Funciones Elementales

FUNCIONES ELEMENTALES:

Indice:

• Definición:

f: IR IR

X f(x)= an xn + an-1 xn-1 +..... + a1 x + a0

Dom (f) = IR

Im (f) = Dependiendo de cada caso (o es una semirrecta o es IR)

• Propiedades:

El grado de la función es el grado del polinomio = n

Si n ð ð Se llama recta.

Si n ðð Se llama parábola.

3

y = x y = x2

1 (Recta) (Parábola)

1 1

• Continuidad:

Son siempre continuas.

• Límites en ± infinito:

lim (f)(x) = ± "

x +"

lim (f)(x) = ± "

x -"

• Definición:

f: IR IR an xn + an-1 xn-1 +..... + a1 x + a0

X f(x)=

bn xm + bm-1 xm-1 +..... + b1 x + b0

Dom (f) = IR -

Im (f) = Variable

• Propiedades:

Si m=1 y n ð 1 Se llama hipérbola.

• Gráfica:

Ej.

x

1/2 -5

1 -1 -1/2

2 4

1 3 5/2

-2 0

-6 4/7

• Definición:

f: IR IR

X

Dom (f): Si la raíz es de índice par, la raíz existe si el radicando es positivo.

Si la raíz es de índice impar, la raíz existe cuando exista el radicando.

• Definición:

f: IR IR

X y= ax ( a ð ð, a > 0 )

Dom (f) = IR

Im (f) = IR+ -

• Propiedades:

f = (x1 + x2)= f (x1) f(x2)

f (x1)

f = (x1 - x2)=

f(x2)

a > 1 creciente

a < 1 decreciente

Siempre pasan por el pto. (0,1)

• Límites en en infinito:

lim 2x = + "

x+"

lim 2x = 0

x-"

• Gráfica:

x y = 2x

-2 1/4

-1 1/2

• 1

• 2

2 4 -1 1 NOTA: Siempre pasan por el pto. (0,1)

• Definición:

f: IR IR

X loga x (a > 0, a ð 1)

Dom (f) = IR + -

Im (f) = IR +

• Propiedades:

La función logaritmo es la inversa de la función exponencial

ax loga

X ax x alogax = x

loga ax

X logax x loga (ax) = x

• Límites en el infinito:

lim (log x) = + "

x+"

lim (log x) = - "

x-"

• Gráfica:

x

1/8 -3

¼ -2

½ -1

1 0

2 1

4 2 NOTA: Siempre pasan por el pto (1,0)

8 3

• Definición:

f: IR IR P

x y = senx

Sen x = OP

Dom(f) = IR O

Im(f) = [-1,1]

• Propiedades:

a. Es impar: Sen (-x) = -senx

b. Función periódica de periodo ð = 2ð; sen (x +2ðð

c. Fórmulas de transformación:

x ð ð x x xð ð x ð ð x

a) sen(-x) = sen x b) sen x = -sen (x-ð) c) sen x = -sen (2ð - x)

d. Fórmulas de adición, ángulo doble y ángulo mitad:

-Seno de la suma de dos ángulos:

sen ( + ) = sencos + cos sen

-Seno del ángulo doble:

sen 2 = 2 sen cos

-Seno del ángulo mitad:

sen /2 = ±

e. Ceros de la función seno

sen x x = 0 + kð; x = kð / k e Z

f. Signo:

sen x " 0 si x e I, x e II

sen x ð 0 si x e III, x e IV

• Continuidad:

" x e R

• Límites en el infinito:

lim sen x = "

x+"

lim sen x = "

x-"

• Gráfica:

1

-2ð -ð ð 2ð

-1  = 2ð

• Definición:

f: IR IR

X y = cos x

O P

Dominio (f): IR Cos x = OP

Im (f): [-1,1]

• Propiedades:

sen2 x + cos2 x = 1

x ð - x x x-ð x 2ð-x

a) cos x = -cos (ð-x) b) cos x = -cos (x-ð) c) cos x = cos (2ð-x)

- Coseno de la suma de dos ángulos:

cos ( + ) = cos cos - sen sen

- Coseno del ángulo doble:

cos 2 = cos2 - sen2

- Coseno del ángulo mitad:

cos /2 = ±

cos x = 0 ! x =
; x =

cos x " 0 si x e I, x e IV

cos x ð 0 si x e II, x e III

" x e IR

• Limites en el infinito:

lim cos x = "

x +"

lim cos x = "

x -"

