En esta investigación se contrasta la imagen mental de discontinuidad que prevalece en los estudiantes después de un primer curso de Cálculo, con la que inducen los textos del mismo y se hace una propuesta de aprendizaje de este concepto a través de la Ingeniería Didáctica, dándose, además, un acercamiento a la discontinuidad de manera positiva para funciones de la forma f:Að ð → ð y no como negación de la continuidad, como hasta ahora se hace.

De acuerdo a resultados de investigaciones recientes, al hablar de funciones continuas y discontinuas, se evocan imágenes que tienen que ver con gráficas "pegadas" o "rotas" respectivamente. Esto tiene muy poca relación con las definiciones matemáticas de tales conceptos. Lo anterior ocurre lo mismo a estudiantes que a profesores; ¿cómo hacer para que la imagen conceptual que tienen los estudiantes después de un curso tradicional mejore?.

Introducción

Con el fin de contestar se hizo un análisis del programa de estudio y de los textos recomendados para determinar la imagen conceptual que se induce de funciones continuas y discontinuas, al mismo tiempo que se aplicó un cuestionario a 100 estudiantes de bachillerato, que ya habían cursado y acreditado el curso de Cálculo Diferencial, obteniendo la imagen mental que les queda después de una instrucción tradicional. Encontrando elementos suficientes para hacer plausibles las hipótesis que permitieron el diseño de una propuesta de aprendizaje alternativa con una definición restringida usando la noción de puntos de acumulación y el software Derive que sirvió de apoyo a la clase y a la labor del profesor.

Análisis de textos y programa

La siguiente es la relación de los textos que con mayor frecuencia piden los profesores del bachillerato de la Universidad Michoacana y que incluyen, además, la bibliografía que recomienda a éstos y a sus alumnos el programa oficial de Cálculo Diferencial. El análisis mostrado nos permitirá suponer la imagen mental que inducen en los estudiantes tales textos. Para una mayor claridad de las tablas se reproducen algunas definiciones de los textos citados.

Definición ("intuitiva"). En efecto una definición continua se describe a menudo como aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar la pluma o el lápiz del papel. (Zill, p. 85).

Continuidad en un punto. El análisis de la definición de continuidad nos muestra que para ser continua en el punto a, una función debe satisfacer las siguientes tres condiciones:

1. La función f debe estar definida en a (de modo que f(a) exista)

2. Debe existir el límite de f(x) cuando x tiende a a

3. Los números de las condiciones 1 y 2 deben ser iguales 

si cualquiera de estas condiciones no se satisface, entonces f no es continua en a. (Penney, p.81)

Continuidad en un intervalo. Una función es continua en un intervalo I, si es continua en cada punto de I.