Funciones inversas

Matemáticas. Dominio. Recorrido. Ecuaciones. Gráficas. Sistema de ejes

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2) Hallar la función inversa de y = + 'Funciones inversas'
, en su campo de existencia, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Resolución:

El campo de existencia de la función y = + 'Funciones inversas'
son todos los números positivos, incluido el cero.

• Se despeja x: x = y2

• Se intercambian ambas variables: y = x2.
La función inversa de y = + 'Funciones inversas'
es y = x2.

Hallar la función inversa de y = -x + 4, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Resolución:

- Se despeja x : x = -y + 4.

- Se intercambian ambas variables:

y = -x + 4.

La función dada coincide con su inversa.

Ejemplo: Sea f(x) = 5.x + 2, para hallar la inversa cambiamos x por f(x) , y viceversa:

x = 5 f(x)-1 + 2 , despejamos f(x)-1 'Funciones inversas'
  (es la inversa)

'Funciones inversas'

Funciones inversas

f-1 = {(y, x)/(x, y) está en f}

Ejemplo: Sea f = {(1, 2), (2, 4), (3, 9)}. Observa que f es una función uno a uno. Por tanto, f-1 = {(2, 1), (4, 2), (9, 3)}.

Propiedades de las funciones inversas:

Si f-1 existe, entonces:

1) f-1 es una función uno a uno

2) dominio de f-1 = recorrido de f

3) recorrido de f-1 = dominio de f

En nuestro ejemplo anterior:

1) dominio de f es {1,2,3}. Dominio de f es el recorrido de f-1.

2) recorrido de f es {2,4,9} Recorrido de f es el dominio de f-1.

3) dominio de f-1 es {2,4,9} Dominio de f-1 es el recorrido de f.

4) recorrido de f-1 es {1,2,3}. Recorrido de f-1 es el dominio de f.

Como observarás hallar la inversa de una función definida por un conjunto de pares ordenados es fácil. Pero, ¿cómo se halla la inversa de una función definida por una ecuación?

UNIDAD I. TEMA 7- FUNCION INVERSA.

CUESTIONARIO.

1- ¿Qué es una función inversa?

Es aquella que se obtiene al intercambiar el dominio y el recorrido de “f”.

2- ¿Qué condiciones se deben cumplir para la existencia de una función inversa?

No debe ser multiforme, debe ser inyectiva.

3- ¿Qué es una relación multiforme?

Es aquella en la que por lo menos un elemento de A se relaciona con dos o más elementos del conjunto B.

A b

4- ¿Qué es una función inyectiva?

Es aquella que maneja la relación uno a uno, un elemento de A y uno de B.

A B

5- ¿Cómo se obtiene la regla de correspondencia para la función inversa?

Se obtiene al intercambiar los papeles de “X” y de “Y”.

Función Inversa.

Para definir correctamente que es una función inversa, antes tenemos que saber que es una función inyectiva, también llamada función uno a uno.

Definición (función uno a uno): Una función es uno a uno, o función inyectiva, si ninguno de los pares ordenados tienen la misma coordenada 'Funciones inversas'
, y diferentes coordenadas 'Funciones inversas'
.

La función inversa es aquella donde el dominio y el conjunto imagen intercambian posiciones, se invierten. El dominio será el conjunto imagen y viceversa. Para hallar la inversa de una función cambiamos 'Funciones inversas'
por 'Funciones inversas'
, (y viceversa), despejamos 'Funciones inversas'
. Diferenciamos una función de su inversa pues en esta última colocamos (a modo de potencia) un -1, la expresión queda de la siguiente manera:'Funciones inversas'

Tenemos una función'Funciones inversas'
, su inversa será otra función, designada por 'Funciones inversas'
.

Definición de Función Inversa: Si 'Funciones inversas'
es una función uno a uno, entonces la inversa de f, denotada por 'Funciones inversas'
, es la función formada al invertir todos los pares ordenados en'Funciones inversas'
. De modo que tendremos lo siguiente:

Si'Funciones inversas'
entonces 'Funciones inversas'

  • Si 'Funciones inversas'
    no es una función uno a uno, entonces 'Funciones inversas'
    no tiene una inversa y'Funciones inversas'
    no existe.

Pasos a seguir para determinar la inversa de una función:

  • Despejar la variable independiente 'Funciones inversas'
    .

  • Intercambiar la 'Funciones inversas'
    por la'Funciones inversas'
    y la 'Funciones inversas'
    por la 'Funciones inversas'
    .

La función que se obtiene es la inversa de la función dada.

Las gráficas resultantes de estas dos funciones (la normal y la inversa) son simétricas respecto de la bisectriz del 1er cuadrante y del 3er cuadrante en el plano cartesiano.

Ejemplos.

1- Encontremos la función inversa de la siguiente función 'Funciones inversas'
y dibujemos la grafica de ambas funciones en el mismo plano.

Solución:

  • Despejamos 'Funciones inversas'
    de la siguiente manera:

'Funciones inversas'

  • Se intercambian ambas variables:

Intercambiamos 'Funciones inversas'

  • Y tenemos que la función inversa es: 'Funciones inversas'

  • Tabulamos ambas funciones para dibujar la grafica.

'Funciones inversas'

'Funciones inversas'

-6

-4

-5

-3

-4

-2

-3

-1

-2

0

-1

1

0

2

'Funciones inversas'

'Funciones inversas'

1

-1

2

0

3

1

4

2

5

3

6

4

7

5


  • Graficamos:

'Funciones inversas'

H

I

G

H

I

X

Y

Z

X

Y

Z

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