Funciones elementales

Algebraicas: polinómicas, racionales e irracionales. Trascendentes: exponencial, logarítmica, trigonométrica. Trigonométricas recíprocas

  • Enviado por: Abraham Sierra
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 11 páginas
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FUNCIONES ELEMENTALES:

Indice:

  • Algebraicas

  • Polinómicas

  • Racionales

  • Irracionales

  • Trascendentes

  • Exponencial

  • Logarítmica

  • Trigonométrica

  • Trigonométricas recíprocas

  • Algebraicas

  • Funciones polinómicas:

    • Definición:

    f: IR IR

    X f(x)= an xn + an-1 xn-1 +..... + a1 x + a0

    Dom (f) = IR

    Im (f) = Dependiendo de cada caso (o es una semirrecta o es IR)

    • Propiedades:

    El grado de la función es el grado del polinomio = n

    Si n ð ð Se llama recta.

    Si n ðð Se llama parábola.

    x

    y = x

    x

    y = x2

    0

    0

    0

    0

    -1

    -1

    -1

    1

    1

    1

    1

    1

    2

    2

    -2

    4

    -2

    -2

    2

    4

    3

    y = x y = x2

    1 (Recta) (Parábola)

    1 1

    • Continuidad:

    Son siempre continuas.

    • Límites en ± infinito:

    lim (f)(x) = ± "

    x +"

    lim (f)(x) = ± "

    x -"

  • Funciones racionales:

    • Definición:

    f: IR IR an xn + an-1 xn-1 +..... + a1 x + a0

    X f(x)=

    bn xm + bm-1 xm-1 +..... + b1 x + b0

    Dom (f) = IR -Funciones elementales

    Im (f) = Variable

    • Propiedades:

    Si m=1 y n ð 1 Se llama hipérbola.

    • Gráfica:

    Ej. Funciones elementales

    x Funciones elementales

    1/2 -5

    1 -1 -1/2

    2 4

    1 3 5/2

    -2 0

    -6 4/7

  • Funciones irracionales:

    • Definición:

    f: IR IR

    X Funciones elementales

    Dom (f): Si la raíz es de índice par, la raíz existe si el radicando es positivo.

    Si la raíz es de índice impar, la raíz existe cuando exista el radicando.

  • Trascendentes

  • Funciones exponenciales:

    • Definición:

    f: IR IR

    X y= ax ( a ð ð, a > 0 )

    Dom (f) = IR

    Im (f) = IR+ - Funciones elementales

    • Propiedades:

    f = (x1 + x2)= f (x1) f(x2)

    f (x1)

    f = (x1 - x2)=

    f(x2)

    a > 1 creciente

    a < 1 decreciente

    Siempre pasan por el pto. (0,1)

    • Límites en en infinito:

    lim 2x = + "

    x+"

    lim 2x = 0

    x-"

    • Gráfica:

    x y = 2x

    -2 1/4

    -1 1/2

    • 1

    • 2

    2 4 -1 1 NOTA: Siempre pasan por el pto. (0,1)

  • Funciones logarítmicas:

    • Definición:

    f: IR IR

    X loga x (a > 0, a ð 1)

    Dom (f) = IR + - Funciones elementales

    Im (f) = IR +

    • Propiedades:

    La función logaritmo es la inversa de la función exponencial

    ax loga

    X ax x alogax = x

    loga ax

    X logax x loga (ax) = x

    • Límites en el infinito:

    lim (log x) = + "

    x+"

    lim (log x) = - "

    x-"

    • Gráfica:

    x Funciones elementales

    1/8 -3

    ¼ -2

    ½ -1

    1 0

    2 1

    4 2 NOTA: Siempre pasan por el pto (1,0)

    8 3

  • Trigonométricas

  • Función seno

    • Definición:

    f: IR IR P

    x y = senx

    Sen x = OP

    Dom(f) = IR O

    Im(f) = [-1,1]

