Fórmulas diferenciales de primer género

Geodesia. Expresiones diferenciales de primer orden. Coordenadas geodésicas. Latitudes. Longitudes. Azimutes

  • Enviado por: Belén Soria
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 11 páginas
publicidad
cursos destacados
Ejercicios resueltos de Álgebra Elemental
Ejercicios resueltos de Álgebra Elemental
Serie de ejercicios resueltos de Álgebra elemental Este curso va ligado al curso actual de álgebra...
Ver más información

Ejercicios Resueltos Cálculo Diferencial
Ejercicios Resueltos Cálculo Diferencial
Serie de ejercicios resueltos de Cálculo Diferencial Este curso va ligado al curso actual de Cálculo...
Ver más información

publicidad

FÓRMULAS DIFERENCIALES DE PRIMER GÉNERO

FÓRMULAS DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

INTRODUCCIÓN

Tras la elaboración de la triangulación y el cálculo de las coordenadas geodésicas de los puntos es posible que los datos iniciales (longitud y azimut del lado inicial, las coordenadas del punto inicial) tomados durante el proceso estén sujetos a pequeñas variaciones.

Esto conlleva la necesidad de corregir las latitudes, longitudes y azimutes calculados para la triangulación.

Una opción sería resolver de nuevo los triángulos y calcular las latitudes, longitudes y azimutes en base a los nuevos datos iniciales, sin embargo es más sencilla la opción alternativa, consistente en la corrección de las coordenadas de los puntos calculando las correcciones a éstos.

Las fórmulas que expresan las correcciones de las coordenadas geodésicas de los puntos y los azimutes de las direcciones para cambiar los datos iniciales de la triangulación, se llaman fórmulas diferenciales de primer género.

Existe un segundo grupo de fórmulas encargadas de referir las coordenadas geodésicas calculadas bajo un elipsoide escogido a un nuevo elipsoide con parámetros distintos. A las fórmulas que expresan las correcciones a las coordenadas geodésicas por el cambio de parámetros del elipsoide, se les denomina fórmulas diferenciales de segundo orden. En éste caso las dejaremos fuera de nuestro ámbito de estudio y nos centraremos en la deducción de las fórmulas diferenciales de primer orden.


0. -DATOS DE PARTIDA

PUNTO 1 A (B1, L1)

PUNTO 2 B(B2, L2)

A12 : Azimut de A hacia B

A21: Azimut de B hacia B

Dónde

B es la latitud geodésica

L es la longitud geodésica.

El esquema de trabajo a seguir será el siguiente:

1- Deducción de los valores 'Fórmulas diferenciales de primer género'
, 'Fórmulas diferenciales de primer género'
, 'Fórmulas diferenciales de primer género'
.

2- Deducción de las magnitudes 'Fórmulas diferenciales de primer género'
,'Fórmulas diferenciales de primer género'
,'Fórmulas diferenciales de primer género'
.

3- Deducción de las magnitudes buscadas 'Fórmulas diferenciales de primer género'
, 'Fórmulas diferenciales de primer género'
, 'Fórmulas diferenciales de primer género'
.

Comenzamos el proceso de cálculo:

Si B1 varia dB1, y también varían dA12 y ds. , para hallar las expresiones del punto B necesitamos dB2, dL2 y dA21, que vienen en función de dB1, dA12 y ds;

Por lo tanto nos encontramos con la siguientes expresiones:

'Fórmulas diferenciales de primer género'
'Fórmulas diferenciales de primer género'

1. -CÁLCULO DE LOS VALORES DE dB2B, dL2B y dA21B

Si el punto A´ se encuentra sobre el meridiano de A y posee una latitud B1+dB1. La longitud de la línea AB=s, desplazamos B a la posición B1´, entonces, se podrá afirmar que A´B1´=s.

