Física

Solenoides. Polos. Campos Eléctricos. Fuerzas opuestas. Dipolo Eléctrico. Conductores. Gauss. Faraday

  • Enviado por: El remitente no desea revelar su nombre
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 19 páginas
publicidad
publicidad

C1.- En el interior de una esfera hueca de radios R1 y R2, R1 < R2, hay un dipolo eléctrico de momento dipolar Física
. Calcule el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio R > R2, concéntrica con la esfera original, en los casos:

  • La esfera es conductora.

  • La esfera es un dieléctrico de permitividad ð.

  • RESPUESTA

    .- El dipolo, de cargas -q y +q, crea un campo eléctrico,Física
    , el cual actúa sobre las esferas (conductora o dieléctrica), que son eléctricamente neutras, induciendo una redistribución de carga. Así:

  • Sobre el conductor induce unas densidades superficiales, 1(R1) y 2(R2), tales que se cumple Física
    ; por tanto el flujo del campo eléctrico, a, a través de la superficie esférica (cerrada) de radio R, se determina por medio de la ley de Gauss para el campo eléctrico, resultando:

  • Física

  • Sobre el dieléctrico se generan densidades de carga en superficie, '1(R1) y '2(R2), y en volumen, ', tales que: Física
    donde V es el espacio entre las superficies esféricas de radios R1 y R2. Por tanto el flujo eléctrico, b, es:

  • Física

    C2.- Un campo escalar tiene por superficies equipotenciales planos paralelos al plano XY. ¿Cuál es la dirección del gradiente de dicho campo escalar?. Justifique su respuesta.

    RESPUESTA

    .- Sea  (x,y,z) el campo escalar; entonces del enunciado se cumple que  (x,y,z) = c = z, donde "c" es una constante real, son las superficies equipotenciales. De la ecuación general de un plano se verifica que un vector director (vector perpendicular al plano) unitario es Física
    donde Física
    es el vector unitario según el eje de las zetas. Como sabemos que en cada punto el vector gradiente es perpendicular a las superficies equipotenciales deducimos que su dirección es el eje de las zetas,

    Física

    C3·.- Un condensador plano paralelo tiene una capacidad C0 cuando el dieléctrico es el vacío y está conectado a una batería de potencial ð0. Al introducir un dieléctrico ideal de permitividad relativa ðr = 4:

  • ¿Cómo varía su capacidad?

  • ¿Cómo varía el campo eléctrico entre las armaduras?

  • ¿Cómo varía la diferencia de potencial entre las armaduras?

  • ¿Cómo varía el desplazamiento eléctrico entre las armaduras?

  • ¿Cómo varía la carga en el condensador?

  • RESPUESTA

    El condensador plano, dieléctrico el vacío, de capacidad C0 al estar conectado a una fuente de tensión de 0 Voltios, adquiere una carga Q0 = C0·0. Si A es el área de la placa y d la distancia entre ellas, entonces su capacidad es Física
    . Al introducir el dieléctrico cambia la permitividad y no cambia la diferencia de potencial entre placas ya que está conectado a una fuente de tensión, por tanto:

  • C =  A/d = 0 r A/d = 4 C0 ! la capacidad aumenta 4 veces

  • Como E0 = 0/d, el nuevo campo eléctrico es E = /d = 0/d = E0 ! el campo E no varía

  • La diferencia de potencial entre placas es constante (batería) ! el potencial no varía

  • Como D0 = 0 E0, el nuevo desplazamiento eléctrico será, D =  E = 0 r E0 = 4 D0 ! el desplazamiento eléctrico aumenta 4 veces

  • La nueva carga en placas es Q = C· = 4 C0·0 = 4 Q0 ! la carga ha aumentado 4 veces

  • C4.- ¿Qué condición tiene que cumplir un campo magnético Física
    para que una carga eléctrica en reposo se ponga en movimiento?

