Funciones de varias variables

Cálculo. Superficies de nivel. Dominio. Punto de acumulación. Teorema Sandwich. Continuidad. Diferenciabilidad. Derivada parcial. Jacobiana. Taylor

  • Enviado por: José Luis Martínez-avial
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 15 páginas
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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

IDEA INTUITIVA: Hasta el momento hemos trabajado con función de una sola variable, es decir, que van de R a R. Ahora vamos a trabajar con funciones escalares, que reciben un vector de Rn y devuelven un valor de R, y con funciones vectoriales que reciben un vector de Rn y devuelven uno de Rm. La dificultad de estas funciones reside en que no tienen representación gráfica posible, a excepción de las funciones de R2 en R, que se pueden representar como superficies tridimensionales. Además, los cálculos de límites se complican mucho llegando a ser imposibles. Por ello nos ocuparemos casi siempre de las más sencillas de este tipo de funciones, aunque toda la teoría se referirá a funciones de n variables.

CONCEPTOS BÁSICOS:

DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
una aplicación que a cada Funciones de varias variables
le asigna Funciones de varias variables
. Entonces Funciones de varias variables
es una función escalar de varias variables.

Funciones de varias variables

NOTACIÓN: En el caso de que n=2, haremos:

Funciones de varias variables

Y en el caso de que n=3

Funciones de varias variables

DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
. Llamamos DOMINIO de la función al conjunto de puntos de Funciones de varias variables
en el que está definida Funciones de varias variables

Ejemplo:

Funciones de varias variables
Funciones de varias variables

OBSERVACIÓN: Sea Funciones de varias variables
. Llamamos GRÁFICA de Funciones de varias variables
al conjunto Funciones de varias variables
. A dicha gráfica la llamaremos superficie:

Ejemplo:

Funciones de varias variables

Llamamos CURVAS DE NIVEL a los puntos de la forma Funciones de varias variables
. Son los puntos obtenidos al intersercar la superficie generada por Funciones de varias variables
con un plano z=cte, y proyectarla en el plano.

OBSERVACIÓN: Sea Funciones de varias variables
. Llamamos SUPERFICIES DE NIVEL de Funciones de varias variables
a los conjuntos de la forma conjunto Funciones de varias variables
.

DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
una aplicación que a cada Funciones de varias variables
le asigna un vector Funciones de varias variables
. Entonces Funciones de varias variables
es una función vectorial de varias variables.

Funciones de varias variables

Y a las Funciones de varias variables
se las llama funciones coordenadas.

Ejemplo:

Funciones de varias variables

DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
. Llamamos DOMINIO de la función a la intersección de los dominios de las funciones coordenadas de Funciones de varias variables
.

LÍMITES:

DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
y Funciones de varias variables
un punto de acumulación de Funciones de varias variables
. Entonces se dcice que:

Funciones de varias variables

si:

Funciones de varias variables

Graficamente podemos verlo así: Siempre existe un  tal que las imágenes de la parte de la bola de centro Funciones de varias variables
y radio  que pertenece a Funciones de varias variables
pertenecen a una bola de radio  con centro en Funciones de varias variables
.

Funciones de varias variables

Ejemplo:

Demostrar que Funciones de varias variables

Funciones de varias variables

como Funciones de varias variables

Funciones de varias variables

Con lo que queda comprobado.

DEFINICIÓN: Decimos que el límite de Funciones de varias variables
es infinito si:

Funciones de varias variables

Es decir, si por mucho que nos acerquemos a Funciones de varias variables
, la distancia de la función al cero es muy grande.

DEFINICIÓN: Si Funciones de varias variables
es un contorno de Funciones de varias variables
es, llamamos ENTORNO PERFORADO de Funciones de varias variables
a Funciones de varias variables

PROPIEDADES:

  • Si Funciones de varias variables
    tiene límite en Funciones de varias variables
    , este es único.

