“AÑO DE LA CONSOLIDACION DEMOCRATICA”

CALIFICACIÓN DE OCEANOGRAFIA 2006

ESTADÍSTICA

Trabajo Nro 1

JUNIO-2006

ESTADÍSTICA

TRABAJO NÚMERO UNO

Una muestra de 500 probetas de concreto fue sometida a compresión. Los resultados obtenidos en Kg./cm. se muestra en la tabla:

clase	f
750 -1050	95
1050 -1350	125
1350 -1650	170
1650 -1950	90
1950 -2250	20

Hallar:

La carga media de la rotura.

El valor medio.

La varianza y desviación típica.

Solución: C = 300; A = 1,500

	CLASE	f	F	X	d =X-A	f. d	d	f.d
1ra	750-1050	95	95	900	-600	-57000	360000	34200000
2da	1050-1350	125	220	1200	-300	-37500	90000	11250000
3ra	1350-1650	170	390	1500	0	0	0	0
4ta	1650-1950	90	480	1800	300	27000	90000	8100000
5ta	1950-2250	20	500	2100	600	12000	360000	7200000
N =		500		f.d =		-55500	f.d =	60750000

X = A + f.d X = 1500 + (-5,5500) X = 1500 - 111

N 500

X = 1,389 Kg./cm.

Me = Li + N/2 - F1 C La clase de la mediana es N/2 = 500/2 = 250, cae

fmed. en la tercera clase.

Me = 1,350 + 250-220 300 Me = 1,350 + 52.94

170

Me = 1,402.94 Kg./cm.

Va = S Va = f.d - f.d Va = 60750000 - -55500

N N 500 500

Va = 121,500 - 12,321 Va = 109,179 Kg./cm.

Y la desviación típica es S = 109179 S = 330.42 Kg./cm.

Se clasifican los sueldos en miles de soles de dos empresas, obteniéndose los siguientes resultados:

SUELDOS		NUMERO DE EMPLEADOS
150 -160		10
160 -170		30
170 - 180		20
SUELDOS	NUMERO DE EMPLEADOS
155 -165	30
165 -175	50
175 - 185	20

Calcular la desviación típica de los sueldos de los empleados de las empresas juntas.

Solución:

Cuadro Nro. 1: C = 10; A = 30

	CLASE	f	F	X	d =X-A	f.d	d	f.d
1ra	150 -160	10	10	155	-20	-200	400	4000
2da	160 -170	30	40	165	0	0	0	0
3ra	170 - 180	20	60	175	-10	-200	100	2000
	N =	60			f.d =	-400	f.d =	6000

S1 = f.d - f.d S = 6000 - -400 S = 100 - 44.44

N N 60 60

S1 = 55.56 S = 7.4538

Cuadro Nro. 1: C = 10; A = 50

	CLASE	f	F	X	d =X-A	f.d	d	f.d
1ra	155 -165	30	30	160	-20	-600	400	12000
2da	165 -175	50	80	170	0	0	0	0
3ra	175 - 185	20	100	180	-30	-600	900	18000
	N =	100			f.d =	-1200	f.d =	30000

S2 = f.d - f.d S = 30000 - -1200 S = 300 - 144

N N 100 100

S2 = 156 S = 12.4899

Entonces la desviación típica de los empleados de las empresas juntas sería:

St = S1 + S2 = 7.4538 + 12.4899 St = 9.971

2 2

Dado el siguiente cuadro de distribución:

NÚMERO DE ACCIONES POSEIDAS	NUMERO DE ACCIONISTAS	FA
1 - 99	80	80
100 - 199	120	200
200 - 299	300	500
300 - 399	550	1050
400 - 499	800	1850
500 - 599	400	2250
600 - 699	120	2370
700 - 799	60	2430
800 - 899	20	2450
	f = 2450

Hallar:

El sexto decil.

El percentil 17.

Solución:

M = R/C R = (899 -1) +1 C = ? 9 = 899/C C = 899/9

C = 99.89 = 100

Con las marcas de clase empezamos hacer nuestro cuadro;

	CLASE	f	F	X
1ra	1 - 99	80	80	50
2da	100 - 199	120	200	149.5
3ra	200 - 299	300	500	249.5
4ta	300 - 399	550	1050	349.5
5ta	400 - 499	800	1850	449.5
6ta	500 - 599	400	2250	549.5
7ma	600 - 699	120	2370	649.5
8va	700 - 799	60	2430	749.5
9na	800 - 899	20	2450	849.5
	N =	2450

D6 = Li + (N/10).6 - F1 C La clase del sexto Decil es (N/10).6 =

fmed. (2450/10).6 = 1470, cae en la quinta clase.

