Álgebra

Término algebraico: es el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un coeficiente o factor numérico. Por ejemplo:

,
,
,
, el cálculo del área de un triángulo la rapidez media

; En este término algebraico, tenemos que 3 es el factor numérico y
el coeficiente literal.

; En este término algebraico, tenemos que -1 es el factor numérico y
el coeficiente literal.

Expresión algebraica: es el resultado de combinar uno o más términos algebraicos mediante las operaciones de adición y/o sustracción. Por ejemplo:

;
;
;

Se denomina grado de un término algebraico, a la suma de los exponentes de su factor literal, por ejemplo:

tiene grado 1 + 2 = 3;
tiene grado
.

Cuando una expresión algebraica tiene un sólo termino algebraico, recibe el nombre de Monomio. Si la expresión algebraica tiene dos términos algebraicos recibe el nombre de Binomio. Si tiene tres términos algebraicos, recibe el nombre de Trinomio. Y en caso contrario si tiene más de tres términos algebraicos, se denomina Multinomio.

Además, las expresiones algebraicas con exponentes positivos se llaman polinomios.

Por ejemplo: (i)
es un monomio (polinomio), pues tiene un solo término algebraico (con exponentes positivos).

(ii)
es un binomio ( y es un polinomio).

(iii)
es un trinomio ( y es un polinomio).

es un monomio (que no es un polinomio).

es un binomio ( que no es polinomio)

Valorización de expresiones algebraicas

Valorar una expresión algebraica es reemplazar cada variable por un valor numérico que le corresponde y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.

Por ejemplo valoremos las siguientes expresiones algebraicas:

(i) El área de un triángulo se determina como el semiproducto entre la base y la altura, esto es: en donde : base y : altura. Entonces si y tenemos que:

(ii)
si
e

Primero reemplazamos las variables, esto es:

Luego realizamos todas las operaciones con su orden respectivo

(iii)
si
,
y

En forma análoga al ejercicio anterior, reemplazamos las variables en primer lugar:

Luego realizamos las operaciones correspondientes

(iv) si

Entonces reemplazando en la expresión algebraica tenemos:

Reducción de términos semejantes

Los términos semejantes son los términos algebraicos que tienen el mismo factor literal, es decir, deben tener las mismas letras con los mismos exponentes. Por ejemplo:
es término semejante con
. El término
es término semejante con
.

La reducción de términos semejantes consiste en sumar o restar éstos términos que se encuentran en alguna expresión algebraica.

Algunos ejemplos de la reducción de expresiones algebraicas son los siguientes:

(i) De acuerdo a la siguiente la figura determina el perímetro

Entonces el perímetro de la figura, es la suma de las medidas de todos sus lados, esto es: en este caso hay tres términos algebraicos cuyo factor literal es por lo cual se pueden sumar. También hay tres términos algebraicos que tienen factor literal por lo cual se pueden sumar. Por lo tanto

(ii)

En este ejemplo hay dos términos cuyo factor literal es
, estos términos son semejantes, por lo cual se pueden sumar. También hay tres términos que tienen factor literal
, por tanto, son términos semejantes y se pueden sumar. En la expresión algebraica tenemos números solos (sin factor literal), por tal se suman. Haciendo estas operaciones la expresión en (ii) nos queda:

(iii)

En este ejemplo hay tres términos que tienen factor literal
, por lo cual son términos semejantes y se pueden sumar. También ocurre lo mismo con los términos que tienen factor literal
y
, los cuales son términos semejantes y se pueden sumar. Reduciendo términos semejantes, nos queda:

Uso de paréntesis

En álgebra, al igual que en aritmética, los paréntesis nos sirven para indicar que las operaciones que ellos encierran tienen prioridad ante las demás, o bien para indicar lo que está dentro de ellos debe ser considerado como un todo.

Para suprimir los paréntesis en una expresión algebraica se siguen las siguientes reglas:

(i) Si un paréntesis es precedido por un signo positivo, entonces se puede suprimir sin cambiar los signos de los términos que están dentro de ellos.

(ii) En caso contrario, esto es si un paréntesis es precedido por signo negativo, entonces al suprimir el paréntesis los términos que están dentro de él cambian de signo.

En el caso que a un paréntesis no le preceda ningún signo, entonces se entiende que el paréntesis tiene un signo positivo.

Por ejemplo, en la siguiente expresión, suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes.

Para resolver este ejercicio se puede hacer de dos formas, una es eliminar inmediatamente los paréntesis y luego reducir los términos semejantes. La segunda forma es reducir los términos semejantes dentro del paréntesis y luego eliminar los paréntesis, y nuevamente reducir términos semejantes. Aplicaremos la segunda forma:

En algunas expresiones algebraicas hay más de un paréntesis, en estos casos para eliminar los paréntesis, se suprime primero los paréntesis que están al interior de otro y así sucesivamente. Aunque también se puede hacer de la forma contraria, es decir, eliminar primero los paréntesis desde el exterior hasta llegar a los interiores, es poco común proceder así ya que resulta más complicado.

Por ejemplo, en la siguiente expresión, suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes

(i)

Para este ejemplo, en primer lugar, suprimimos los paréntesis interiores hasta llegar a los exteriores y luego reducimos los términos semejantes. Entonces:

Para verificar lo dicho respecto de las mayores dificultades para eliminar los paréntesis desde afuera hacia adentro, el lector puede hacerlo en este caso.

(ii)

Al igual que el ejemplo anterior, empezamos suprimiendo los paréntesis que están más al interior hasta llegar al más exterior y luego reducimos los términos semejantes, esto es:

Ejercicios propuestos:

Suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes:

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

(ix)

(x)

(xi)

(xii)

2.2 Multiplicación de expresiones algebraicas

Para multiplicar expresiones algebraicas veremos, en primer lugar, la más simple de ella: a saber, la multiplicación de monomio por monomio. Esta se realiza multiplicando los coeficientes numéricos y multiplicando la parte literal, aplicando las propiedades de las potencias. Por ejemplo, multipliquemos los monomios:

(i)

(ii)

(iii)

Para multiplicar un monomio por un binomio, utilizamos la propiedad de la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición, esto es:

Algunos ejemplos de multiplicación de monomio por binomio son los siguientes:

(i) En el rectángulo de la figura, determinar su área.

Sabemos que el área de un rectángulo es el producto de su largo por su ancho, entonces tenemos:

Ärea rectángulo es

(ii)

(iii)

En general, esta propiedad (distributividad de la multiplicación con respecto a la adición) la utilizamos para multiplicar un monomio con cualquier multinomio. Por ejemplo:

Para multiplicar un binomio por un binomio, también utilizamos la propiedad de la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición. Esto es:

Por ejemplo:

Luego, reduciendo términos semejantes, nos queda:

Para multiplicar un binomio por un multinomio, o en general cualquier multinomio por un multinomio, aplicamos la propiedad mencionada anteriormente. Por ejemplo:

Reduciendo términos semejantes, obtenemos:

Ejercicios propuestos.

Multiplicar las siguientes expresiones algebraicas y reducir términos semejantes si es posible.

(i)

(ii)

(iii)

(iv) Determina las áreas de las figuras siguientes:

a)

b)

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

(ix)

(x)

(xi)

(xii)