    • Propiedades:

    a. Es impar: Sen (-x) = -senx

    b. Función periódica de periodo ð = 2ð; sen (x +2ðð

    c. Fórmulas de transformación:

    x ð ð x x xð ð x ð ð x

    a) sen(-x) = sen x b) sen x = -sen (x-ð) c) sen x = -sen (2ð - x)

    d. Fórmulas de adición, ángulo doble y ángulo mitad:

    -Seno de la suma de dos ángulos:

    sen ( + ) = sencos + cos sen

    -Seno del ángulo doble:

    sen 2 = 2 sen cos

    -Seno del ángulo mitad:

    sen /2 = ± Funciones elementales

    e. Ceros de la función seno

    sen x x = 0 + kð; x = kð / k e Z

    f. Signo:

    sen x " 0 si x e I, x e II

    sen x ð 0 si x e III, x e IV

    • Continuidad:

    " x e R

    • Límites en el infinito:

    lim sen x = "

    x+"

    lim sen x = "

    x-"

    • Gráfica:

    x

    0

    ð/6

    ð/4

    ð/3

    ð/2

    ð

    3ððð

    -ð/3

    -ð/2

    sen x

    0

    ½

    Funciones elementales
    /2

    Funciones elementales
    /2

    1

    0

    -1

    0

    -Funciones elementales
    /2

    -1

    0

    1

    -2ð -ð ð 2ð

    -1  = 2ð

  • Coseno

    • Definición:

    f: IR IR

    X y = cos x

    O P

    Dominio (f): IR Cos x = OP

    Im (f): [-1,1]

    • Propiedades:

  • Relacción fundamental:

  • sen2 x + cos2 x = 1

  • Es una función par: cos (-x) = cos x

  • Función periódica de periodo ð= 2ðð cos (x + 2ð ) = cos x

  • Fórmulas de trasformación:

  • x ð - x x x-ð x 2ð-x

    a) cos x = -cos (ð-x) b) cos x = -cos (x-ð) c) cos x = cos (2ð-x)

  • Fórmulas de adición, ángulo doble y ángulo mitad:

  • - Coseno de la suma de dos ángulos:

    cos ( + ) = cos cos - sen sen

    - Coseno del ángulo doble:

    cos 2 = cos2 - sen2

    - Coseno del ángulo mitad:

    cos /2 = ± Funciones elementales

  • Ceros de la función coseno:

  • cos x = 0 ! x = Funciones elementales
    ; x = Funciones elementales

  • Signo

  • cos x " 0 si x e I, x e IV

    cos x ð 0 si x e II, x e III

  • Continuidad:

  • " x e IR

    • Limites en el infinito:

    lim cos x = "

    x +"

    lim cos x = "

    x -"

    • Gráfica:

    • x

      0

      ð/6

      ð/4

      ð/3

      ð/2

      ð

      3ððð

      -ð/3

      -ð/2

      cos x

      1

      Funciones elementales
      /2

      Funciones elementales
      /2

      1/2

      0

      -1

      0

      1

      ½

      0

      -1

      -2ð -ð ð 2ð

    • Función tangente: P

      • Definición:

      f. IR IR

      X f(x) = tg x = Funciones elementales

      Dom (f) = IR -Funciones elementales
      = IR -Funciones elementales

      Im (f) = IR O

      tg x = OP

      • Propiedades:

    • Función impar: tg (-x) = - tg x

    • Función periódica de periodo ð = ð

    • Fórmulas de transformación:

    • x ð-x x x-ð x 2ð-x

      a) tg x = tg (ð-x) b) tg x= -tg (x-ð) c) tg x= -tg (2ð-x)

    • Fórmulas de adición, ángulo doble y ángulo mitad:

      • Tangente de la suma de dos ángulos:

      tg ( + ) = Funciones elementales

      • Coseno del ángulo doble:

      tg 2 = Funciones elementales

      • Coseno del ángulo mitad:

      tg /2 = Funciones elementales

    • Ceros de la función tangente

    • tg x = 0 ! sen x = 0; x = kð / k e IR

    • Signo:

    • tg x " 0 si x e I, x e III

      tg x ð 0 si x e II, x e IV

      • Continuidad:

