………………………………... 12-16

    • Función Lineal……………………………………………………. 17-18

  • Conclusión ……………………………………………………………….. 19

INTRODUCCION

En el presente trabajo, se detallarán las diferentes funciones matemáticas y sus aplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida cotidiana.

Las funciones a las que nos dedicaremos son las siguientes:

Función Cuadrática
Función Lineal
Función Logarítmica
Función Exponencial

El principal objetivo de este trabajo es poder entender el uso de las funciones y así poder utilizarlas frente a los problemas diarios.

FUNCIÓNES

Una Función Es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.       

Figura 1. Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos del codominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del codominio, sin importar si los elementos del codominio puedan estar relacionados con dos o mas del codominio.

Donde se dice que f : A  B (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B)

 

Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.

 

El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y´s.

 

También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra.

  • Variables dependientes

Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.

  • Variable independiente

Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.

  • Variable constante

Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:

Y=2, la constante gravitacional, entre otras.

 

   

FUNCION CUADRATICA

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

f(x) = ax2 + bx +c

Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:

  • f(x) = x2

  • f(x) = -x2

  • Obtención

El vértice de una parábola está situado en el eje de ésta y, por tanto, su abscisa será el punto medio de las abscisas de dos puntos de la parábola que sean simétricos.
Como toda función cuadrática pasa por el punto (0, c) y el simétrico de éste tiene de abscisa x = -b/a, la del vértice será Xv = -b/2a. La ordenada Yv se calcula sustituyendo el valor de Xv en la ecuación de la función.

  • Intersección de la parábola con los ejes

  • Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c)

  • Intersección con el eje OX: Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.

Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:

  • Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje OX en dos puntos.

  • Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje OX en un punto (que será el vértice).

  • Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales yla parábola no cortará al eje OX.

    • Resumen

    Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:

    • Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.

    • Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.

    • Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.

    • Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.

    • Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)

    • Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.

    • La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.

    FUNCIÓN LOGARÍTMICA

    Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente. 

    El proceso de multiplicación es reemplazado por una suma; la división, por una sustracción; la elevación a potencias, por una simple multiplicación, y la extracción de raíces, por una división. 

    Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos. 

    Se llama función logarítmica a la función real de variable real:

    a>1

    0<a<1

    La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R* + en R:

    • La función logarítmica solo está definida sobre los números

    Positivos.

    • Los números negativos y el cero no tienen logaritmo

    • La función logarítmica de base a es la recíproca de la Función

    Exponencial de base ¨a¨.

    • Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de

    base e = 2'718281...

    Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la

    Forma

    Se hallan por medio de la fórmula:

    LOGARITMOS

    A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.

    Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir : productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

    • Definición

    Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base

    para obtener dicho número.

    Que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también :

    "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a".

    Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.

    La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia a^ b para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.

    La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales :

    Es la función inversa de la función exponencial.

    La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1)

    • Propiedades

    • Logaritmos Decimales

    Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.

    • Logaritmos Neperianos

    Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por

    base el número e.

    • Cambio de Base

    • Antilogaritmo

    Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.

    es decir, consiste en elevar la base al número resultado

    • Cologaritmo

    Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco.

    • Equivalencias útiles

    • Ecuaciones Logarítmicas :

    Aquella ecuación en la que la incógnita aparece sometida a la operación de logaritmación.

    La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas.

    (principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones

    logarítmicas, también se llama "tomar antilogaritmos")

    Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas, en orden inverso, simplificando y realizando transformaciones oportunas.

    • Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas

    Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en los que las incógnitas está sometida a la operación logaritmo.

    Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes.

    • Características útiles

    Si a > 1

    Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo

    Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo

    Si 0 < a < 1

    Los números menores que 1 tienen logaritmo positivo

    Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo

    FUNCIÓN EXPONENCIAL

    En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

    • Definición

    Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

    La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:

    'Funciones matemáticas'

    'Funciones matemáticas'

    Representación gráfica de varias funciones exponenciales.

    'Funciones matemáticas'

    Función exponencial, según el valor de la base.

    • Propiedades de las funciones exponenciales

    Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales:

    • La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:

    f (0) = a0 = 1.

    • La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:

    f (1) = a1 = a.

    • La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.

    f (x + x?) = ax+x? = ax ð ax? = f (x) ð f (x?).

    • La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:

    f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).

    • La función ex

    Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = ex. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión:

    (1 + 1/n)n

    Cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos.

    La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada.

    • Ecuaciones exponenciales

    Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería ax = b.

    Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:

    • Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes:

    Ax = Ay.

    En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.

    • Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.

    22x - 3 ð 2x - 4 = 0 'Funciones matemáticas'
    t2 - 3t - 4 = 0

    luego se ?deshace? el cambio de variable.

    Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable.

    • El ajedrez y los granos de trigo

    Una conocida leyenda oriental ofrece una descripción muy exacta de una función exponencial. Cuentan que un rey quiso premiar las dotes adivinatorias del sumo sacerdote que había predicho una extraordinaria victoria en una batalla. El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera casilla de un tablero de ajedrez, 4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez por cada nueva casilla. El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote... hasta que comprobó la magnitud de su petición: 264+ 263 + ... + 22 +

    + 2 granos de trigo, una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo el reino. Los sumandos de esta expresión responderían, en la notación matemática actual, a la función 2x, para el dominio

    x = 1, 2, 3, ..., 64.

    • EL interés continúo 

    El capital obtenido de la inversión de un capital inicial C0 a un interés compuesto r en n periodos anuales sigue la fórmula:
    C = C0 (1 + r / n)nt,siendo t el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión .

    Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo exponencial:

    C = C0 · ert.

    Desintegración radiactiva

    Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si R0 es la cantidad inicial de sustancia y k la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo t será:

    R = R0 × e-kt.

    Crecimiento demografico

    Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. siendo P0 la población inicial e i el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley

    exponencial: P = P0 × eit.

    FUNCIÓN LINEAL

    Son lineas rectas que representan cambios de constante, es decir que el valor de y es igual a un número real por el valor de la

    Su ecuación es: y = m x + b, donde "b" es un número real al que se lo llama ordenada al origen y "m" se denomina pendiente.

    y = mx

    su gráfica es una linea recta que pasa por el origen de coordenadas.

    y = 2x

    x

    0

    1

    2

    3

    4

    y = 2x

    0

    2

    4

    6

    8

    • Pendiente

    La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

    Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo

    Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

    CONCLUSIÓN

    Tras el estudio de las funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias.

    El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo del trabajo los diferentes usos de las funciones y, al haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, queda como un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática.

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