D6 = 399.5 + 1470-1050 100 D6 = 399.5 + 52.5 D6 = 452

800

P17 = Li + (N/100).17 - F1 C La clase del diecisieteavo Percentil es

fmed. (N/100).17= (2450/100).17 = 416, cae en la tercera clase.

P17 = 199.5 + 416.5 -200 100 P17 = 199.5 + 72.17 P17 = 271.67

300

La distribución de frecuencia consta de 5 intervalos de clases de igual longitud y de ellas se conocen los siguientes datos:

N = 110 ; n4 - n3 - n1= 0 ; n1 = n5 ; n2 = n4 ; n4 - n5 = 10

Y0=12.5 ; Y4.N4 = 975

N = Frecuencia total

ni = Frecuencia

Calcular el valor mediano o mediana de la distribución.

Solución:

De los datos podemos hallar:

n4 - n5 = 10 n5 = n4 - 10 reemplazando: n1 = n2 - 10

n4 - n3 - n1= 0 reemplazando: n2 - n3 - (n2 - 10) = 0 n3 = 10

n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = N n1 + n2 + 10 + n2 + n1 = 110 reemplazando:

2n1 + 2n2 = 110 - 10 n1 + n2 = 50 reemplazando: n2 - 10 + n2 = 50

2n2 = 60 n2 = 30 ; n1 = 20

Y4.N4 = 975 Y4.30 = 975 Y4 = 32.5

Llenamos el cuadro: C = 10

	CLASE	f	F	X
1ra	12.5 - 22.5	20	20	17.5
2da	22.5 - 32.5	30	50	27.5
3ra	32.5 - 42.5	10	60	37.5
4ta	42.5 - 52.5	30	90	47.5
5ta	52.5 - 62.5	20	110	57.5
	N =	110

Me = Li + N/2 - F1 C La clase de la mediana es N/2 = 110/2 = 55, cae

fmed. en la tercera clase.

Me = 32.5 + (55 - 50) 10 Me = 32.5 + 5 Me = 37.5

10

La siguiente distribución corresponde al salario de obreros de una empresa:

Intervalos	Frecuencia	X
4000 - 4200	80	4100
4200 - 4400	120	4300
4400 - 4600	125	4500
4600 - 4800	99	4700
4800 - 5000	88	4900
5000 - 5200	78	5100
5200 - 5400	10	5300
	600

El sindicato de la empresa propone la siguiente alternativa, el 10% más al salario que viene percibiendo; la agencia propone, 5% menos del salario anterior más 900 soles. Se pide:

Calcular la mediana de ambas propuestas.

Indicar cual de las dos propuestas benefician al obrero.

Solución: C = 200; A = 4500

	CLASE	f	F	X	d = X - A	U = d/c	f.u
1ra	4000 - 4200	80	80	4100	-400	-2	-160
2da	4200 - 4400	120	200	4300	-200	-1	-120
3ra	4400 - 4600	125	325	4500	0	0	0
4ta	4600 - 4800	99	424	4700	200	1	99
5ta	4800 - 5000	88	512	4900	400	2	176
6ta	5000 - 5200	78	590	5100	600	3	234
7ma	5200 - 5400	10	600	5300	800	4	40
	N =	600				f.u =	269

Me = Li + N/2 - F1 C La clase de la mediana es N/2 = 600/2 = 250, cae

fmed. en la tercera clase.

Me = 4400 + 300-220 200 Me = 1350 + 160 Me = 4,560 soles

150

Propuesta del sindicato, aumento del 10%:

Me = 4560 x 110 Me = 5016 soles

100

Propuesta de la agencia, 5% menos del salario anterior más 900 soles:

Me = 5016 x 95 + 900 Me = 5,665.2 soles

100

Cual de las dos propuestas benefician al obrero:

Para saber cual de las dos propuestas benefician al obrero, se calcula el salario medio de las 2:

X = A + (f.U) C X = 4500 + (269) 200 X = 4500 + 82.67

N 600

X = 4,589.67 soles

Propuesta del sindicato:

X = 4589.67 x 110 X = 5,048.64 soles

100

Propuesta de la agencia:

X = 5048 x 95 + 900 X = 5,696 soles; la propuesta de la gerencia es

100 más beneficiosa.

