Exponencial sobre la ecuación de la recta

Construcción. Ecuaciones tipo exponencial. Número de Euler. Linealización. Papel semilogarítmico

  • Enviado por: Capyz
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EXPONENCIAL SOBRE LA ECUACION DE LA RECTA

EXPONENCIAL SOBRE LA ECUACION DE LA RECTA

Cuando se grafican datos de dos variables medidas experimentalmente, es frecuente que no se presente una dependencia lineal entre ellas. Usualmente se presentan curvas en las que no es fácil decidir el tipo de dependencia que existe entre las variables. En este informe, se van a dar las pautas para decidir si la curva de datos experimentales sigue una tendencia exponencial, es decir donde la relación entre dos variables experimentales medidas se ajusta a una función del tipo 'Exponencial sobre la ecuación de la recta'
, donde A, C y ð son constantes reales. Para ello, se hará uso del papel semilogarítmico y de las técnicas de linealización con base en las propiedades de los logaritmos. En caso de que la tendencia de los datos sea de tipo exponencial, el paso a seguir es determinar los valores de A y ð , esto solo es posible mientras que C, la base de la potencia, sea conocida.

Fundamentos teóricos

Fig 1. Datos experimentales que aparentan tener tendencia exponencial. 

Una función exponencial a primera vista puede reconocerse cuando hay un rápido crecimiento de una variable a medida que aumenta la otra (exponencial creciente), o porque una variable tiende asintóticamente hacia un cierto valor constante a medida que se incrementa indefinidamente la otra (exponencial decreciente), como se aprecia en la fig. 1. Sin embargo, esto no es criterio certero, pues dependiendo de los valores de A, C y ð , suele ocurrir que el crecimiento o la tendencia asintótica de la función no sea tan evidente. Para decidir este tipo de comportamiento exponencial de manera rápida suele usarse el papel semilogarítmico (fig.2).

'Exponencial sobre la ecuación de la recta'

Fig2. En el papel semilogarítmico mostrado pueden graficarse datos que crecen aceleradamente hasta 100.000 (105) veces su valor inicial.

Este tipo de papel posee la característica de tener escala milimetrada, o normal, en su eje horizontal y escala exponencial en su eje vertical. De esta forma, la unidad principal en su eje vertical está dada por potencias de diez. En la fig.2 puede observarse cómo graficar valores que se extienden verticalmente desde el rango 0.01 hasta 1000 unidades.

 Cuando se grafican datos en un papel semilogarítmico, y su tendencia en este tipo de papel es lineal, puede asegurarse que las variables graficadas obedecen a una relación exponencial, como se observa en la fig.3. El hecho de que al graficarse una función exponencial en papel semilogarítmico se obtenga una línea recta, se debe a un simple cambio de escala en el eje vertical que produce la impresión visual de una tendencia rectilínea.

'Exponencial sobre la ecuación de la recta'

Fig3. Comparación entre datos graficados en a) Papel milimetrado y b) Papel semilogarítmico.

Una vez que se obtiene esta tendencia lineal en papel semilogarítmico, el paso a seguir es hallar la ecuación que rige la tendencia de los datos. Para ello debe linealizarse la función expresada en la fig.3a.

 El número de Euler.

 Se sabe que por ser exponencial, la ecuación que rige esta tendencia está dada por :

'Exponencial sobre la ecuación de la recta'

(1)

Donde, como se mencionó anteriormente, debe conocerse C de antemano. Una gran variedad de fenómenos físicos curiosamente obedece a la base 'Exponencial sobre la ecuación de la recta'
=2.71828.., el cual es conocido como número de Euler. Este número irracional es la base de los logaritmos neperianos o naturales.

 Para familiarizarse un poco con este número, se enuncian a continuación algunas de sus propiedades, y se aclara la notación usada. Por ejemplo 'Exponencial sobre la ecuación de la recta'
significa 2.71828.. elevado a la 'Exponencial sobre la ecuación de la recta'
. Algunos libros usan la notación exp(x) para decir lo mismo. Así, 'Exponencial sobre la ecuación de la recta'
representa 2.71828... elevado al cubo, que expresado en forma de ecuación es :

'Exponencial sobre la ecuación de la recta'
(2.71828...)3=20.0855

(2)

El logaritmo natural toma como base el número de Euler, esto se puede expresar como loge=ln. Al definirse el logaritmo como el número al cual debe elevarse la base para obtener la potencia, la ec.2 puede expresarse también así :

loge 20.0855 = ln 20.0855 = 3

(3)

Puede observarse que 'Exponencial sobre la ecuación de la recta'
y ln x son funciones inversas, porque se cumple :

loge e = ln e = 1

(4)

Expuestas las propiedades del número de Euler, y debido a su frecuencia de aparición en sinnúmero de fenómenos físicos, en lo subsiguiente se usará este número como base. 

Linealización de gráficas de funciones exponenciales. 

Adoptando como base el número de euler, la ec.1 queda expresada como :

'Exponencial sobre la ecuación de la recta'

(5)

La linealización es una técnica matemática para hallar la ecuación que rige dos variables dependientes, mediante la transformación de la gráfica de la función en una línea recta, con el objeto de interpretar el significado físico de la pendiente y el intercepto obtenidos. Esto significa que en la ec.5 deben hallarse los valores de A y ð , e interpretarlos físicamente. Para hallar A y ð , se procede a aplicar logaritmos a la ec.5, así :

'Exponencial sobre la ecuación de la recta'

(6)

Si hacemos una sustitución en la que cambiemos lny por una nueva variable 'Exponencial sobre la ecuación de la recta'
, la ec.6 se transforma en :

'Exponencial sobre la ecuación de la recta'

(7)

La cual, por comparación con la ecuación general de la recta :

'Exponencial sobre la ecuación de la recta'

(8)

arroja como resultado las siguientes identidades :

'Exponencial sobre la ecuación de la recta'

(9a)

(9b)

 Interpretación de resultados.

 El tratamiento teórico anterior es el soporte matemático para encontrar los valores de A y ð que estamos buscando, para lograr construir la ecuación exponencial que rige la tendencia de los datos. Esto se logra mediante el siguiente procedimiento : 

  • Se construye una tabla de Y vs X, y se grafica en papel milimetrado, si se intuye una tendencia exponencial se procede a graficar los datos en papel semilogarítmico, y si se obtiene una tendencia rectilínea, se inicia el tratamiento de linealización.

  • Se construye ahora una tabla de lny vs X, y se grafica en papel milimetrado, lo cual debe dar como resultado una recta. Con los datos de la tabla lny vs X se calcula la pendiente de esta recta, su intercepto, su coeficiente de correlación y su desviación standard de la media.

  • Se encuentra la ecuación de la función exponencial. La pendiente calculada corresponde directamente al valor de ð buscado. El intercepto b corresponde al valor ln A. Es decir :

  • intercepto = 'Exponencial sobre la ecuación de la recta'

    (10)

    Luego, para hallar A se tiene la ecuación equivalente :

    'Exponencial sobre la ecuación de la recta'

    (11)

    De esta manera, la ecuación de la función exponencial es :

    'Exponencial sobre la ecuación de la recta'

    (12)

    4. Se calcula el coeficiente de correlación, para analizar la correspondencia entre los datos experimentales con la ecuación exponencial encontrada, y luego se calcula la desviación standard de la media, para tener una medida de su dispersión.

    5. Finalmente se busca la interpretación física de la ecuación, esto es, la correspondencia entre la pendiente y el intercepto calculados, con variables físicas medidas.