Física

Mecánica. Fuerzas. Magnitudes. Errores. Álgebra de vectores

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FÍSICA I

Física actualmente se le considera como el núcleo de la filosofía natural debido a que es una ciencia exacta cuyo objetivo es la medición, estudia a la materia y sus interacciones también de la energía.

Interacciones.- Fenómenos de atracción o repulsión entre los cuerpos entre los cuales tenemos.

1.Interacción de tipo mecánico, cuando tenemos los choques o los rozamientos.

2.Inter. de tipo gravitatorio, sucede entre lo planetas y también cualquier par de cuerpos materiales.

3.Inter.de tipo eléctrico, la repulsión y atracción de las cargas eléctricas.

4.Inter. de tipo magnético, sucede entre sust. magnetizadas.

5.Inter. radioactivas, cuando a los cuerpos se les somete a altas temperatura “materiales” (sólido).

6.Inter. nucleares, cuando una materia es sometida al fuego y se produce el estado plasmático.

7.Inter. atómicas,

MATERIA: todo aquello que ocupa un lugar en el espacio.

MASA: Es un concepto que nos da la idea de cantidad de materia que posee una sustancia y que se manifiesta a través de la inercia.

MAGNITUDES: todo aquello que es susceptible al proceso de medición, ejm: áreas, volúmenes, intensidad de corriente eléctrica, flujos, campos eléctricos.

Clases:

A)Magnitudes Fundamentales

B)Magnitudes Derivas (B1: mag. escalares)

(B2: mag. Vectoriales)

Resolución:

1R = E= = =

F = Masa x Aceleración E = = = frecuencia

F= M x

F = M . F= M. L. T-2 u = = M L-1

2r= g = g = 2 = = L T-2

L T-2 = L T-2. T-2 . a = L2 . L

3R = E = m v2 + m h + F d-2 K g = aceleración de la gravedad

E = W = Fuerza. d (trabajo)

1. M. L2 T-2 = 1. M. L2 T-2 + M. L. T-2 . L2 K = M. aceleración. L

= M. L. T-2 . L

= M. L2 T-2

1 = L K velocidad = 2

K = L-1

4R = == L T-1

E x = - (y +z)

=

1 =1 - u es adimensional

Alfabeto griego

Mayúscula Minúscula

Epsilon: E 

Sigma 

Mu M 

Ro P 

Alfa A  "

Mgx = v1 x1 +v2 x2+ +v3 x3+ ..........+ vn xn

m = masa

g= aceleración 2 = = (L T-2) es fuerza o presión: N/m2

x = distancia (L)

v = Volumen 3 m3 (L3)

mgx = v1 x1+............

M.L.T-2L =  L3. L

M. L T-2 =  L. L2 Potencia : M L2 T-3

M.T-2.L-2 = 

 = M L-2 T-2

V = a

A ó a : 2m2 = L2

LT-1 = L2

LT-1 = L2 LT-1 =

L2T-2 = LT-2.   = L

7. Q = 0,622 (B - 0,2h)h3/2

Q = 1. (L - 1. L )L3/2

Q = L1/2. T-1 . L2/2. L3/2

Q = L3 T-3 minuscula

Delta  = alargamiento = 1

8.

L = L.F = a. L + b. F

a = F

b = L

E = elastecidad =

 = alargamiento = m W = peso = fuerza

9.

10. (A + + C) c = ?

A2 = L2 T4 = C. A.

A 0 LT2

L2 T4 = C. LT2

C = LT2

Se ha medido el lanzamiento que una carga le produce un alambre de acero, fijo por extremo.