  • Si Funciones de varias variables
    tienen límites Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    respectivamente, entonces:

  • Funciones de varias variables

  • Si Funciones de varias variables
    tienen límites Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    respectivamente, entonces:

  • Funciones de varias variables

  • Si además Funciones de varias variables
    en un entorno perforado de Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables
    , entonces:

  • Funciones de varias variables

    OBSERVACIÓN: El principal problema que nos encontramos a al hora de calcular límites es como acercarnos al punto. Hay muchas maneras(por rectas, parabolas, cubicas, etc). Pero como el límite ha de ser siempre el mismo, podemos asegurar que no existe si el límite nos da diferente para varios modos de acercarse. El caso más sencillo a probar es acercarse al origen por una recta de pendiente m.

    Ejemplo:

    Funciones de varias variables

    Nos acercamos por una trayectoria recta:

    Funciones de varias variables

    El límite depende de la pendiente, luego el límite no existe.

    Sin embargo, el hecho de que por un tipo de trayectorias el límite sea el mismo no indica que el límite exista; solo dice que si existiera debería ser ese.

    Ejemplo:

    Funciones de varias variables
    Si Funciones de varias variables
    tuviera límite, debería ser cero. Si probamos ahora con otro tipo de trayectorias, como por ejemplo:

    Funciones de varias variables

    Luego el límite no existe.

    PROPOSICIÓN: Sea Funciones de varias variables
    , y sea Funciones de varias variables
    , Funciones de varias variables
    Entonces

    Funciones de varias variables

    TEOREMA(Del Sandwich): Supongamos que tenemos Funciones de varias variables
    , y sea Funciones de varias variables
    un punto de acumulación de Funciones de varias variables
    . Si existe un entorno Funciones de varias variables
    de Funciones de varias variables
    tal que Funciones de varias variables
    y se verifica que:

    Funciones de varias variables

    Entonces:

    Funciones de varias variables


    Ejemplo:

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    OBSERVACIÓN: Otro metodo de acercarnos al origen consiste en usar coordenadas polares, haciendo que r tienda a cero. Muchas veces este sistema es muy comodo.

    Ejemplo:

    1)Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables
    Luego el límite dependen del ángulo. Por tanto, no existe el límite.

    2) Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Por el teorema del Sandwich

    Funciones de varias variables

    CONTINUIDAD:

    DEFINICIÓN: Decimos que Funciones de varias variables
    es continua en Funciones de varias variables
    , punto de acumulación de Funciones de varias variables
    , si:

    1) Existe Funciones de varias variables

    2) Existe y es finito Funciones de varias variables

    3) Funciones de varias variables

    PROPIEDADES:

  • Si Funciones de varias variables
    son continuas en Funciones de varias variables
    , entonces Funciones de varias variables
    es continua en Funciones de varias variables

  • Si Funciones de varias variables
    son continuas en Funciones de varias variables
    , entonces Funciones de varias variables
    es continua en Funciones de varias variables

  • Si además Funciones de varias variables
    , entonces Funciones de varias variables
    es continua en Funciones de varias variables

  • PROPOSICIÓN: Funciones de varias variables
    es continua en Funciones de varias variables
    si y solo si Funciones de varias variables
    son continuas en Funciones de varias variables
    para Funciones de varias variables

    DIFERENCIABILIDAD:

    Funciones de varias variables
    IDEA INTUITIVA: Queremos aplicar el concepto de derivada y pendiente que estudiamos en una variable a varias variables. La idea básica consiste en coger un vector Funciones de varias variables
    y ver que pasa en la función según nos movemos en la recta dada por el punto que queremos estudiar y el vector, cuando el módulo del vector tiende a cero. Es decir, lo que hacemos es convertir la función a una variable, cortándola por el plano vertical que pasa por la recta ya mencionada.

    DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
    , Funciones de varias variables
    , punto interior de Funciones de varias variables
    , y Funciones de varias variables
    . Entonces llamamos derivada de Funciones de varias variables
    según el vector Funciones de varias variables
    a:

    Funciones de varias variables

    OBSERVACIÓN: Si Funciones de varias variables
    , entonces:

    Funciones de varias variables

    Demostración:

    Funciones de varias variables

    NOTACIÓN: Sea Funciones de varias variables
    . Entonces definimos la norma de Funciones de varias variables
    cómo:

    Funciones de varias variables

    DEFINICIÓN: Llamaremos derivada direccional de Funciones de varias variables
    según una dirección definida por Funciones de varias variables
    a la derivada según el vector : Funciones de varias variables

    Ejemplo:

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Existen todas las derivadas direccionales de Funciones de varias variables
    , pero Funciones de varias variables
    no es continua en (0,0)

    Si hacemos Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Luego el límite no existe y la función no es continua.

