Estudio de una función

Análisis. Cálculo. Funciones. Dominio. Paridad simetría. Asíntotas. Puntos corte ejes. Máximos mínimos relativos. Crecimiento. Inflexión. Concavidad

  • Enviado por: Srta. Rotenmeller
  • Idioma: castellano
  • País: España España
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ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN

Consideremos una función Estudio de una función
. Vamos a ver los pasos necesarios para representarla. Aunque alguno de los pasos parezca que no es necesario, es conveniente no saltarse ninguno, pues así confirmamos que no hemos cometido ningún fallo.

Cada uno de los pasos que vamos a dar nos va a ir dando una idea más clara de cómo es nuestra función, hasta que al terminar los 9 pasos sabremos perfectamente cómo es nuestra función.

  • Dominio:

  • Son los valores de x que dan un valor real para y. Veamos distintos casos que se nos pueden presentar:

    Estudio de una función
    siendo Estudio de una función
    un polinomio

    Estudio de una función

    Estudio de una función
    siendo Estudio de una función
    un polinomio

    Estudio de una función

    Estudio de una función
    siendo Estudio de una función
    y Estudio de una función
    polinomios

    Estudio de una función

    Estudio de una función
    siendo Estudio de una función
    un polinomio

    Estudio de una función

  • Paridad o Simetrias:

    • Decimos que una función es par cuando es simétrica respecto al eje vertical, es decir, cuando Estudio de una función
      .

    • Decimos que una función es impar cuando es simétrica respecto del origen de coordenadas, es decir, cuando Estudio de una función
      .

    Las funciones que no son pares ni impares no tienen simetrías con respecto a los ejes

  • Asíntotas:

  • Son las rectas tangentes a la gráfica en el infinito. Pueden ser de tres tipos:

    • Asíntotas Verticales

    Son paralelas al eje OY. Es decir se trata de ver para que valor finito de la variable x la y se va al infinito. Las que nosotros conocemos son de dos tipos:

    Estudio de una función
    siendo Estudio de una función
    y Estudio de una función
    polinomios

    Si Estudio de una función
    se anula en Estudio de una función
    son las asíntotas verticales

    Estudio de una función
    siendo Estudio de una función
    un polinomio

    Las Estudio de una función
    que anulan al polinomio Estudio de una función
    hacen que y se valla a Estudio de una función
    , luego son asíntotas verticales.

    En las fracciones es necesario además distinguir entre el comportamiento por la derecha y por la izquierda de la asíntota. Para ello calculamos

    Estudio de una función

    Estudio de una función

    • Asíntotas horizontales

    Son paralelas al eje OX. Se trata de ver si la Y se queda fija para un valor de x. Para buscarlas se calcula:

    Estudio de una función
    ; Estudio de una función

    Si estos límites son números reales (llamémoslo l), entonces y=l sería la asíntota horizontal.

    • Asíntotas Oblicuas

    Son de la forma Estudio de una función
    donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen, por lo que para calcularlas haremos lo siguiente:

    Estudio de una función
    Estudio de una función
    donde tanto m como n han de ser números reales y además m no nula, ya que si fuera nula la recta sería horizontal, por lo que las habríamos estudiado en el apartado anterior.

  • Puntos de corte con los ejes:

  • Son los puntos en los que la gráfica de la función corta al eje OX o al eje OY.

    OY cuando x=0

    Estudio de una función
    corta al eje

    OX cuando y=0

  • Signo de la función:

  • Se trata de encontrar las zonas en las que la función tiene signo positivo o negativo. Para determinar estas zonas o intervalos debemos de tener en cuenta, dentro del dominio de la función, los puntos en que la curva atraviesa al eje OX y las asíntotas verticales, pues solamente en uno de estos lugares la función puede cambiar de signo.

    Para ver el signo en cada uno de estos intervalos basta con sustituir en la función el valor de x por el de algún punto del intervalo a estudiar.

  • Máximos y Mínimos relativos de la función:

  • Los máximos son los puntos en que la función pasa de crecer a decrecer.

    Los mínimos son los puntos en que la función pasa de decrecer a crecer.

    Estudio de una función

    Mirando a la gráfica observamos que en ambos casos hay una cosa común: la pendiente de la recta tangente es 0.

    Por esto, para calcular los máximos y mínimos de una función derivamos la función e igualamos la función derivada a cero. Para concretar si es máximo o mínimo derivamos otra vez y sustituimos en los puntos obtenidos antes. Si el valor es positivo es mínimo; si es negativo es máximo.

    Resolvemos Estudio de una función
    y obtenemos varios puntos Estudio de una función
    . Estos son los posibles máximos o mínimos.

    Derivamos otra vez y sustituimos:

    siEstudio de una función
    es mínimo

    siEstudio de una función
    es máximo

    En el caso de que Estudio de una función
    puede ser máximo, mínimo o punto de inflexión. Para ver qué es seguimos derivando hasta que encontremos una derivada (n-ésima) en la que Estudio de una función
    .

    • Si n es par, entonces:

    siEstudio de una función
    es mínimo

    siEstudio de una función
    es máximo

    • Si n es impar, entonces es punto de inflexión.

  • Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

  • Los puntos en los que una función puede pasar de crecer a decrecer o viceversa son los máximos, mínimos y las asíntotas verticales.

    Por esto, para estudiar el crecimiento consideramos el dominio dividido en intervalos por estos puntos. Ahora solo nos falta ver que hace en un punto de cada uno de estos intervalos, pues lo que haga en un punto lo hará en todo ese intervalo.

    Como sabemos que la derivada de una función en un punto lo que nos da es la pendiente de la recta tangente a nuestra curva en ese punto, tenemos que:

    siEstudio de una función
    la función es creciente en dicho punto

    siEstudio de una función
    la función es decreciente en dicho punto

  • Puntos de inflexión:

  • Son puntos en los que la función pasa de ser cóncava a ser convexa o viceversa.

    Una condición necesaria para que un punto sea punto de inflexión es que la segunda derivada se anule en él. Por este motivo, para encontrarlos lo que haremos será calcular la segunda derivada de la función e igualarla a cero. Si las soluciones de la ecuación Estudio de una función
    están en el dominio de nuestra función, dicha solución es punto de inflexión. Es decir, si n Estudio de una función
    es el punto de inflexión.

  • Intervalos de concavidad y convexidad:

  • Decimos que una función es convexa si la recta que une dos puntos cualesquiera de la curva está por encima de la curva.

    Decimos que una función es cóncava si la recta que une dos puntos cualesquiera de la curva está por debajo de la curva.

    Dentro de una función puede haber intervalos cóncavos y convexos.

    Una curva puede cambiar la concavidad dentro de su dominio siempre que halla un punto de inflexión o una asíntota vertical, por lo que para determinar los intervalos de concavidad y de convexidad de una función consideramos su dominio dividido en intervalos por los puntos anteriores y estudiamos su comportamientos en un punto de cada uno de estos intervalos, pues lo que haga en este punto lo hará en todo el intervalo.

    Para estudiar la concavidad o convexidad en un punto calculamos la segunda derivada:

    siEstudio de una función
    la función es cóncava en ese punto

    siEstudio de una función
    la función es convexa en es punto.

    Estudio de una función

    Estudio de una función

    Estudio de una función

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