Función exponencial

Matemáticas. Álgebra. Funciones. Potencias. Ecuación exponencial

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Si b > 0 y b 'Función exponencial'
1, entonces la función exponencial de base b está definida por f(x ) = bx , donde su dominio es el conjunto de los números reales y su rango es el conjunto de los números positivos.

Tal como se hizo con las funciones anteriores, vamos a trazar su gráfica, obtener algunos elementos importantes para su estudio y hacer su análisis.

'Función exponencial'

'Función exponencial'

Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:

'Función exponencial'
'Función exponencial'

'Función exponencial'
'Función exponencial'

1. La función y = 2x es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores 'Función exponencial'

'Función exponencial'
'Función exponencial'

'Función exponencial'
'Función exponencial'

'Función exponencial'

'Función exponencial'

'Función exponencial'
'Función exponencial'

'Función exponencial'
'Función exponencial'

1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 1

2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a

3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.

Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.

4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.

5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.

'Función exponencial'
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Observando las propiedades antes descritas para una función exponencial, se han de distinguir dos casos para hacer la representación de una función y = ax :

A) a > 1

En este caso, para x = 0, y = a0 = 1

para x = 1, y = a1 = a

para cualquier x, la función es creciente y siempre positiva.

Como caso particular se representa la función y = 2x.

B) a < 1

Para x = 0, y = a0 = 1

Para x = 1, y = a1 = a

Para cualquier x la función es decreciente y siempre positiva.

'Función exponencial'

Hacer la gráfica de la función exponencial f(x) = 2x

Tabulando para algunos valores cercanos a cero, por ejemplo en el intervalo comprendido entre [-3, 3].

x y

3 2-3 = 0.125

-2 2-2 = 0.25

-1 2-1 = 0.5

0 20 = 1

1 21 = 2

3 32 = 9

Graficando la función exponencial y = 2x:

'Función exponencial'

Graficar la función f(x) = (1/2)x

Dando unos valores a la variable x, se tiene la siguiente tabulación:

x y

-3 (1/2)-3 = 8

-2 (1/2)-2 = 4

-1 (1/2)-1 = 2

0 (1/2)0 = 1

1 (1/2)1 = 0.5

2 (1/2)2 = 0.25

3 (1/2)3 = 0.125

Observaciones:

Para valores de x negativos: cuando x es grande, y tiende a ser grande. Para valores de x positivos, cuando x es grande y tiende a ser muy pequeña.

Graficando la función: y = (1/2)x

'Función exponencial'

Usando las propiedades de los exponentes, la función y = (1/2)x , se puede escribir como:

y = (1/2)x = 'Función exponencial'
.

Si comparamos la gráfica de y = 2x y la de y = 2-x , se observa que una es reflexiva respecto de la otra, y el eje refractor es precisamente el eje Y.

Ambas gráficas nos muestran importantes aspectos de la función f(x) = bx , donde b > 0, y b 'Función exponencial'
1, a saber:

  • el dominio es el conjunto de los números reales: Df = R

  • el rango es el conjunto de los números reales positios: Rf = (0, 'Función exponencial'

  • el eje de las abscisas (eje X) es asíntota horizontal de la gráfica.

  • la gráfica pasa por el punto (0, 1).

  • la curva es creciente cuando b > 1 y es decreciente cuando 0 < b < 1.

Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.

No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.

Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades:

1. ax = ay ð x = y

Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.

'Función exponencial'
'Función exponencial'
'Función exponencial'

El uso de los logaritmos, como se verá más adelante, facilita en muchas ocasiones la resolución de estas ecuaciones.

'Función exponencial'

Resolución:

'Función exponencial'

'Función exponencial'

ð Basta ahora con resolver esta ecuación de segundo grado.

1 - x2 = -3 → x2 = 4 → x = ± 2

ð Resolver 4x+1 + 2x+3 = 320

Resolución:

En algunas ecuaciones es necesario hacer un cambio de variable para su resolución.

ð Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, la ecuación puede escribirse:

4 · 4x + 23·2x = 320 → 4 · 4x + 8·2x = 320

ð Expresando 4x como potencia de dos,

4 · 22x + 8 · 2x = 320

ð Se hace el cambio de variable 2x = y, (por tanto 22x = y2) y se obtiene:

4y2 + 8y = 320

ð Basta ahora con resolver esta ecuación:

y2 + 2y - 80 = 0

'Función exponencial'

ð Se deshace ahora el cambio y = 2x

y1 = -10 = 2x. No es posible encontrar un x que verifique esta condición (2x es

siempre positivo)

y2 = 8 = 2x → x = 3

ð La solución es, por tanto, x = 3

ð Resolver 5x + 5x+2 + 5x+4 = 651

Resolución:

ð Aplicando las propiedades de las potencias, la ecuación se puede escribir como

5x + 52 ·5x + 54 ·5x = 651

ð Sacando factor común 5x:

5x (1 + 52 + 54) = 651

5x·651 = 651 → 5x = 1 → x = 0

Algunas ecuaciones exponenciales requieren, para su resolución, el empleo de logaritmos y por ello se tratarán junto con las ecuaciones logarítmicas.

Bibliografía

Teoria de las Funciones

Sevilla G Franscisco

JIT Press

Algebra

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