    OBSERVACIÓN: Si Funciones de varias variables
    , entonces:

    Funciones de varias variables

    DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
    , Funciones de varias variables
    , punto interior de Funciones de varias variables
    . Entonces llamamos derivada parcial respecto de Funciones de varias variables
    a la derivada direccional de Funciones de varias variables
    según el vector Funciones de varias variables
    de la base canónica de Funciones de varias variables
    . Lo representamos de la siguiente manera:

    Funciones de varias variables

    Ejemplo:

    Funciones de varias variables

    DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
    , Funciones de varias variables
    abierto. Entonces se dice que Funciones de varias variables
    es diferenciable en Funciones de varias variables
    si existe una aplicación lineal Funciones de varias variables
    , que llamaremos diferencial de Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    , tal que:

    Funciones de varias variables

    Pedimos que el numerador, que es el error que cometemos al aproximar Funciones de varias variables
    , sea una `o pequeña' de Funciones de varias variables
    , de tal manera que tiende más rapidamente a 0 que Funciones de varias variables
    . Es decir, pedimos que el error tienda a cero.

    OBSERVACIÓN: Debido al carácter vectorial de las funciones de varias variables, podemos tratarlas en un plano algebraico, y aplicar en ellas todo lo que sabemos acerca de representación matricial de homomorfismos

    Ejemplo:

    Funciones de varias variables
    ¿Existe Funciones de varias variables
    ?

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Acercándonos por h=0:

    Funciones de varias variables

    Y por k=0

    Funciones de varias variables

    Luego la función no es diferenciable

    IDEA INTUITIVA: Veamos una interpretación geométrica de la diferencial, para el caso de n=2.

    Funciones de varias variables
    Sea Funciones de varias variables
    (pequeño), y Funciones de varias variables
    diferenciable en Funciones de varias variables
    , Funciones de varias variables
    para ciertos Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables
    . Entonces

    Funciones de varias variables

    Puedo hacer Funciones de varias variables
    igual a la función en Funciones de varias variables
    más el plano en un punto (x,y) tangente en Funciones de varias variables
    , más un error pequeño.

    Por tanto, si se cumplen las condiciones anteriores, llamamos plano tangente a una superficie Funciones de varias variables
    en el punto Funciones de varias variables
    al plano Funciones de varias variables

    PROPIEDADES:

    1) Si Funciones de varias variables
    es diferenciable en Funciones de varias variables
    , entonces la diferencial es única.

    2) Funciones de varias variables
    es diferenciable en Funciones de varias variables
    si y solo si Funciones de varias variables
    es diferenciable en Funciones de varias variables
    . Además la diferencial es:

    Funciones de varias variables

    3) Si Funciones de varias variables
    son diferenciables en Funciones de varias variables
    , entonces Funciones de varias variables
    , Funciones de varias variables
    , Funciones de varias variables
    son diferenciables en Funciones de varias variables
    , y se verifica:

  • Funciones de varias variables

  • Funciones de varias variables

  • Funciones de varias variables

  • PROPOSICIÓN: Sea Funciones de varias variables
    . Si Funciones de varias variables
    es diferenciable en Funciones de varias variables
    , entonces existe Funciones de varias variables
    , y además Funciones de varias variables

    Demostración:

    Funciones de varias variables

    OBSERVACIÓN: Sea Funciones de varias variables
    , y Funciones de varias variables
    . Entonces:

    Funciones de varias variables

    DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
    . Entonces llamamos VECTOR GRADIENTE de Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    a:

    Funciones de varias variables

    OBSERVACIÓN:

  • Si Funciones de varias variables
    es diferenciable en Funciones de varias variables
    , entonces Funciones de varias variables

  • Funciones de varias variables
    (Si Funciones de varias variables
    es unitario)= Funciones de varias variables
    . Dicha expresión es máxima cuando Funciones de varias variables
    tienen la dirección del gradiente. Como el gradiente nos da el crecimiento de la función, deducimos que el vector gradiente tiene la dirección de máximo crecimiento de la función.