Se ha construido una planta de tratamiento de agua para uso doméstico con una capacidad de 4'500,00 m por día, casi siempre es necesario superar el riego de jardines públicos, cuando la demanda excede al abastecimiento, lo cual hace pensar que hay fuga en la tuberías o perdidas. La demanda media en días laborables en miles de m en los meses de junio y agosto de 1979 nos permitió construir la siguiente tabla:

Demanda miles de m	Frecuencia
1800 - 2340	12
2340 - 2880	7
2880 - 3420	10
3420 - 3960	26
3960 - 4500	16
4500 - 5040	15
	86

Hallar:

La media.

El media de la demanda diaria.

Que porcentaje de la demanda excede a la capacidad de la planta.

Solución: C = 540 ; A = 3690

	CLASE	f	F	X	d = X-A	U = d/c	fu	hi
1ra	1800 - 2340	12	12	2070	-1620	-3	-36	0.14
2da	2340 - 2880	7	19	2610	-1080	-2	-14	0.08
3ra	2880 - 3420	10	29	3150	-540	-1	-10	0.12
4ta	3420 - 3960	26	55	3690	0	0	0	0.30
5ta	3960 - 4500	16	71	4230	540	1	16	0.19
6ta	4500 - 5040	15	86	4770	1080	2	30	0.17
	N =	86				f.u =	-14

a) X = A + (f.U) C X = 3690 + (-14) 540 X = 3690 - 87.91

N 86

X = 3,602.09 m

b) Me = Li + N/2 - F1 C La clase de la mediana es N/2 = 86/2 = 43, cae

fmed. en la cuarta clase.

Me = 3420 + 43 - 29 540 Me = 3420 + 290.77 Me = 3710.77 m

26

c) El porcentaje de la demanda que excede a la capacidad de la planta es el 17%

Una empresa desea hacer un reajuste entre sus empleados, la clasificación se lleva a cabo mediante la aplicación de un test, que arroja las siguientes puntuaciones:

PUNTUACION	NÚMERO DE EMPLEADOS
0 - 30	94
30 - 50	140
50 - 70	160
70 - 90	98
90 - 100	8

La planificación óptima de una empresa exige que el 65% sean administradores, el 20% jefes de sección, el 10% jefe de departamento y el 5% inspectores. Según la puntuación obtenida se pide:

Calcular la puntuación máxima para ser administrador, jefes de sección y jefe de departamento.

Solución: C = 20

	CLASE	f	F	X	hi	Hi
1ra	0 - 30	94	94	15	0.19	0.19
2da	30 - 50	140	234	40	0.28	0.47
3ra	50 - 70	160	394	60	0.32	0.79
4ta	70 - 90	98	492	80	0.20	0.98
5ta	90 - 100	8	500	95	0.02	1
	N =	500			1

a) Administrador:

65% = P65 = Li + (N/100).65 - F1 C La clase del P65 es (N/100)65 =

fmed. (500/100).65 = 325, cae en la tercera clase.

P65 = 50 + 325 - 234 20 P65 = 50 + 11.38 P65 = 61.38 puntuación

160

b) Jefe de sección: 65% + 20% = 85%

85% = P85 = Li + (N/100).85 - F1 C La clase del P85 es (N/100)85 =

fmed. (500/100).85 = 425, cae en la cuarta clase.

P85 = 70 + 425 - 394 20 P85 = 70 + 6.33 P85 = 76.33 puntuación

160

c) Jefe de departamento: 65% + 20% + 10% = 95%

95% = P95 = Li + (N/100).95 - F1 C La clase del P95 es (N/100)95 =

fmed. (500/100).85 = 475, cae en la cuarta clase.

P85 = 70 + 475 - 394 20 P95 = 70 + 16.53 P95 = 86.53 puntuación

160

Dado el siguiente cuadro:

CLASE	f
0 - 99	80
100 - 199	120
200 - 299	300
300 - 399	550
400 - 499	800
500 - 599	400
600 - 699	120
700 - 799	70
800 - 899	50
900 - 999	10

Hallar:

La media.

La mediana.

La moda.