El alargamiento ha sido medido con un instrumento cuya apreciación es: X = 0,001 m. m. Las lecturas obtenidas en el laboratorio son las siguientes: -0,312 - 0,320 - 0,318 -0,316 0.318 determinar el resultado de la medición

L = L

1

L1=(mm)

l1 = (l - l1)(m.m)

| l1 |

(l1)2 mm2

1

2

3

4

5

0,312

0,320

0,318

0,316

0,318

l1 = (0,3168 - 0,312) = 0,0048

(0,3168 - o,320) = 0,0032

-0.0012

0,0008

-0,0012

0,0048

0,0032

0,0012

0,0008

0,0012

0,00002304

0,00001204

0,00000144

0,00000064

0,00000144

EVALUACIÓN DE ERRORES ESTADÍSTICOS

A)DESVIACIÓN PROMEDIO (D)

Consideración aproximada 0,0022 mmm (incorrecto)

0,002 mm (correcto)

B)DESVIACIÓN STÁNDAR

C)DESVIACIÓN ESTÁNDAR DEL PROMEDIO

1mm = 1mmx =x= = 0,001m

EVALUACIÓN DE ERRORES ESTADÍSTICOS

A)DESVIACIÓN PROMEDIO (D)

= = = m. m = 0,00224 mm

B)DESVIACIÓN STANDAR

Como n<100

! "n-1== = 0,00303315 m.m

0,003 m.m

C)DESVIACIÓN STANDAR DEL PROMEDIO

En-1 = = = 0,0015 mm = 0,002 mm

Finalmente tenemos el resultado:

Donde Error del instrumento

Entonces: = (0,0030,001) mm = 0,004 mm

Este resultado no se encuentra bien expresado debido a que el error a sido estimado hasta la cifra nc p = 6

0,317 - 0,004 " " 0,317 + 0,004

0,317" " 0,321

Mediaciones Indirectas

Evaluación de los errores sea V (volumen) una cantidad o magnitud física que se va a medir indirectamente en función de otras cantidades que se han medido directamente tales como x, y, z, etc. La relación entre las medidas directa y la indirecta se establece a través de una formula matemática expresada de la siguiente manera. V = f (x, y, z) Donde:

valor promedio = valor promedio

de la cantidad X de la cantidad Z

x =

Y =

Z =

“M, N, P” son el número de mediciones que se obtienen de las cantidades x , y, z respectivamente; además la desviación estándar de la cantidad “X”, quedará de la siguiente manera.

Para el caso en que M, N y P son pequeños.

El valor de la medición indirecta, debe ser V =

Utilizando la teoría de la estadística en la evaluación de los errores y el cálculo diferencial se admite que

Uve promedio

EVALUACIÓN DE LOS ERRORES SISTEMÁTICOS DE “V”

a)

cambio de una medida indirecta sistemática al igual al diferencial de uve.

Donde: " x; " y; "z son los errores sistemáticos de x; y; z que están correlacionados, lo que significa que las medidas de x; y; z están efectuadas por el mismo operador, con el mismo instrumento, en el mismo tiempo y en las mismas condiciones ambientales (presión y temperatura).

b)Cuando los errores de las cantidades son independientes esto significa que las cantidades x; y; z pueden haber sido medidas por operadores diferentes, diferentes instrumentos y en diferentes condiciones de tiempo o ambientales.

Los errores de las cantidades son independientes según las medidas.

Ejemplo:

El volumen de una pelota se puede encontrar a partir del valor medido de diámetro. Al medirse el diámetro se obtiene.

D = (1,002 0,002) pulgadas. Hallar dicho volumen, resolución: nos da una medida directa lo cual no sabemos con qué instrumento se ha medido.

volumen de la esfera

=

debido a que 1 " 6 son constantes “V” estará en función de  " D o sea:

V = f( ; D)

Donde:

D = 1,002

D = 0,002

! para  estimamos un límite:

Donde:

!  = (3,14 ± 0,01)

3,13 <  < 3,15

CÁLCULO DEL MEJOR VALOR DEL VOLUMEN “V”

V = f( ; D)

La fórmula transformada se expresa

= 0,526479613 pulgadas

EVALUACIÓN DEL ERROR DE “V”

Aplicamos:

Asumimos:  representa a “x”

D representa a “y”

Z no existe

Luego:

