Funciones de varias variables

Análisis. Cálculo. Función de dos variables. Líneas o curvas de nivel. Coordenadas cartesianas en el espacio tridimensional

  • Enviado por: Arturo Grinberg
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 6 páginas

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Definición:

Función de dos variables 

 Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cadapareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.  
 
El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación
 

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y). 

 
Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional. 

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Líneas o curvas de nivel

Si tenemos una función de dos variables dada por z = f (x, y), entonces la gráfica de la ecuación f (x, y) = constante = c es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, c). Todos estos puntos tienen el mismo valor para la coordenada z, es decir, z = c. Por lo tanto todos esos puntos están a la misma altura sobre el plano xy, o sea que están "al mismo nivel" sobre el plano xy.

Funciones de varias variables
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Coordenadas cartessianas en el espacio

En el espacio existen tres ejes , un eje vertical y dos horizontals , onsiderando al plano xy como horixontal y z como vertical . Dichos ejes tienen secciones positivas y negativas por lo regular unicamente utilizamos las positivamente orienadas , en los cuales al ver hacia abajo el eje z se observa el plano xy . Se especifica un punto en el espcio mediante coordenadas (x,y,z) con respecto a los ejes ; primero comenzamos en el origen , avanzamos x unidades en el eje de las x , paralelamente avanzamos y unidades en el eje y y finalmente z unidades paralelas al eje z , las coordenada pueden ser positivas , cero o negativas.

Para graficar dichas funciones se deben cumoplir que z=0 , si esta coordenada es cero debemos entrr en nivel vertical en el plano horizontal .

Para encontrar la distancia entre puntos en un eje tridimensional es necesario notar que el puno PE es el eje de las x , EF eje y y FG eje z .

Por lo que para hallar la distancia entre puntos obtenemos que :

PG^2=PF^2+FG^2=PE^2+EF^2+FG^2= *(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 .

Lectura 2: Surface and Level Curves I , II y Level Surfaces

En el docuemnto de internet se hace mencion las curves de nivel que son estas como se obtienen y los mas importante su aplicacion .

Sabemos que una superficie que representa una funcion de dos variables da una idea de como se comporta dicha funcion ; pero sin embargo es mas dificil leer valores de una superficie y mas complicado entender el comportamiento global de la funcion solo observando la superficie . Dichos niveles de curva presentan la ventaja de proporcionarnos hasta un a tercera dimension y lograr esta no es muy dificl .

Una vez que uno tiene una grafica ya sea en 3D o en un pplano se debe de rotar hasta llegas al fin de esta , es decir al techo , en donde vista desde arriba se observaran unicamente capas , esto hace mencion a que separa las capas mayors de las menores debido a la ubicacion en el palno y su elevacion .

Funciones de varias variables
Funciones de varias variables

Un ejemplo mas claro [uede ser el corte de un terreno o bien la medicion de temperatruras para mostrar de manera global una region com lo observamos en la ghrafica :

Funciones de varias variables

con esto podemos concluir que entre mas cerca esten las capas hay un mayor altura por lo que puede ser una region de una Montana o bien por elk contrario si las lineas estan muy separadas podemos determinar una lllanura ..

Al trabajar con funciones de dos variables cuya funcion es z=f(x,y) y derterminar las cuervas de invel se haba;a en base a una altura , pero estas curves muchas veces estan determinada por constantes .

Un ejemplo un poco comun es el de un isoterma el cual por medio de las curves de nivel podemos determiar las regions mas calientes y las mas frias por tan solo obsevar la intensidad de la luz comno se ve en el ejemplo :

Funciones de varias variables
Funciones de varias variables

Esats cuervas a de ams de su funcion en la calorimetria tambein son utliles en el calculo de presion ya sea por aire o mar . Dicho concepto tambien es muy utilizado en al aereonautica para construir aviones y naves esapaciales como en un ejemplo sitado en el texto en el cual observamos como los sientificos de la NASA pudieron determinar y realizar pruebas en una luna de Saurno gracias a las curves de nivel las cuales hicieron mas facil de identificar cuales eran las temperatures a una velocidad MACH24 , ellos hicieron esto gracias a los colores de la grafiaca y por medio de estos pudieron determinar las diferentes condiciones en diferentes puntos :

Funciones de varias variables

En la vida diaria este concepto de las curves de nivel es muy utilizado desde la sencillez de determinar la temperatura de una ciudad por zona , por region , etc(por medio de Isotermas ) hasta lo mas complejo como una nave especial , un ensayo especial o una obra hidraulica.

Como Ingenieros debmos de saber manejar dicho concepto por mas burdo y sencillo que parezca ya que este trae consigo muchos datos utlies para ser analizados si uno sabe como , datos utilez que ayudaran y facilitaran a hacer mejor las cosas para hacerlas mejor y mas rapido .

Bibliografia :

Datos y graficas tomadas de la pagina de internet :

Matrmaticas en movimiento

Calculode varias variables , McCullan , Aditorial Mc Graw Hill , New Jersey , 1992 .

http://www.math.iupui.edu/contour1.html

http://www.math.iupui.edu/contour2.html

http://www.math.iupui.edu/levelsurf.html

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