Solución: C = 100; A = 499.5

	CLASE	f	F	X	d = X-A	U = d/c	fu
1ra	0 - 99	80	80	49.5	-450	-4.5	-360
2da	100 - 199	120	200	149.5	-350	-3.5	-420
3ra	200 - 299	300	500	249.5	-250	-2.5	-750
4ta	300 - 399	550	1050	349.5	-150	-1.5	-825
5ta	400 - 499	800	1850	449.5	-50	-0.5	-400
6ta	500 - 599	400	2250	549.5	50	0.5	200
7ma	600 - 699	120	2370	649.5	150	1.5	180
8va	700 - 799	70	2440	749.5	250	2.5	175
9na	800 - 899	50	2490	849.5	350	3.5	175
10ma	900 - 999	10	2500	949.5	450	4.5	45
	N =	2500				f.u =	-1980

a) X = A + (f.U) C X = 499.5 + (-1980) 100 X = 499.5 - 79.2

N 2500

X = 420.3

b) Me = Li + N/2 - F1 C La clase de la mediana es N/2 = 2500/2 = 1250,

fmed. cae en la quinta clase.

Me = 399.5 + 1250 - 1050 100 Me = 399.5 + 25 Me = 424.5

800

c) Mo = Li + 1 C La clase modal es donde está la mayor

1 + 2 concentración de “f”; esta en la quinta clase.

Mo = 399.5 + 250 100 Mo = 399.5 + 38.46 Me = 437.96 250 + 400

En una población se encontró que los ingresos mensuales de 100 personas en miles de soles, esta dado por:

Hallar:

x	f
3.5	4
7.5	11
11.5	40
15.5	32
19.5	13

La clase de ingresos mensuales.

Graficar la ojiva “menor que” con los porcentajes.

Determinar los porcentajes de personas que perciben de 8 a 16 mil soles.

Solución: C = 4

	CLASE	f	F	X	hi	Hi	“Menor que”
1ra	2 - 5	4	4	3.5	0.04	0.04	1.5	0
2da	6 - 9	11	15	7.5	0.11	0.15	5.5	4
3ra	10 - 13	40	55	11.5	0.40	0.55	9.5	15
4ta	14 - 17	32	87	15.5	0.32	0.87	13.5	55
5ta	18 - 21	13	100	19.5	0.13	1	17.5	87
	N =	100			1		21.5	100

a) Las clases son: 2 - 5, 6 - 9, 10 - 13, 14 - 17, 18 - 21

b)

c)

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

11 40 32

(9 - 8)11 + 40 + (16 - 14)32 = 11 + 40 + 64 = 75 + 40 = 65

3 3 3 3

Los porcentajes de personas que perciben de 8 a 16 mil soles son 65%

Supongamos que una organización de cadena de restaurantes tiene 7 de ellos situados a cierta carretera como indica el cuadro. Diariamente cada restaurante debe buscar alimentos frescos en un almacén central situado en algún punto a lo largo de la carretera. Además supongamos que el servicio requiere de los camiones cada día; entonces para eliminar la distancia total de los 7 restaurantes al almacén central, ¿Dónde debe estar el almacén central?:

Restaurantes	Distancia en Km. del almacén central al restaurante.
A	12
B	40
C	76
D	96
E	124
F	132
G	148

Solución:

a) X = x = 628 = 89.71 Km. La central estaría en “D”

N 7

Dada la siguiente matriz:

60	56	62	58	61	58	63	61	57	58
64	60	56	54	61	55	54	59	58	59
53	63	58	58	60	55	60	54	61	58
61	58	60	56	50	61	58	59	57	55
58	63	53	55	58	59	56	60	58	57
64	58	57	59	57	58	51	54	60	58
59	53	58	62	50	58	58	58	57	58
64	56	57	53	55	56	60	58	56	57
60	63	51	59	62	57	54	55	51	56
57	61	56	62	54	59	56	64	55	59

Hallar el cuadro de distribución sabiendo que la segunda marca de clase es 154, la tercera marca de clase es 157, además sus frecuencias tienen la siguiente relación:

f1 + f3 = 46; f2 + f4 = 42; f3 + f4 = 65; f2 + f3 = 57

Hallar:

La media aritmética.

La mediana.

La moda.

Solución:

Número	Cantidad
50	2
51	3
53	4
54	6
55	7
56	10
57	10
58	21
59	9
60	9
61	7
62	4
63	4
64	4

C = 3; A = 57

	CLASE	f	F	X	d = X - A	U = d/c	f.U
1ra	50 - 52	5	5	51	-6	-2	-10
2da	53 - 55	17	22	54	-3	-1	-17
3ra	56 - 58	41	63	57	0	0	0
4ta	59 - 61	25	88	60	3	1	25
5ta	62 - 64	12	100	63	6	2	24
	N =	100				f.u =	22

a) X = A + (f.U) C X = 57 + (22) 3 X = 57 + 0.66

N 100

X = 57.66

b) Me = Li + N/2 - F1 C La clase de la mediana es N/2 = 100/2 = 50,

fmed. cae en la tercera clase.