Para facilitar los cálculo

V = 0,0067675. = 0,0067675. = 0,0035629

V = ± V

0,5229167 < " < 0,5300425

Magnitudes Vectoriales

Son aquellas, que para estar definidas completamente a partir del módulo que poseen los escalares requieren también de una dirección, un sentido y la localización de su punto de aplicación:

Ejemplo:

Datos:

Dirección: 180°

Módulo: 20N

Magnitud: 20N

Intensidad: 20N

Tamaño: 20N

Sentido: Negativo, eje “x”

OPERACIONES CON VECTORES a)suma

d)Diferenciación de vectores b)resta

c)multiplicación Producto Escalar

A)SUMA DE VECTORES: Sean los siguientes vectores Producto vectorial

Para sumar estos 3 vectores o bien se dispone uno a continuación del otro y se realiza la suma algebraica de sus componentes tal como si fuera expresiones con términos semejantes, la otra forma: es colocándolos en columnas conservando una columna particular para cada grupo de componentes:

= (2 + 4) + (3 - 1 + 5) +(4-1)

= 6 + 7 + 3

ÁLGEBRA DE VECTORES

Es aquella que para considerarse completamente definida requiere y características.

1)Magnitud o módulo, también conocido como intensidad, tamaño

2)Dirección

3)Sentido

4)punto de aplicación

SIMBOLOGÍA: Sea una magnitud vectorial “A” dicha magnitud como un vector se le representa mediante un rayo o una flecha.

; ; (vector “A”)

A; ; ;

Tamaño de un vector

VECTORES EN LE PLANO

Sean los vectores y formado entre sus líneas de acción un ángulo 

SUMA DE VECTORES CONCURRENTES

Sean vectores y formando entre sus líneas de acción un ángulo .

Gráficamente

= + = +

REPRESENTACIONES VECTORIAL DE LA POSICIÓN DE UN PUNTO EN EL ESPACIO

= VECTOR DE POSICIÓN

Podemos llegar al punto  por medio de 2 caminos

1)El camino más corto; partiendo de “” y llegar a “P” mediante el r

2)El camino es mediante los vectores

vectores unitarios

se denomina vector unitario a aquel vector cuyo módulo es igual a la unidad y que sirve para definir

una determinada dirección

Vectores Unitarios Rectangulares:

: el vector unitario “i” define la dirección:

! define la dirección x referido al eje positivo

define la dirección eje y positivo

define la dirección eje z positivo

posición

luego la posición del “p” podrá expresarse

Posición del punto “P” =

Donde: x, y, z, vienen a ser las coordenadas del punto P; una vez que en este sistema de coordenadas cartesianas sean definido las direcciones principales a través de los vectores unitarios en el ya podemos definir otras magnitudes como por ejemplo si representamos el vector peso () de un cuerpo que cae en la dirección “Z” a la superficie terrestre (plano x, y) puede denotarse de la siguiente manera:

en esta expresión, “m” es el módulo del vector peso es el vector unitario que nos es indicando que la dirección de este vector es la vertical y el signo negativo nos indica que el sentido de dicho vector es el opuesto al que tiene el vector unitario “k”.

representación vectorial de un vector cualquiera en el espacio.

Si utilizamos los vectores unitarios tendríamos: sea un vector “A” ()

; tendríamos:

MÓDULO DEL VECTOR “A” Ó A

Estará dado por la longitud de la diagonal del paralelepipedo A =

ÁNGULOS DIRECTORES DEL

SON: 3:

= es el ángulo que forma el valor A con su componente en la dirección “x” ()

: Es el ángulo que forma el vector con su componente en la dirección Y ()

Relación que existe entre el vector ; y ; ; al igual que , , 

Dibujo en el plano “zx”

DIBUJO EN EL PLANO “ZY”

VECTOR UNITARIO EN LA DIRECCIÓN DEL VECTOR

El tamaño de “A”

Ejemplo: (1) sea ;

Para este valor determinado:

a)Módulo b)Los ángulo directores

c)Un vector unitario en la dirección del

a)

b)i)Cos =

ii)Cos =

iii)Cos =

Verificando si el tamaño del es igual a “1”

