Flujo de señal

Diagramas Bloques. Malla. Mason's Rule. Sistemas Lineales. Intercomunicación

  • Enviado por: Ricardo
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Comparación entre Graficos de flujos de señales y Diagramas a Bloques.

Una gráfica de flujo de señales puede considerarse como una mutación simplificada de un diagrama de bloques, aunque en un principio, S.J.Mason, la ideo como una representación de causa y efecto de los sistemas lineales. En general, además de la diferencia de apariencia física entre la gráfica de flujo de señales y el diagrama de bloques, la primera está restringida por relaciones matemáticas más rígidas, mientras que las reglas de notación del diagrama de bloques son mucho mas flexibles y menos rigurosas.

Concepto de Grafica de Flujos de Señales:

Una gráfica de flujo de señales se puede definirse como un método gráfico para representar las relaciones entrada-salida entre las variables de un sistema de ecuaciones algebraicas como sigue:

Yj =  akjyk j = 1,2,.......,N

Debe señalarse que estas N ecuaciones se escriben en forma de relaciones de causa y efecto:

j-ésimo efecto =  (ganancia de k a j)(k-ésima causa)

o simplemente,

salida =  (ganancia)(entrada)

Este es el axioma individual más importante para establecer el sistema de ecuaciones algebraicas con el que se traza la gráfica de flujo de señales.

Y1 a12 Y2

Ejemplo #1Gráfica de flujo de señales para y2 = a12y1

En resumen las propiedades básicas de las gráficas de flujo de señales son:

  • Una gráfica de flujo de señales sólo es aplicable a sistemas lineales.

  • Las ecuaciones que sirven de base para trazar una gráfica de flujo de señales, deben ser de tipo algebraico y en forma de efectos como funciones de causa.

  • Los nodos se usan para representar variables, por lo general, los nodos se ordenan de izquierda a derecha, siguiendo la sucesión de causas y efectos a través del sistema.

  • Las señales sólo se desplazan por las ramas en la dirección señalada por las flechas de las mismas.

  • La rama que se dirige del nodo yk al yj representa la dependencia de la variable yj con respecto a yk,pero no a la inversa.

  • Una señal yk que se desplaza a través de una rama entre los nodos yk y yj, queda multiplicada por la ganancia de la rama, akj,por lo que al nodo yj entra una señal akjyk.

Además de los conceptos de ramas y nodos, existen algunos conceptos de gran utilidad para identificación y referencia.

Nodo de entrada (fuente).- Un nodo de entrada es aquel que sólo tiene ramas de salida.

Nodo de salida (pozo).- Un nodo de salida es aquel que sólo tiene ramas de entrad.Sin embargo,esta condición no siempre es estricta.

Trayectoria.- Una trayectoria es cualquier conjunto de ramas en una sucesión continua en la misma dirección.La definición de trayectoria es de tipo general,pues no impide que un nodo sea atravesado más de una vez.

Trayectoria Directa.- Una trayectoria directa es aquella que se inicia en un nodo de entrada y termina en un nodo de salida y no atraviesa ningún nodo más de una vez.

Malla.- Una malla es una trayectoria que se origina y termina en un mismo nodo,a lo largo de la cual no aparece un nodo más de una vez.

Ganancia de Trayectoria.- Al producto de las ganancias de ramas que constituyen el recorrido de una trayectoria, se le llama ganancia de trayectoria.

Ganancia de Trayectoria Directa.- La ganancia de una trayectoria directa es la ganancia adscrita a una trayectoria directa.

Ganancia de malla.- La ganancia de malla se define como la ganancia de trayectoria de una malla.

Ejemplo #2

Esta es una grafica de flujo de señales con y2 como nodo de entrada.

a22

a1/2 Y3

Y2 Y1

Como otro Ejemplo #3 considérese el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas:

Y2 = a12y1+a32y3

Y3 = a23y2+a43y4

Y4 = a24y2+a34y3+a44y4

Y5 = a25y2+a45y4

Diagramas de Bloques

Debido a su simplicidad y versatilidad, los ingenieros de control usan con frecuencia los diagramas de bloques para representar todo tipo de sistemas. Un diagrama de bloques puede servir simplemente para describir la composición e interconexión de un sistema. También puede usarse, junto con las funciones de transferencia, para representar las relaciones de causa y efecto en todo el sistema.

El punto importante es que el diagrama de bloques puede usarse para describir sistemas tanto lineales como no lineales

R(S) E(S) C(S)

r(t) e(t) c(t)

Figura (a):Diagrama de bloques básico para un sistema de control realimentado.

Diagramas de Bloques de sistemas de control.

Procederemos ahora a definir algunos elementos de los diagramas de bloques de uso frecuente en los sistemas de control y su álgebra. Uno de los componentes más importantes de un sistema de control realimentado, es el dispositivo sensor que actúa como punto funcional para la comparación de señales. Los componentes físicos involucrados son el potenciómetro, sincro, resolver, amplificador diferencial, multiplicador y otros transductores procesadores de señales.

En general, los dispositivos sensores llevan a cabo operaciones matemáticas simples tales como adición, sustracción, multiplicación y, en algunas ocasiones, combinaciones de éstas.