  • PROPOSICIÓN: Una función derivable direccionalmente puede no ser diferenciable.

    Ejemplo:

    Funciones de varias variables

    Está función es derivable direccionalmente, pero no es diferenciable. Estudiando la diferencial por la definición:

    Funciones de varias variables

    Luego si Funciones de varias variables
    fuera diferenciable, su difernecial sería cero

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Luego la función no es diferenciable.

    DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
    diferenciable en Funciones de varias variables
    . Entonces a la matriz asociada a la aplicación Funciones de varias variables
    en las bases canónicas de Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables
    se le llama MATRIZ JACOBIANA de Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    , y se denota Funciones de varias variables

    OBSERVACIÓN: Estudiemos como es la matriz. Si Funciones de varias variables
    , tomamos Funciones de varias variables
    . Las coordenadas de su imagen son la primera columna de la matriz:

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Ejemplo: Calcular la matriz jacobiana de la siguiente aplicación:

    Sea Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    PROPOSICIÓN: Si Funciones de varias variables
    es diferenciable en Funciones de varias variables
    , entonces es continua en Funciones de varias variables

    Demostración: La haremos para Funciones de varias variables

    Hay que demostrar que:

    Funciones de varias variables

    Como Funciones de varias variables
    es diferenciable en Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
    , Funciones de varias variables
    abierto. Decimos que Funciones de varias variables
    es de clase Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    si todas las derivadas parciales de Funciones de varias variables
    están definidas en un entorno de Funciones de varias variables
    y además son continuas en Funciones de varias variables
    .

    Por consiguiente Funciones de varias variables
    es de clase Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    si lo es en todos los puntos de Funciones de varias variables

    TEOREMA: Si Funciones de varias variables
    es de clase Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    , entonces es diferenciable en Funciones de varias variables

    OBSERVACIÓN: En general, el recíproco no es cierto.

    TEOREMA(Regla de la cadena): Sea Funciones de varias variables
    , y Funciones de varias variables
    , tal que Funciones de varias variables
    . Si Funciones de varias variables
    es diferenciable en Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables
    es diferenciable en Funciones de varias variables
    , entonces Funciones de varias variables
    es diferenciable, y además:

    Funciones de varias variables

    OBSERVACIÓN: Por tanto Funciones de varias variables

    Ejemplo:

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
    . Si es diferenciable en todos los puntos de un entorno de Funciones de varias variables
    , entonces lo que nos queda es una función de n variables, que es posible volver a derivar. Llamaremos orden de la derivada el,número total de veces que hemos derivado.

    NOTACIÓN: Funciones de varias variables
    .. Además, para simplificar:

    Funciones de varias variables

    Ejemplo:

    Funciones de varias variables

    TEOREMA(Schwarz): Sea Funciones de varias variables
    , Funciones de varias variables
    abierto, y Funciones de varias variables
    . Si existen Funciones de varias variables
    ,Funciones de varias variables
    , Funciones de varias variables
    en un entorno de Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables
    es continua en Funciones de varias variables
    , entonces existe Funciones de varias variables
    y además : Funciones de varias variables
    : Este resultado es aplicable a derivadas de orden superior.

    DEFINICIÓN: Decimos que una función es de clase Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    si existen todas sus derivadas parciales hasta orden m, y además las funciones son continuas en Funciones de varias variables
    . Analogamente decimos que una función es de claseFunciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    si lo es en tofos los puntos de Funciones de varias variables

    DEFINICIÓN: Si Funciones de varias variables
    es de clase Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    , llamamos diferencial segunda de Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    a:

    Funciones de varias variables

    OBSERVACIÓN:

  • La diferencial segunda es una forma bilineal.