Relación Trigonométrica entre los ángulos directores de un vector

Se sabe que:

OPERACIONES CON VECTORES

A)Suma

b)Resta -Producto Escalar

c)Multiplicación -Producto Vectorial

d)Definición de vectores

a)Suma de Vectores: Sean tres vectores para sumar estos tres vectores o bien se dispone uno

a continuación del otro se realiza la suma algebraica en sus componentes tal si fuera expresiones con términos semejantes la otra forma sería colocándolos en columnas conservando una alumna particular para cada grupo de componen.

b)Resta de vectores:

Para restar vectores el vector que hace las veas de sustraendo se le cambia de signo y luego se procede como si se tratada de una suma de vectores.

Solución:

es decir

Luego

Vector diferencia

c)Multiplicación de vectores

c.1.)Multiplicación de un producto Escalar o producto punto

El producto escalar de dos vectores cualesquiera es una operación mediante la cual se obtiene como resultado a un escalar a partir de haber operado con estos dos vectores y de allí su nombre de producto escalar. El producto escalar. El producto escalar se define como el producto de los módulos de los vectores participantes. Multiplicado por el coseno del ángulo que forman las líneas de acción de ambos vectores.

Definición matemática: Sena dos vectores tales como y siendo el

entonces; producto escalar del y" .

ó

Producto Escalar de vectores unitarios

Sí: = |1| |1| Cos0° = 1

Luego: = |1| |1| Cos 0° = 1

Entonces: = |1| |1| Cos0° =1

= |1| |1| Cos90° = 0

= |1| |1| Cos 90° = 0

De manera que el producto escalar de dos vectores unitarios iguales es “1”, el producto escalar de dos vectores unitarios s “O”

Ejm: sea; Hallar el producto escalar y

el ángulo

Ax Ay Az Bx By Bz

A = " B =

 = 124° 18'

Producto Vectorial o producto Cruz

Cuando se multiplican dos vectores como resultado de dicha operación se obtiene otro vector de allí entonces el nombre de producto vectorial el producto vectorial de dos vectores se define como el producto de los módulos de dos vectores que se multiplican multiplicando a la vez por el seno del ángulo que forman los vectores participantes.

DEFINICIÓN MATEMÁTICA: Sean los vectores A y B (y) donde

Producto vectorial del vector “A” con el vector “B” = x

El producto vectorial no es conmutativo, es decir:

Implica que:

=

De donde se tendrá que:

Producto vectorial unitarios

PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES UNITARIOS

= (1) (1) Sen0° =0

= (1) (1) Sen = 0

= (1) (1) Sen = 0

= (1) (1) Sen0° = =

= (1) (1) Sen 90° = = c

= (1) (1) Sen 90° = =

En sentido horario = (1) (1) sen90°(-) = -

Siendo los vectores

! El determinante del producto vectorial

= = - +

! = (Ay Bz - AzBy) - (AxBz - AzBx) + (AxBy - AyBx)

Ejemplo 1 dados los vectores

determinar

! Mediante determinante. (a)

= = - +

= [(1) (1) - (-3)(-4)] - [(2) (1) - (4) (-4)] + [(2)(-1) - (4)(1)]

=

En forma directa

=

=

=

=

= -6 + + + - 16 + 12

= -6 +(- 2)+( - 4)+ -16 + 12(-)

= -6 - 2- 4)+ -16 - 12

! = -11 - 18 - 10

EJEMPLO 2 DADOS LOS VECTORES:

Determinar

! = -()

por determinantes Hallamos

= = - +

=[(1)(2) - (3)(-4)] - [(3)(2) -(-4)(-4)] + [(3)(3) - (-4)(1)]

= 14 + 10 + 13

Como = -()

Entonces:

: = -(14 + 10 + 13 )

: = -14 - 10 - 13

PROYECCIÓN DE UN VECTOR A () EN LA DIRECCIÓN DE OTRO VECTOR B ()

Proyección de sobre el =

= .

También:

donde

EJEMPLO 1 Sea el = 2 + 4 Hallar:; Sí:

! = . ; =

= .