      No está definida para x = ð/2 + kð / k e IR

      • Límites en el infinito:

      lim tg x = "

      x+"

      lim tg x = "

      x-"

      • Gráfica:

      x

      0

      ð/6

      ð/4

      ð/3

      ð/2

      ð

      3ððð

      -ð/4

      -ð/2

      tg x

      0

      1/Funciones elementales

      -1

      Funciones elementales

      +"

      0

      ±"

      0

      -1

      ±"

      0

      -2ð -ð ð 2ð

    • Función cosecante

    • f: IR IR

      X y = 1/senx

      Dom (f) = IR

      Im (f) = IR

    • Función secante

    • f: IR IR

      X y = 1/cosx

      Dom (f) = IR

      Im (f) = IR

    • Función cotangente

    • f: IR IR

      X y = 1/tg x ó y = 1/sen x/cos x

      Dom (f) = IR

      Im (f) = IR

    • Funciónes trigonométricas recíprocas:

    • Función arcoseno:

      • Definición:

      Si consideramos: f: IR [-1,1]

      X sen x

      Queremos calcular otra de tal forma que para cada x su imagen sea y con sen y = x. Por ejemplo si x=1/2, y valdría:

      Funciones elementales
      (hay infinitos)

      g no sería función

      Para que g sea una función cogeremos un intervalo de tal forma que x posea una sola imagen:

      Valdrían intervalos como: [ð/2, 3ð/2] ó [3ð/2, ð/2] entre otros.

      g(x) = arcsen x

      Funciones elementales

      Dom (arcsen) = [-1,1]

      Im (arcsen) = (-ð/2, ð/2)

      • Propiedades:

    • Función impar: arcsen (-x)= arcsen x

    • Cortes con los ejes:

    • Con OX ! (0,0)

      Con OY ! (0,0)

      • Continuidad:

      Función continua " x / x e [-1,1]

      • Gráfica:

      • x

        -1

        -Funciones elementales
        /2

        -1/2

        0

        1/2

        Funciones elementales
        /2

        1

        y= arcsenx

        -ð/2

        -ð/2

        -ð/6

        0

        ð/6

        ð/3

        ð/2

        ð/2

        -1 1

        -ð/2

      • Funciones arcocosenos

        • Definición:

        f: IR [-1,1]

        X y = cos x

        Buscamos g / [-1, 1] IR

        X y / cos = x

        g [-1,1] [0,ð)

        X g(x)

        Dom (g) = [-1,1]

        Im (g) = [0,ð]

        • Propiedades:

      • Función par: arccos(-x) = -arccos x

      • Cortes con los ejes:

      • Con OX: arco coseno x =0 ! y = ð/2 (0, ð/2)

        Con OY: arco coseno y=0 ! x = 1 (1,0)

        • Continuidad:

        x es continua " x / x e [-1,1]

        • Gráfica:

        • x

          -1

          -Funciones elementales
          /2

          -1/2

          0

          1/2

          Funciones elementales
          /2

          y = arccosx

          ð

          5ð/6

          2ð/3

          ð/2

          ð/3

          ð/6

          ð/2

          -1 1

        • Función arcotangente

          • Definición:

          f: IR IR

          X y = tg x

          Queremos g / IR IR

          X y /tg y = x

          g: IR [-ððð, ðððð

          X g(x) = y /tg y = x

          g(x) = arctg x

          Dom(arctg) = IR

          Im (arctg) = [-ð/2, ð/2]

          • Propiedades:

        • Cortes con los ejes:

        • Con OX y OY = (0,0)

        • Es una función impar: arctg(-x) = -arctg(x)

          • Continuidad:

          Continua " x / x e [-ð/2,ððð]

          • Gráfica:

          • x

            -Funciones elementales

            -1/Funciones elementales

            0

            1/Funciones elementales

            Funciones elementales

            y = cotg x

            ðð/3

            ðð/6

            0

            ð/6

            ð/3

            ð/3

            -1 1

            -ð/3

            Funciones elementales

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