Factorización

Factor común. Factorizar. Binomio cuadrado perfecto. Trinomios. Agrupación. Raíces

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Factorización

Antes de iniciar con el tema de factorización es necesario definir uno de los conceptos que se utilizarán con mucha frecuencia.

Factor común.- se llama así al factor que aparece en cada uno de los términos de un polinomio.

Ejemplo 1:
2ax2-4ay+8a2x

Analicemos término por término:

El primer término podemos expresarlo como: 2axx
El segundo término podemos expresarlo como: -2*2ay
Finalmente el tercer término podemos expresarlo como: 4*2aax

Como podemos observar en los tres términos que componen el polinomio tenemos el término 2a, a este término se le conoce como factor común.

De esta forma 2ax2-4ay+8a2x, puede expresarse como: 2a (x2-2y+4ax)

No existen fórmulas para la factorización, pero al ser un proceso inverso a la multiplicación, la experiencia en las fórmulas revisadas anteriormente nos permitirá reconocer cuando una expresión algebraica es el producto resultante de factores conocidos.

Decimos que factorizamos completamente cuando llegamos a una expresión en que cualquier factorización posterior produce números fraccionarios.

Ejemplo 2:
Factorizar 2x+6y.

2x+6y podemos expresarlo como 2*x+2*3*y

En este caso los coeficientes son múltiplos de 2; por lo tanto podemos tomar como factor común a 2, ya que aparece en ambos términos del polinomio.

2x+6y=2(x+3y)

Si ahora tomamos a 3 como factor común tenderemos (2)(3)Factorización
; quedando una fracción por lo que la factorización ya no es completa.

Ejemplo 3:
Descomponer en factores a(x+2y)-3(x+2y)

En este ejemplo el factor común en (x+2y), ya que aparece en los términos que componen el polinomio, por tanto (x+2y)(a-3)=a(x+2y)-3(x+2y).

Factorización de un binomio cuadrado perfecto

Para saber si el polinomio que tenemos lo podemos factorizar como binomio cuadrado perfecto, debemos basarnos en la definición que se dio en el tema anterior.

Ejemplo 1:
Factorizar a2-4ab+4b2

Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:Factorización

Raíz cuadrada del tercer término:Factorización

Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(a)(2b)= 4ab

Como podemos observar el doble producto de la multiplicación de las raíces es igual al segundo término; por lo que se trata de un binomio cuadrado perfecto. Por lo tanto a2-4ab+4b2 podemos expresarlo como (a-2b)2.

Ejemplo 2:
Factorizar 36x2-18xy4+4y8

Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Raíz cuadrada del tercer término: Factorización

Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(6x)(2y4)=24y4x

Como podemos observar el polinomio no es un binomio cuadrado perfecto, ya que el segundo término no es igual.

Diferencia de cuadrados

Regla: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia de la raíz del minuendo y la del sustraendo.

Ejemplo 1:
Factorizar 1-a2

Realizando los pasos que se mencionan en la regla, tenemos:

Raíz cuadrada del minuendo: Factorización

Raíz cuadrada del sustraendo: Factorización

Multiplicamos la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (1-a).

Por lo tanto: 1-a2=(1+a)(1-a)

Ejemplo 2:
Factorizar 16x2-25y4

Raíz cuadrada del minuendo: Factorización

Raíz cuadrada del sustraendo: Factorización

Multiplicamos la suma de estas raíces (4x+5y2) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (4x-5y2).

Por lo tanto: 16x2-25y4 =(4x+5y2)( 4x-5y2)


Factorización de trinomios

Recordemos que el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es de la forma (a-b)2 =(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2, para poder factorizar un polinomio que presenta esta forma, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1:
Factorizar x2+2x-15

En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 2x tiene signo +.

En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +2x por el signo de -15, tenemos que + por - da -.

Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos: Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización

Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15 (x2+2x-15).

Para este caso particular los números son 5 y 3, ya que restándolos (5-3=2) dan dos y multiplicándolos (5*3=15) dan 15.

Por tanto, x2+2x-15 puede expresarse como: (x+3)(x-5).

Ejemplo 2:
Factorizar x2+6x-216

En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 6x tiene signo +.

En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +6x por el signo de -216, tenemos que + por - da -.

Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos:

Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 216 (x2+6x-216). Estos números no se ven fácilmente, para hallarlos descomponemos el tercer término en sus factores primos:

216

|

2

108

|

2

54

|

2

27

|

3

9

|

3

3

|

3

1

Ahora, formamos con estos factores primos dos productos. Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos números que buscamos. Así:

Primer número

Segundo número

Multiplicados

Restados

2*2*2=8

3*3*3=27

8*27=216

27-8=19, no nos sirven

2*2*2*3=24

3*3=9

24*9=216

24-9=15, no nos sirven

2*2*3=12

2*3*3=18

18*12=216

18-12=6, sirven

18 y 12 son los números que buscamos porque su diferencia es 6 y su producto es 216 (x2+6x-216).

Por tanto: x2+6x-216=(x+18)(x-12).

Factorización por agrupación

Para explicarla, veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1:
Factorizar ax-ay-bx+by

Esta expresión con cuatro términos no la podemos factorizar en dos binomios con términos semejantes.

En este caso el primer paso a seguir es aplicar la ley asociativa, que nos permita encontrar un factor común para lograr la factorización completa.

Aplicando la ley asociativa: (ax-ay)-(bx-by)

En el primer binomio (ax-ay) vemos que el factor común es a, por lo tanto podemos expresarlo como: a(x-y).

En el segundo (bx-by) binomio el factor común es b, por lo tanto podemos expresarlo como: b(x-y).

De esta forma: ax-ay-bx+by podemos expresarlo también como a(x-y)-b(x-y), a su vez podemos factorizarlo, el factor común es (x-y), quedando de la siguiente forma: (a-b)(x-y).

Recordemos que cuando la factorización es completa, los factores son siempre los mismos, no importa en que orden se haya factorizado.

Ejemplo 2:
Factorizar x2 - y2 + x3 - y3

Aplicando la ley asociativa tenemos: (x2 - y2) + (x3 - y3 )

Si tomamos primero el primer binomio (x2 - y2), podemos ver que se trata de una diferencia de cuadrados, por tanto podemos expresarlo como (x-y)(x+y).

Tomando ahora el segundo binomio, tenemos que se trata de un binomio al cubo, por tanto podemos expresarlo como ( x - y )[ x2 +xy + y2].

De esta forma: x2 - y2 + x3 - y3=(x-y) (x + y ) + (x-y)[ x2 +xy + y2]

Podemos ver que (x-y) es el factor común del polinomio, por lo que finalmente podemos expresarlo de la siguiente forma:
(x -y)*[(x+y)+(x2+xy+y2)].

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