= (2 + 4).

= (2 + 4).

= 2 + 4

= 2

VECTORES ORTOGONALES O PERPENDICULARES

2 Vectores A y B se dice que ser perpendicularmente cuando su producto escalar es igual a cero

Luego: sí entonces = 0

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS “MÉTODO VECTORIAL

Sean los puntos P1(X1, Y1 , Z1) " P2(X2, Y2, Z2 ) y “O” como punto de referencia

En la figura

Entonces:

La distancia entre los puntos P1 y P2 está dada por el módulo del vector Luego:

Ejemplo: 1

Hallar la distancia entre los puntos P1 y P2 cuyos vectores de posición son:

Luego:

EQUIVALENCIAS VECTORIALES

1) =

2) = () +

3)Sea escalar ! m = m

4)m y n ! (m + n) = m + n

5)m() = m + m

6) . = .

7) = .+ .

8)m(.) = (m).= .(m)

9) x = - (x)

10) = x + x

11)m(x) = (m) x = x (m)

12).( x ) =..(x) = . (x)

13) x (x) = (.) - (.)

TORQUE O MOMENTO DE FUERZA (t) T (Tau) Módulo del momento de fuerza.

Consideramos un cuerpo plano fijo en un punto ó alrededor del cual se puede realizar un movimiento de rotación cuando a diferentes del cuerpo se aplican fuerza.

MOMENTO DE FUERZA

Es una magnitud vectorial asociada en el movimiento de rotación de los cuerpos

DEFINICIÓN MATEMÁTICA

!  =

Donde:

= Es el vector que une el centro de momento ó (PUNTO FIJO) con el punto P de aplicación de la fuerza

= Es la fuerza que provoca la notación

 = ángulo que forman los vectores y

*El torque () también puede escribirse de la siguiente manera

= (r sen) =

 = bF

Donde: b = r sen  recibe el nombre de brazo de palanca

BRAZO DE PALANCA: Es el siguiente perpendicular línea de acción de la fuerza trazado desde el centro de momentos O'

SENTIDO DE LA ROTACIÓN

El sentido de la rotación de un cuerpo se puede determinar aplicando la regla de la mano derecha, que consiste en lo siguiente:

-Los dedos de la mano a excepción del pulgar se hace coincidir con la dirección del vector , la muñeca con la dirección del vector, si la rotación es tal de que los dedos de la mano se cierran en dirección de la muñeca, entonces el vector, Torque () quedará indicado por la dirección que tiene el dedo pulgar que es perpendicular, al plano que forman la dirección del vector en el vector fuerza

[] = [r] [F] [Sen]

[] = (m) (N) (1)

[] = Nm (M. k. S)

EJEMPLO I

Determinar el momento de la fuerza aplicando e cuerpo de la figura por acción de la fuerza F

A)1er MÉTODO

=x ; = 3m = 40N(Cos - Sen)  = 45°

= 40N(Sen45° - Cos45°)

Luego:

= (3m) x 40N . (Sen45° -cos45°)

= 3m x 40N . Sen45° - 3mx40N cos45°

= 3m x 40N . Sen45° -120Nmcos45°x

0

= -120Nm

B)2do MÉTODO

Usando el brazo de la palanca y los sentidos horario y anti horario

F = 40N

B = Sen ! b = 3m. Sen45°

= -(3sen45°)(40N)

= -120 Sen45° N. m

El segundo método de resolución es posible si los vectores y pertenecen a un plano conocido como al X, Y que indican el vector torque tendrá la dirección k, además el brazo de la palanca es posible determinarlo proyectando la línea de acción de la fuerza en ambos sentidos y perpendicularmente a ella se traza el brazo es palanca desde el centro de momento. El brazo de palanca es casi imposible es determinar cuando el vector y el vector pertenecen al espacio tridimensional

Ejemplo: 01

Determinar el resultante debido a las fuerzas aplicando al cuerpo de la figura. Si los puntos de aplicación de dichos cuerpos son respectivamente