Usando el teorema de convolución compleja de la transformada de Laplace, es posible darse cuenta que la transformada de la Laplace de la Ecuación:

e(t) = r(t) c(t)

produce la expresión

E(s) = R(s)*C(s),donde el símbolo * representa una convolución compleja de R(s) y C(s).

Terminología de los sistemas de control:

r(t), R(S) = entrada de referencia

c(t), C(s) = señal de salida (variable controlada)

b(t), B(s) = señal de realimentación

e(t), (s) = señal de control

e(t), E(s) = R(s) - C(s) = señal de error

G(s) = C(s) / (s)=función de transferencia de lazo abierto o función de transferencia de trayectoria directa.

M(s) = C(s) / R(s) =función de transferencia de lazo cerrado

H(s) = función de transferencia de trayectoria de realimentación

G(s)H(s) =función de transferencia del lazo

La función de transferencia de lazo cerrado, M(s) = C(s)/R(s),puede expresarse como una función de G(s) y H(s).

C(s) = G(s) (s) Ec.(1)

Y

B(s) = H(s) C(s) Ec.(2)

La señal de control se escribe como:

(s) = R(s) - B(s) Ec.(3)

Sustituyendo la Ec.(3) en la (1) se obtiene

C(s) = G(s) R(s) - G(s) B(s) Ec.(4)

Sustituyendo la Ec.(2) en la Ec.(4) se obtiene

C(s) = G(s) R(s) - G(s) H(s) C(s)

Despejando C(s) de esta última ecuación, la función de transferencia de lazo cerrado del sistema se expresa como

M(s) = C(s) / R(s) = G(s) / (1+G(s) H(s))

En general, un sistema de control puede contener en la práctica más de un lazo de realimentación, y la evaluación de la función de transferencia a partir del diagrama de bloques por medio de este método algebraico, puede ser muy tediosa.

Ejemplo: Representación de un sistema de energía hidráulica impulsado por una turbina para un avión. Los componentes principales del sistema incluyen una bomba hidráulica con compensación de presión, una bomba de impulsión neumática, un controlador electrónico de velocidad y una válvula de control.

corriente

presión

de entrada

Fuga de la carga

Ejemplo: Supongase que las matrices de transferencia de la trayectoria directa y de lña trayectoria de realimentación del sistema de la figura (b).

R(S) E(S) C(S)

Figura (b):Diagrama de bloques de un sistema de control multivariable realimentado.

evaluando

1+G(s) H(s)= =

la matriz de transferencia de lazo correcto es:

M(s)

Donde

de esta forma

M(s)=

Ejemplo: En el siguiente ejercicio desarrollar los siguientes productos notables.

E

REDUCIENDO TERMINOS

= Mason's rule

We can use Mason's rule to solve for the relationship between of any two nodes in the network.

Let T be the transfer ratio between two nodes
Flujo de señal

where Flujo de señal
, Flujo de señal
, ... are the various paths connecting the nodes,

Flujo de señal
is a first order loop,

Flujo de señal
is a second order loop,

Flujo de señal
is a first order loop that does not touch path Flujo de señal
,

Flujo de señal
is a second order loop that does not touch path Flujo de señal
.

A first order loop is defined as the product of the branches encounter starting from a node and moving in the direction of the arrows back to its origin.

A second order loop is the product of two non-touching first order loops.

Example 1 We want to find the ratio Flujo de señal
.
Flujo de señal


Flujo de señal

Similarly, we can also find
Flujo de señal

Example 2 We want to find the power delivered from a source to a load as shown in Figure 14. The power delivered is

 Flujo de señal

Figure 14:  Flow graph for a load connected to a source


If the load is conjugately matched to the source, i.e., Flujo de señal
, P becomes the available power from the source
Flujo de señal

Signal flow graph

We'll follow certain rules when we build up a network flow graph.

  • Each variable Flujo de señal
    and Flujo de señal
    will be designated as a node.

  • Each of the S-parameter will be a branch.

  • Branches enter dependent variable nodes and emanate from the independent variable nodes.

  • Each node is equal to sum of the branches entering it.

  • Flujo de señal

    Figure 10: Complete Flow graph for 2-port

    Flow graph of a load

    For a load, the flow graph is simply, Flujo de señal
    , the reflection coefficient of the load.

    Flujo de señal

    Figure 12: Flow graph for a load

    Flow graph of a 2-port network with source and load

    To demonstrate the utility of flow graphs. Let's embed a two-port network between a source and a load.

    Flujo de señal

    Figure 13:  Flow graph for a two-port network with a source and a load

    Bibliografia

    Sistemas Automaticos de control

    Benjamin C. Kuo

    Editorial Continental

    http://www.en.polyu.edu.hk/~martin/rfmsc/node15.html

    http://www.en.polyu.edu.hk/~martin/rfmsc/node27.html#SECTION00066000000000000000

    G(S)

    H(S)

    G(S)

    H(S)

    turbina

    Bomba hidráulica

    carga

    controlador

    Válvula de control

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    A*B

    D+1

    F-G

    A*B+(C)(D+1)

    C(D+1)