  • La diferencial segunda se puede representar matricialmente:

  • Funciones de varias variables

    A dicha matriz se la llama MATRIZ HESSIANA o HESSIANO de Funciones de varias variables

    Por ser Funciones de varias variables
    de clase Funciones de varias variables
    , se puede aplicar Schwarz, y la matriz es simétrica.

  • Si aplicamos la diferencial segunda al mismo vector dos veces, lo que tenemos es una la forma cuadrática asociada. La podemos asimilar simbolicamente a una binomio:

  • Funciones de varias variables

    En general:

    Funciones de varias variables

    Donde el exponente indica el número de veces que se ha de derivar.

    Ejemplo:

    Funciones de varias variables

    DEFINICIÓN: Si Funciones de varias variables
    es de clase Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    , llamamos diferencial de orden Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    a:

    Funciones de varias variables

    Igualmente se puede expresar la diferencial de orden Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    como un binomio a la Funciones de varias variables

    DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
    . Funciones de varias variables
    abierto, y Funciones de varias variables
    de clase Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    . Entonces se define en POLINOMIO DE TAYLOR de orden Funciones de varias variables
    de Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    como:

    Funciones de varias variables

    y el RESTO DE TAYLOR de orden Funciones de varias variables
    como:

    Funciones de varias variables

    TEOREMA(Taylor): Sea Funciones de varias variables
    . Funciones de varias variables
    abierto, y Funciones de varias variables
    de clase Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    , y Funciones de varias variables
    , tales que el segmento Funciones de varias variables
    de extremos Funciones de varias variables
    está incluido en Funciones de varias variables
    . Entonces existe Funciones de varias variables
    tal que:

    Funciones de varias variables

    por tanto:

    Funciones de varias variables

    OBSERVACIÓN: Si hacemos Funciones de varias variables
    , entonces:

    Funciones de varias variables

    APLICACIONES:

    PROPOSICIÓN:

    1)Sea Funciones de varias variables
    entonces Funciones de varias variables
    es perpendicular a la curva (Funciones de varias variables
    ) o superficie (Funciones de varias variables
    ) de nivel que pasa por Funciones de varias variables
    .

    Demostración:

    Sea Funciones de varias variables
    una superficie de nivel de Funciones de varias variables
    , tal que Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    y sea Funciones de varias variables
    una curva Funciones de varias variables
    , tal que Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables

    Si componemos Funciones de varias variables
    con Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables
    (Por ser Funciones de varias variables
    )

    Funciones de varias variables

    Como Funciones de varias variables
    es genérica, Funciones de varias variables
    es perpendicular a toda curva de Funciones de varias variables
    , y por tanto es perpendicular a Funciones de varias variables
    .

  • Si Funciones de varias variables
    es diferenciable en Funciones de varias variables
    , entonces el plano tangente a la gráfica de Funciones de varias variables
    en el punto Funciones de varias variables
    es:

  • Funciones de varias variables

    Ejemplo:

    Calcular el plano tangente a Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
    , y Funciones de varias variables
    punto interior de Funciones de varias variables
    . Entonces:

  • Funciones de varias variables
    alcanza un máximo relativo en Funciones de varias variables
    si existe Funciones de varias variables
    , entorno de Funciones de varias variables
    , tal que Funciones de varias variables
    Funciones de varias variables

  • Funciones de varias variables
    alcanza un mínimo relativo en Funciones de varias variables
    si existe Funciones de varias variables
    , entorno de Funciones de varias variables
    , tal que Funciones de varias variables
    Funciones de varias variables

  • Funciones de varias variables
    alcanza un máximo absoluto en Funciones de varias variables
    si Funciones de varias variables
    Funciones de varias variables

  • Funciones de varias variables
    alcanza un mínimo absoluto en Funciones de varias variables
    si Funciones de varias variables
    Funciones de varias variables

  • Diremos que Funciones de varias variables
    alcanza un extremo relativo en Funciones de varias variables
    si alcanza un máximo o un mínimo relativo, y que Funciones de varias variables
    alcanza un extremo absoluto en Funciones de varias variables
    si alcanza un máximo o un mínimo absoluto.

    TEOREMA: Si Funciones de varias variables
    es continua en Funciones de varias variables
    , y Funciones de varias variables
    es un conjunto compacto de Funciones de varias variables
    , entonces Funciones de varias variables
    alcanza un máximo y un mínimo absolutos en Funciones de varias variables
    .