P1 (2, 2)m y F1 = 20N

P2 (1, 3)m y F2 = 30N

P3 (-1, 1)m F3 = 40N

=

=

=

=

Luego:

= -20N

= 30N. cos30° + 30N.sen30°

= 30N (cos30° + sen30°)

=

= (2m) x (-20N)

= -40Nmx ! = -40Nm

=

= ( + 3)m X (30N. Cos30° + 30N. Sen30°)

= ( + 3)m x 30N(Cos30° + Sen30°)

= mx30N.cos30° + mx30Nsen30° + 3mx30Nsen30°

= mx30Nsen30° + 3m x 30N Cos30°

= 30N sen30° xm + 30N.3 cos 30° m

= 30 sen30° N m x + 30 cos30° . 3Nm x

= 30 sen30°N. m x + 3.30 cos30° N . m x

= 30 sen30° N. m + 90 cos30°N.m (-)

= 30 sen30° N .m - 90 cos 30° N . m

= 30N m (sen30° - 3 cos30°)

=

= (- + )m x (-40N)

= -x(40N)m + mx (-40N)

= 40m xN + -40Nmx

= 40Nm(0) - 40Nm (-)

= 40Nm

Finalmente:

=

=

= 32Nm'()

= 32Nm()

= -30Nm ! = -15Nm()

Comprensión de fuerzas Paralelas

Sea el cuerpo rápido de la figura al cual se han aplicado un conjunto de fuerza paralelas

La fuerza resultante del conjunto de fuerzas paralelas aplicados al cuerpo a las distancias X1, X2, X3 respectivamente es:

El punto de aplicación de la resultante (X) se encuentra utilizando el momento de la resultante que es igual a la suma de los momentos de las fuerzas individuales.

donde:

es el brazo de la palanca de la resultante.

EJEMPLO 1

Hallar y N para la figura anterior; sí: X1 = 10cm

X2 = 20cm

X3 = 50cm

!

= -20N

x(-20N) =(20cm)x(-50N)+(20cm)x(10N)+(50cm)x(20N)

x(-20N) = (-500Ncmx) + (200Ncmx + 1000Ncmx)

x(-20N) = -500Ncm + 200Ncm + 1000 cm

x(-20N) = 700Ncm

X x (-20N) = 700Ncm

-20XN = 700 N cm

-20X N = 700 Ncm

X = -35cm

CENTROS DE MESA O CENTROIDES

Sea el cuerpo de la figura perteneciente al plano XY, la primera fuerza natural que actúa sobre el su peso W.

Supongamos que el cuerpo de la figura esta constituido por tres masas puntuales m1, m24, m3; los vectores peso de cada una de las partículas son: , y respectivamente dirigidas de arriba hacía abajo y se consideramos los momentos , y que generan respecto del punto de origen “O” tendremos que el momento total será:

Observación :

es el momento respecto al punto “”

............ (I)

si se considera la masa del cuerpo, el peso total del cuerpo:

= (m1 + m2 + m3)

El punto de aplicación del vector se denomina CENTRO DE GRAVEDAD. Que es la posición que deseamos encontrar y los representamos por CM. ahora decimos; si en vez de utilizar los pesos: , y ; utilizamos (peso total) para hallar respecto de “o” tendríamos la siguiente.

..... (II)

Luego igualando (I) con (II) se tiene :

................... (III)

Pero: =-m1 g

= - m2 g ! = -mg donde: m = m1 + m2 + m3

= - m3 g

Además

!

Luego: = (X1 + Y1 = -mgX1x - m1gY1 x

= -m1gX1 - m1gY1 - 0

= -m1gX1 - m1gY10

= -m2gX2

= -m3gX3

Reemplazando en ............. (III)

= -mgXCM

-mgXCM = (-m1gX1 -m2gX2 --m3gX3)

Cancelando , signo (-) y g obtenemos

MXCM = m1 X1 + m2X2 + m3X3

Finalmente :

Para determinar las otras dos coordenadas del centro de gravedad tenemos que girar el sistema de modo que queden verticales los ejes XY " ; de esa manera se obtiene que las otras componentes o coordenadas del centro de gravedad serán:

Estas serían las coordenadas del CENTRO DE GRAVEDAD DE UN SISTEMA FORMADO POR TRES PARTÍCULAS. Si el sistema tiene “N” partículas ! las coordenadas dadas por

Todo esto sería un CASO DISCRETO, debido a que las partículas se pueden contar así como las posiciones.