Me = 55.5 + 50 - 22 3 Me = 55.5 + 2.05 Me = 57.55

41

c) Mo = Li + 1 C La clase modal es donde está la mayor

1 + 2 concentración de “f”; esta en la tercera clase.

Mo = 55.5 + 24 3 Mo = 55.5 + 1.8 Me = 57.3

24 + 16

Construya un cuadro de distribución con los puntajes que se obtuvieron de una prueba de aptitud de 150 solicitantes de puestos de trabajo en una compañía y hallar:

La media aritmética.

La mediana.

La moda.

La madia geométrica.

La desviación típica

Grafica el histograma y polígonos de frecuencias.

27	79	69	40	51	88	55	48	36	61
53	44	94	51	65	42	58	55	69	63
70	48	61	55	60	25	47	78	61	54
57	76	73	62	36	67	40	51	59	68
27	46	62	43	54	83	59	13	72	57
82	45	54	52	71	53	82	69	60	35
41	656	62	75	60	42	55	34	49	45
49	64	40	61	73	44	59	46	71	86
43	69	54	31	56	51	75	44	66	53
80	71	53	56	91	60	41	29	56	57
35	54	43	39	56	27	62	44	85	61
59	89	60	51	71	53	58	26	77	68
52	57	48	69	76	52	49	45	54	41
33	61	30	57	42	45	59	44	68	73
55	70	39	58	69	51	85	46	55	67

Solución:

Nro.	Canti.	Nro.	Canti.	Nro.	Canti.	Nro.	Canti.
13	1	44	5	61	6	78	1
25	1	45	4	62	5	79	1
26	1	46	3	63	1	80	1
27	3	47	1	64	1	82	2
29	1	48	3	65	2	83	1
30	1	49	3	66	1	85	2
31	1	51	6	67	2	86	1
33	1	52	2	68	3	88	1
34	1	53	5	69	6	89	1
35	2	54	6	70	2	91	1
36	2	55	6	71	4	94	1
39	2	56	4	72	1
40	3	57	5	73	3
41	3	58	3	75	2
42	3	59	5	76	2
43	3	60	5	77	1

C = 1 + 3.3 Log 150 C = 8.2 C = 8

R = 94 - 13 + 1 R = 82

El exceso = M x C - R exceso = 11 x 8 - 82 exceso = 6

A = 56.5

	CLASE	f	F	X	d = X - A	U = d/c	f.U	U	f.U	Log X
1ra	13 - 20	1	1	16.5	-40	-5	-5	25	25	1.22
2da	21 - 28	5	6	24.5	-32	-4	-20	16	80	1.39
3ra	29 - 36	9	15	32.5	-24	-3	-27	9	81	1.51
4ta	37 - 44	19	34	40.5	-16	-2	-38	4	76	1.61
5ta	45 - 52	22	56	48.5	-8	-1	-22	1	22	1.69
6ta	53 - 60	39	95	56.5	0	0	0	0	0	1.75
7ma	61 - 68	21	116	64.5	8	1	21	1	21	1.81
8va	69 - 76	20	136	72.5	16	2	40	4	80	1.86
9na	77 - 84	7	143	80.5	24	3	21	9	63	1.91
10ma	85 - 92	6	149	88.5	32	4	24	16	96	1.95
11ma	93 - 100	1	150	96.5	40	5	5	25	25	1.98
	N =	150				f.U =	-6	f.U =	544	16.69

a) X = A + (f.U) C X = 56.5 + (-6) 8 X = 56.5 - 0.32

N 150

X = 56.18

b) Me = Li + N/2 - F1 C La clase de la mediana es N/2 = 150/2 = 75,

fmed. cae en la sexta clase.

Me = 52.5 + 75 - 56 8 Me = 52.5 + 3.89 Me = 56.39

39

c) Mo = Li + 1 C La clase modal es donde está la mayor

1 + 2 concentración de “f”; esta en la sexta clase.

Mo = 52.5 + 17 8 Mo = 52.5 + 3.88 Me = 56.38

17 + 18

d) Mg = Antilog Log X Mg = Antilog 16.69 Mg = Antilog 0.1112167

N 150

Mg = 1.29

2

2

_

_

_

_

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

_

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_

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_

_

3

3

_

_

_

_

3

3

_

_

_

_

"Ojiva Menor que"

_

0

4

15

_

_

_

55

_

87

_

100

1.5

5.5

9.5

13.5

17.5

21.5

_

_

_

2

2

2

2