'Fórmulas diferenciales de primer género'
Luego:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Obtenemos:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

que no es mas que la diferencia de

latitudes de los puntos B1´ y B:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

y la diferencia de latitudes be los puntos B´y B1´ :

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Como 'Fórmulas diferenciales de primer género'
entonces podemos afirmar que:

'Fórmulas diferenciales de primer género'
'Fórmulas diferenciales de primer género'
- 'Fórmulas diferenciales de primer género'

'Fórmulas diferenciales de primer género'
'Fórmulas diferenciales de primer género'

Considerando el triángulo ABP, como esférico:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Suponiendo que 'Fórmulas diferenciales de primer género'
, obtenemos:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Para la deducción de 'Fórmulas diferenciales de primer género'
, observamos que:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

De la misma forma se obtienen las siguientes ecuaciones:

'Fórmulas diferenciales de primer género'
'Fórmulas diferenciales de primer género'
+ 'Fórmulas diferenciales de primer género'

'Fórmulas diferenciales de primer género'

De la figura de arriba se deduce que:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Si suponemos que 'Fórmulas diferenciales de primer género'
, entonces:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Para deducir 'Fórmulas diferenciales de primer género'
:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Si diferenciamos la expresión obtenemos la siguiente ecuación: 'Fórmulas diferenciales de primer género'
:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

suponiendo que 'Fórmulas diferenciales de primer género'
, obtenemos:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

De forma análoga :

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Si tenemos en consideración que 'Fórmulas diferenciales de primer género'
, podemos obtener las siguientes expresiones:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

2. -CÁLCULO DE LAS MAGNITUDES 'Fórmulas diferenciales de primer género'

Suponemos que AB = s y que varía en la magnitud BB1 = ds. Según podemos observar en las figuras siguientes:

El azimut de la línea BB1 es igual a 'Fórmulas diferenciales de primer género'
, por lo tanto, según las fórmulas para resolver el problema geodésico directo hallamos que:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

De forma análoga se obtienen la longitud del segundo punto y el azimut inverso, como se puede observar a continuación:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

3. - CÁLCULO DE dB2A12 dL2A12 dA2A12

Si:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Dónde:

m Función de la longitud del azimut de la línea geodésica para la cual es correcta la igualdad escrita. La magnitud m se denomina longitud reducida de la línea geodésica.

Si tomamos el elipsoide como una esfera de radio igual al radio medio de curvatura.

Tomando como esférico el triángulo ABB1 y si expresamos sus lados en medida angular, llegaremos a la siguiente expresión

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Como 'Fórmulas diferenciales de primer género'
son muy pequeñas, se puede considerar que:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Si comparamos esta expresión con las dos expresiones anteriores llegamos a la siguiente conclusión:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Si tenemos en cuenta que el azimut de la línea BB1 es igual a 'Fórmulas diferenciales de primer género'
obtenemos que:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

De la misma forma se obtiene el siguiente resultado:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Para deducir 'Fórmulas diferenciales de primer género'
, es necesario tener en consideración que la corrección al azimut inverso, como consecuencia de la variación del azimut directo debe estar compuesta por dos términos:

A) Corrección 'Fórmulas diferenciales de primer género'
, relacionada con la longitud reducida de la línea geodésica. Esta parte de la corrección será:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

B) Corrección basada en

el cambio del acercamiento

de los meridianos al

desplazarse el punto extremo como resultado de la variación del azimut inicial.

Anteriormente se había llegado a la conclusión de que:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Con lo cual, se puede deducir sin complicación que la variación del acercamiento de los meridianos en el punto extremo valdrá:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

La corrección completa al azimut inverso tendrá la siguiente forma:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Como sabemos:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Con lo cual se puede decir que:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Con todo ello, se puede llegar a la expresión:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Si llamamos:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

y sustituimos en la ecuación inicial obtendremos que :

4.-EXPRESIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Como conclusión podemos considerar que las fórmulas exactas, válidas para cualquier valor de s, serán de la siguiente forma:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

Donde:

'Fórmulas diferenciales de primer género'

'Fórmulas diferenciales de primer género'