• Gráfica:

x	0	ð/6	ð/4	ð/3	ð/2	ð	3ððð	2ð	-ð/3	-ð/2	-ð
cos x	1	/2	/2	1/2	0	-1	0	1	½	0	-1

-2ð -ð ð 2ð

• Función tangente: P

• Definición:

f. IR IR

X f(x) = tg x =


Dom (f) = IR -
= IR -


Im (f) = IR O

tg x = OP

• Propiedades:

• Función impar: tg (-x) = - tg x

• Función periódica de periodo ð = ð

• Fórmulas de transformación:

x ð-x x x-ð x 2ð-x

a) tg x = tg (ð-x) b) tg x= -tg (x-ð) c) tg x= -tg (2ð-x)

• Fórmulas de adición, ángulo doble y ángulo mitad:

• Tangente de la suma de dos ángulos:

tg ( + ) =


• Coseno del ángulo doble:

tg 2 =


• Coseno del ángulo mitad:

tg /2 =


• Ceros de la función tangente

tg x = 0 ! sen x = 0; x = kð / k e IR

• Signo:

tg x " 0 si x e I, x e III

tg x ð 0 si x e II, x e IV

• Continuidad:

No está definida para x = ð/2 + kð / k e IR

• Límites en el infinito:

lim tg x = "

x+"

lim tg x = "

x-"

• Gráfica:

x	0	ð/6	ð/4	ð/3	ð/2	ð	3ððð	2ð	-ð/4	-ð/2	-ð
tg x	0	1/	-1		+"	0	±"	0	-1	±"	0

-2ð -ð ð 2ð

• Función cosecante

f: IR IR

X y = 1/senx

Dom (f) = IR

Im (f) = IR

• Función secante

f: IR IR

X y = 1/cosx

Dom (f) = IR

Im (f) = IR

• Función cotangente

f: IR IR

X y = 1/tg x ó y = 1/sen x/cos x

Dom (f) = IR

Im (f) = IR

• Funciónes trigonométricas recíprocas:

• Función arcoseno:

• Definición:

Si consideramos: f: IR [-1,1]

X sen x

Queremos calcular otra de tal forma que para cada x su imagen sea y con sen y = x. Por ejemplo si x=1/2, y valdría:


(hay infinitos)

g no sería función

Para que g sea una función cogeremos un intervalo de tal forma que x posea una sola imagen:

Valdrían intervalos como: [ð/2, 3ð/2] ó [3ð/2, ð/2] entre otros.

g(x) = arcsen x




Dom (arcsen) = [-1,1]

Im (arcsen) = (-ð/2, ð/2)

• Propiedades:

• Función impar: arcsen (-x)= arcsen x

• Cortes con los ejes:

Con OX ! (0,0)

Con OY ! (0,0)

• Continuidad:

Función continua " x / x e [-1,1]

• Gráfica:

x	-1	- /2	-1/2	0	1/2	/2	1
y= arcsenx	-ð/2	-ð/2	-ð/6	0	ð/6	ð/3	ð/2

ð/2

-1 1

-ð/2

• Funciones arcocosenos

• Definición:

f: IR [-1,1]

X y = cos x

Buscamos g / [-1, 1] IR

X y / cos = x

g [-1,1] [0,ð)

X g(x)

Dom (g) = [-1,1]

Im (g) = [0,ð]

• Propiedades:

• Función par: arccos(-x) = -arccos x

• Cortes con los ejes:

Con OX: arco coseno x =0 ! y = ð/2 (0, ð/2)

Con OY: arco coseno y=0 ! x = 1 (1,0)

• Continuidad:

x es continua " x / x e [-1,1]

• Gráfica:

x	-1	- /2	-1/2	0	1/2	/2
y = arccosx	ð	5ð/6	2ð/3	ð/2	ð/3	ð/6

2ð

ð/2

-1 1

• Función arcotangente

• Definición:

f: IR IR

X y = tg x

Queremos g / IR IR

X y /tg y = x

g: IR [-ððð, ðððð

X g(x) = y /tg y = x

g(x) = arctg x

Dom(arctg) = IR

Im (arctg) = [-ð/2, ð/2]

• Propiedades:

• Cortes con los ejes:

Con OX y OY = (0,0)

• Es una función impar: arctg(-x) = -arctg(x)

• Continuidad:

Continua " x / x e [-ð/2,ððð]

• Gráfica:

x	-	-1/	0	1/
y = cotg x	ðð/3	ðð/6	0	ð/6	ð/3

ð/3

-1 1

-ð/3

11