Si tuviéramos una tiza, un trozo de madera donde se pueda contar sus partículas y como en física no es un trabajo con números infinitos, entonces el centro de gravedad de estos cuerpos se determinar de otra forma como pasaremos a ver.

CENTRO DE GRAVEDAD O CENTROIDES DE CUERPOS CONTINUOS

(Sistemas de muchas partículas)

CUERPO CONTINUO HOMOGÉNEO

Es aquel que esta constituido por un sin número de partículas muy próximos entre sí, lo que le da forma y determina el volumen de dicho cuerpo.

Se dice que es HOMOGÉNEO cuando en diferentes regiones o zonas del mismo cuerpo se encuentran la misma concentración de partículas y la masa conserva su mismas propiedades y características en síntesis su densidad es constante.

Como la sumatoria de sus productos. en este caso tiende hacia al " siendo las distancias de separación ente las partículas muy próximas entre sí esta suma discreta puede ser reemplazada por una suma continua de elementos de masa y que es equivalente a una INTEGRAL.

Luego las coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo continuo está determinado por las siguientes ecuaciones:

Observación: Ya aquí no sumamos masas puntuales; si no corpúsculos que tienen masas puntuales; es decir elementos de masa.

Donde:

X; Y; Z son las coordenadas de la posición de un elemento de masa (dm) cuyo volumen tiende a cero

FORMAS QUE PRESENTAN LOS CUERPOS

A)FILAMENTOS.-Donde 2 dimensiones son despreciables

(Ejemplo. Un cabello)

B) SUPERFICIE.- Donde se desprecia una dimensión

C)VOLUMEN.- Donde los tres dimensiones son comparables compatibles

DENSIDADES DE MASA

A)DENSIDAD LINEAL DE MASA () (Lambda)

Se define como el cociente de la masa de un filamento y su longitud

y si tomamos un elemento de masa y un elemento de longitud

DENSIDAD SUPERFICIAL DE MASA () (Sigma Minúscula)

Se define como el cociente de la masa de una superficie y el área de la misma

si tenemos un elemento de masa y de área !

A = L2

u

Lo

L

Siendo x, y, z los resultados de las medidas directas.

Los errores estadísticos de la medida directa son:

Largo X

Largo Y

Largo Z

D •

Dirección 180°

Mov.

= 20N

Sentido

5u

Magnitud

VECTOR “A”



O



P

D

H

E

F

A

G

B

O

C

A

B

C

D

E

R = 0

-E

X

O



Y

Z

P

A

B

A

B

S = A + B

Vector suma

A

B



A

B

A x B

A

B

e1



A

B



A x B

d

dm

ds

dm

m

S

Física

Z ()

Y ()

X ()

(14; -28; -10)

-28

-Y

90°

90°

90°

Z

Y

X

(-)

(+)



k

j

i

Y

x

90°

P1

P2

O

X

Y

Z

P2(1, 2, -1)

P1(2, 4, 6)

-Z

o

Y

X

P

.o'





O'

P



O'

P

rsen

Brazo de la palanca

(-)

Horario

(+)

Antihorario

Fx

Fy



Y

F = 40N

3m

X

O'

P3

b





Y

P2

P1

30°

F2

F1

F3

P3

P2

P1

X

F1

X1

X2

X3

Y

O

B

C

F2

F3

•m2

•m1

•m3

X

Y

O

m1 (X1; Y1)

(XCM; YCM)

m2 (X2; Y2)

m3 (X3; Y3)

W2

W1

W3

Y

X

O

X

Y

W

X

Y

dm

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