    RESPUESTA

    .- El campo magnético no ejerce fuerza sobre una carga en reposo, así que para que pueda mover dicha carga, ya que inicialmente está en reposo, debe aparecer una fuerza de otro tipo inducida por nuestro campo magnético. La única forma de conseguir esto es que el campo magnético sea variable con el tiempo, ya que así, debido a la ley de Faraday, surge un campo eléctrico, E, que actúa sobre la carga con una fuerza, F = q E, que la pone en movimiento. La secuencia es por tanto:

    Física

    la cual pone en movimiento la carga q.

    C5.- Por tres conductores rectilíneos muy largos, paralelos y equidistantes circulan corrientes del mismo valor. ¿Cómo tienen que ser los sentidos de las corrientes para que la fuerza sobre el conductor central debida a las otras dos sea nula?

    RESPUESTA

    Las corrientes por los conductores (1), (2) y (3) son tales que I1 = I2 = I3 = I. El campo magnético creado por las corrientes I1 e I3 en los puntos donde está el conductor (2), debido a la configuración geométrica, es perpendicular al plano formado por los 3 conductores, por tanto Física
    , donde Física
    es un vector unitario en la dirección de la corriente I2. Como la fuerza por unidad de longitud sobre el conductor (2) es, Física
    ; la única forma de que la fuerza sea nula es que el campo magnético sea nulo.

    Física
    ya que están a la misma distancia del conductor (2) y están recorridos por la misma intensidad de corriente; por lo que para que tengan sentidos contrarios los campos magnéticos creados por los conductores (1) y (3) sobre el conductor (2) deben circular las corrientes en el mismo sentido en (1) y (3) pues el conductor (2) está en distinto lado respecto de (1) y (3).

    P1.- Un satélite artificial de 1000 kg gira en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 100 km. Si se lleva al satélite a otra órbita circular de altura 200 km, calcule:

  • Variación de la energía mecánica en el tránsito de una a otra órbita.

  • ¿Cuánto varía su energía cinética? ¿Aumenta o disminuye?

  • ¿Cuánto varía su energía potencial? ¿Aumenta o disminuye?

  • Explique por qué Física
    ð

  • Datos: Radio de la tierra, Ro = 6500 km; intensidad de campo gravitatorio en la superficie de la Tierra, go = 9.81 N/kg.

    RESPUESTA

    El satélite en órbita circular de radio r está sometido a una fuerza centrípeta

    Física

    La única fuerza que actúa sobre él es la atracción gravitatoria de la Tierra:

    Física

    Por lo tanto

    Física

    La energía cinética es

    Física

    y la energía potencial

    Física

    Por lo que, en órbita circular, la energía mecánica Física

    a) Física

    Física

    Física

    y sustituyendo datos,

    Física

    b)

    Física

    Física

    Física

    Como el numerador es negativo (h1 < h2), ððc < 0 por lo que la energía cinética ha disminuido. Sustituyendo datos

    Física

    c)

    Física

    Física

    y sustituyendo datos,

    Física

    d) No se conserva la energía porque se ha realizado trabajo sobre el satélite. El trabajo realizado se ha invertido en variar su energía cinética y su energía potencial; es decir,

    Física

    P2.- Un solenoide toroidal de circunferencia media l = 0.50 m está formado por 2500 espiras de radio 0.010 m, y tiene por núcleo aire de permeabilidad ðo = 4ð×10-7 H/m. Por el solenoide circula una corriente Física
    amperios. Un espira circular de radio 0.020 m que presenta una resistencia de 4.0 ð se sitúa con su centro en la circunferencia media del solenoide y paralela al plano de una de las espiras. Suponiendo que el error cometido al aplicar el teorema de Ampère es despreciable y que el campo magnético en todos los puntos del solenoide tiene el mismo valor que en su circunferencia media,

  • Calcule la corriente inducida en el conductor circular.

  • ¿Cómo varía la fuerza electromotriz inducida en el conductor circular al aumentar el radio?