    TEOREMA(Condición necesaria): Sea Funciones de varias variables
    , y Funciones de varias variables
    punto interior de Funciones de varias variables
    . Si Funciones de varias variables
    es diferenciable en Funciones de varias variables
    y alcanza un extremo relativo en Funciones de varias variables
    , entonces Funciones de varias variables

    OBSERVACIÓN: Los puntos en los que Funciones de varias variables
    es diferenciable y se verifica Funciones de varias variables
    se llaman puntos estacionarios de la función. Por tanto el teorema anterior asegura que los extremos relativos son puntos estacionarios.

    OBSERVACIÓN: Para estudiar si una función tienen máximos o mínimos, la definición antes dada no es nada práctica. Necesitamos la diferencial segunda para estudiar como es la función. Para trabajar con la diferencial segunda, usaremos la forma cuadrática.

    DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
    una forma cuadrática no nula:

  • Se dice que Funciones de varias variables
    es definida positiva si Funciones de varias variables
    Funciones de varias variables

  • Se dice que Funciones de varias variables
    es definida negativa si Funciones de varias variables
    Funciones de varias variables

  • Se dice que Funciones de varias variables
    es semidefinida positiva si Funciones de varias variables
    Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables
    no es definida positiva

  • Se dice que Funciones de varias variables
    es semidefinida negativa si Funciones de varias variables
    Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables
    no es definida negativa

  • Se dice que Funciones de varias variables
    es indefinida en el resto de los casos, es decir, si existen Funciones de varias variables
    , tales que Funciones de varias variables

  • TEOREMA(Condición suficiente): Sea Funciones de varias variables
    , Funciones de varias variables
    abierto, y supongamos que Funciones de varias variables
    es de clase Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    . Sea Funciones de varias variables
    un punto estacionario de Funciones de varias variables
    , es decir, tal que Funciones de varias variables
    . Entonces:

  • Si Funciones de varias variables
    es definida positiva, entonces Funciones de varias variables
    alcanza en Funciones de varias variables
    un mínimo relativo.

  • Si Funciones de varias variables
    es definida negativa, entonces Funciones de varias variables
    alcanza en Funciones de varias variables
    un máximo relativo.

  • Si Funciones de varias variables
    es indefinida, entonces Funciones de varias variables
    no alcanza en Funciones de varias variables
    un extremo relativo.

  • OBSERVACIÓN:

  • Si Funciones de varias variables
    es semidefinida(positiva o negativa), el teorema anterior no da ninguna información.

  • A los puntos estacionarios para los que Funciones de varias variables
    es indefinida se les llama puntos de silla de Funciones de varias variables

  • DEFINICIÓN: Llamamos RANGO de una forma cuadrática al rango de su matriz asociada y SIGNATURA al número de autovalores positivos que posee(contando multiplicidad).

    OBSERVACIÓN: Como la matriz asociada a una forma cuadrática es simétrica, siempre tiene Funciones de varias variables
    autovalores reales(contando multiplicidad), por lo que el rango de la forma cuadrática es igual al número de autovalores diferentes de cero(contando multiplicidad)

    TEOREMA: Sea Funciones de varias variables
    una forma cuadrática. Entonces:

  • Funciones de varias variables
    es definida positiva si y solo si Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables
    .

  • Funciones de varias variables
    es definida positiva si y solo si Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables
    .

  • Funciones de varias variables
    es semidefinida positiva si y solo si Funciones de varias variables
    .

  • Funciones de varias variables
    es semidefinida positiva si y solo si Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables
    .

  • TEOREMA(Criterio de Sylvester): Sea Funciones de varias variables
    el determinante de orden Funciones de varias variables
    formado por los elementos de las Funciones de varias variables
    primeras filas y las Funciones de varias variables
    primeras columnas de la matriz asociada a Funciones de varias variables
    . Entonces:

  • Funciones de varias variables
    es definida positiva si y solo si Funciones de varias variables
    .

  • Funciones de varias variables
    es definida negativa si y solo si Funciones de varias variables
    .

