Funciones de varias variables

Análisis. Cálculo multivariable. Función. Derivadas direccionales. Matriz jacobiana. Espacios vectoriales. Derivada según un vector. Gradiente

  • Enviado por: Tolan
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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DERIVADAS.

DEFINICIONES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES.

Hasta ahora se ha estudiado las funciones del tipo real de variable real:

Ahora podemos hablar de funciones más generales, que se “mueven” entre dos espacios vectoriales:

Donde f(x1, x2,… xn) se puede ver como:

Donde hay m funciones del tipo:

que hacen corresponder un numero de R a un “vector” de Rn.

EJEMPLO.

donde f(x,y,z) podía haberse escrito como “vector columna”:

DEFINICIONES PARA DERIVADAS.

DEFINICION 1

Se llama derivada parcial de una función del tipo:

a la expresión:

y se realiza derivando de la manera “usual” dejando las variables QUE NO SON xj constantes.

DEFINICION 2

La derivada de una función del tipo:

sería:

A esta matriz se la llama MATRIZ JACOBIANA y es siempre del tipo m×n.

EJEMPLO

Con la intención de quitarle un poco el miedo a esta expresión, veamos lo que pasa si derivamos la función del ejemplo anterior:

en este caso tendríamos dos funciones:

Basta hacer las parciales para la primera:

y para la segunda:

y las colocamos ordenadamente en la matriz jacobiana:

Ya tenemos la derivada de nuestra función.

Si nos pidieran la derivada en, por ejemplo, a=(x,y,z)=(1,-1,2), basta con sustituir ahora y tendríamos:

No es tan difícil, ¿verdad?.Sigamos pues…

DEFINICION 3

Se llama DERIVADA EN UN PUNTO SEGÚN UN VECTOR:

donde Df(a) es la derivada de la función, y v representa al vector. Este será por tanto un producto de matrices.

DEFINICION 4

Se llama MODULO DE UN VECTOR v=(x1,x2,…,xn) a la operación siguiente:

EJEMPLO

El modulo del vector, digamos, v=(1,-1,2) sería:

DEFINICION 5

Se llama DERIVADA DIRECCIONAL a la DERIVADA EN UN PUNTO SEGÚN UN VECTOR cuando el vector tiene modulo 1.

Además hay una coincidencia interesante, si el punto “a” es genérico: a=(x1,x2,…,xn) y el vector escogido es (1,0,…,0), entonces la derivada direccional es igual a la parcial respecto a x1, si el escogido es (0,1,0,…,0), sería la parcial respecto a x2, y así sucesivamente.

DEFINICION 6

Se llama GRADIENTE DE UNA FUNCION del tipo:

a la operación:

Además existen las siguientes consecuencias del gradiente:

  • La DERIVADA EN UN PUNTO SEGÚN UN VECTOR puede expresarse según el gradiente de la forma:

  • En el caso de que el modulo de v sea 1, estariamos en el caso de DERIVADA DIRECCIONAL:

  • 3- En el caso de que ADEMAS la dirección de v y del gradiente sea la misma, entonces cos()=1, y la DERIVADA DIRECCIONAL será máxima.

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