  • ¿Cómo varía la corriente inducida en el conductor circular al aumentar el radio? (Recuerde que la resistencia aumenta linealmente con la longitud del conductor).

  • RESPUESTA

    En el solenoide se produce un campo magnético, cuyo valor en la circunferencia media es

    Física

    y por las condiciones del enunciado puede suponerse que su valor es el mismo en cualquier punto del interior del solenoide. Las líneas de campo de este campo son circunferencias concéntricas con la circunferencia media. Por lo tanto, es normal a la sección recta del solenoide. Como la intensidad que circula por el solenoide es variable, el campo magnético creado es asimismo variable.

    A través de la espira circular hay un flujo magnético variable de valor

    Física

    ya que el campo magnético sólo existe en los puntos de S comunes con S'. Así que

    Física

    a) Si la fuerza electromotriz inducida es Ei La intensidad inducida en la espira circular es

    Física

    La fuerza electromotriz se calcula a partir de la ley de Faraday:

    Física

    Física

    Física

    b) Al aumentar el radio de la espira circular no aumenta el flujo a través de ella, porque el flujo magnético sólo existe a través de la superficie de radio r. No existe ,pues, diferencia con la variación de flujo magnético del apartado anterior, y la fuerza electromotriz inducida es la misma que el el apartado anterior.

    c) La resistencia de la espira circular es

    Física

    siendo ρ la resistividad, l la longitud de la espira y SR su sección recta. Si el radio inicial de la espira circular es r1 y después es r2,

    Física

    y las intensidades correspondientes son

    Física

    La intensidad varia con la inversa del radio de la espira circular. Al aumentar el radio ( es decir al ser r2' > r1') la intensidad disminuye. Para una radio cualquiera r,

    Física

    P3.- Calcule el módulo del campo magnético Física
    producido en el centro de una espira cuadrada de lado Física
    m. por la que circula una corriente de 1 A (ðo = 4ð×10-7 H/m).

    Consideremos al cuadrado en el plano XY. Tomamos como origen de coordenadas el centro del cuadrado, punto en el cual vamos a calcular el campo magnético. Los ejes los tomamos paralelos a los lados del cuadrado, como se indica en la figura.

    La corriente la vamos a descomponer en los cuatro tramos correspondientes a los lados del cuadrado: AC, CD, DB y BA. Cada uno de estos tramos crea un campo magnético dado por

    Física

    en donde Física
    es el vector de posición del punto en el cual se calcula el campo (en este caso se trata del origen de coordenadas y, por tanto Física
    ); Física
    es un elemento de longitud en el sentido de la corriente; Física
    es el vector de posición del elemento Física
    ; y el denominador de la integral es la distancia desde el elemento de corriente hasta el punto en que se calcula el campo. Para cada uno de los tramos considerados, la integral se extiende a cada uno de los lados del cuadrado. Por la simetría de la figura, los campos magnéticos creados por cada lado del cuadrado en su centro son iguales. Si calculamos uno de ellos, el resultado será el cuádruplo del calculado para él.

    Lado DB

    Como el campo se calcula en el origen de coordenadas, Física
    , la expresión del campo es

    Física

    Física

    El producto vectorial del numerador de la integral es

    Física

    Calculemos la integral:

    Física

    con el cambio de variable (ver la figura)

    Física

    Física

    con lo que

    Física

    y el campo total es

    Física

    y sustituyendo datos, Física

    m = 1000 kg

    h1 = 100 km = 10×103 m

    h2 = 200 km = 200×103 m

    Ro = 6500 km = 6500×103 m

    go = 9.81 N/kg

    l = 0.50 m

    N = 2500

    r = 0.010 m

    ðo = 4ð×10-7 H/m

    I = 5cos(100ðt)

    r' = 0.020 m

    R = 4.0 ð

    Física

    I = 1 A

    ð ð ðð×10-7 H/m

    Física