  • OBSERVACIÓN: En nuestro caso esto lo aplicaremos al hessiano de la función, ya que por ser la diferencial segunda, su matriz es una forma cuadrática.

    DEFINICIÓN: Sea Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables
    (ligadura). Sea también Funciones de varias variables
    , y sea Funciones de varias variables
    . Entonces se dice que Funciones de varias variables
    tiene en Funciones de varias variables
    un extremo relativo condicionado por la ligadura Funciones de varias variables
    si existe un entorno Funciones de varias variables
    de Funciones de varias variables
    tal que se verifica:

  • Funciones de varias variables
    Funciones de varias variables
    . Entonces Funciones de varias variables
    es un máximo relativo condicionado por Funciones de varias variables
    .

  • Funciones de varias variables
    Funciones de varias variables
    . Entonces Funciones de varias variables
    es un mínimo relativo condicionado por Funciones de varias variables
    .

  • OBSERVACIÓN: Lo de condicionado significa que estudiamos la función en el dominio limitado por la superficie Funciones de varias variables
    , dada por una función que llamaremos ligadura.

    TEOREMA(Condición necesaria): Sea Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables
    , Funciones de varias variables
    abierto, y Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables
    de clase Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    . Sea también Funciones de varias variables
    , y supongamos que Funciones de varias variables
    y que el rango de Funciones de varias variables
    sea Funciones de varias variables
    (Los vectores gradiente son independientes). Si la función Funciones de varias variables
    tiene un extremo relativo en Funciones de varias variables
    condicionado por la ligadura Funciones de varias variables
    , entonces existen Funciones de varias variables
    tales que la función Funciones de varias variables
    (Función de Lagrange o lagrangiano ) verifica que Funciones de varias variables
    (Tiene un punto estacionario en Funciones de varias variables
    )

    Ejemplo:

    Hallar los extremos de Funciones de varias variables
    condicionados por Funciones de varias variables

    Es facil darse cuenta que Funciones de varias variables
    es una elipse dada por la intersección de un cilindro vertical con un plano oblicuo.

    Funciones de varias variables

    Construimos el lagrangiano

    Funciones de varias variables

    Como sabemos que :Funciones de varias variables
    , y por ser Funciones de varias variables
    , nos queda que Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

    Y además

    Funciones de varias variables

    Tenemos cinco incógnitas y cinco ecuaciones. Resolviendo el sistema tenemos los extremos relativos

    OBSERVACIÓN: A menudo es muy difícil la resolución de los sistemas de ecuaciones, al no ser estos lineales.

    TEOREMA(Condición suficiente): Además de verificarse el teorema anterior, ahora pedimos que Funciones de varias variables
    y Funciones de varias variables
    sean de clase Funciones de varias variables
    en Funciones de varias variables
    . Consideramos entonces la forma cuadrática Funciones de varias variables
    Entonces :

  • Si Funciones de varias variables
    es definida positiva, entonces Funciones de varias variables
    es un mínimo relativo de Funciones de varias variables
    condicionado por Funciones de varias variables

  • Si Funciones de varias variables
    es definida negativa, entonces Funciones de varias variables
    es un máximo relativo de Funciones de varias variables
    condicionado por Funciones de varias variables

  • Si Funciones de varias variables
    es indefinida, entonces Funciones de varias variables
    no es un extremo relativo.

  • CÁLCULO(Busqueda de extremos absolutos en compactos): Si Funciones de varias variables
    , Funciones de varias variables
    compacto, sabemos que Funciones de varias variables
    tiene máximo y mínimo absolutos en Funciones de varias variables
    . Dichos extremos pueden ser del interior de Funciones de varias variables
    , y por tanto están en los puntos estacionarios, o pertenecer a la frontera de Funciones de varias variables
    . Para encontrarlos buscaremos los puntos estacionarios del lagrangiano y evaluaremos Funciones de varias variables
    en dichos puntos.

    Vease Topología Usual en Funciones de varias variables

    Véase Formas Bilineales y Sesquilineales en Álgebra

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    Funciones de varias variables

    Funciones de varias variables

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