Estadística

Descriptiva. Inferencial. Probabilidad. Distribuciónes. Frecuencias. Variables. Medidas de dispersión y de tendencia central. Regresión y correlación

  • Enviado por: Ruezga
  • Idioma: castellano
  • País: México México
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TERCER SEMESTRE DE LICENCIATURA EN INFORMÁTICA.

CENTRO UNIVERSITARIO DE LOS ALTOS.

CAPITULO I.

DESCRIPCION DE UN CONJUNTO DE DATOS.

CONCEPTOS.

  • ESTADÍSTICA: Es una disciplina de las matemáticas cuyo objetivo es analizar la información obtenida a fin de poder obtener un resultado mediante el método de análisis para la toma de decisiones.

  • ESTADÍSTICAS: Son los resultados de los eventos que deberán ser sujetos a un análisis estadístico.

  • POBLACIÓN: Es un conjunto entero de datos. Las poblaciones pueden ser de tipo finito o infinito.

  • Ejemplo:

    Finito: Número de alumnos de un grupo.

    Infinito: Los números.

  • TOMA DE DATOS: Es un conjunto o una colección de datos que no han sido ordenados numéricamente.

  • Ejemplo:

    Un edificio tiene 15 apartamentos con el siguiente número de inquilinos:

    2,1,3,5,2,2,2,1,4,2,6,2,4,3,1

    DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS.

    Estas pueden utilizarse cuando el número de datos es mayor que 30. Para ellos se recomienda utilizar el siguiente procedimiento:

  • Se calcula el rango, el cual es igual al dato mayor menos el dato menor.

  • Rango = Dato mayor - Dato menor.

  • Se obtiene en forma aproximada el número de clases, el cual se divide el rango entre un valor arbitrario.

  • Número de clases = ___Rango_____

    X = valor arbitrario.

  • Se ordenan las clases y se calculan las frecuencias absolutas y frecuencias relativas.

  • MARCAS DE CLASE.

    Estas se obtienen sumando el limite real inferior mas el limite real superior y el resultado se divide entre 2.

    LIMITES REALES SUPERIORES E INFERIORES.

    Estos se obtienen sumando 0.5 a los limites superiores y restando 0.5 a los limites inferiores.

    LONGITUD TAMAÑO O ANCHURA DE CLASE (c).

    Este se obtiene restando el limite real superior menos el limite real inferior para cada clase.

    Ejemplo 1.

    Supongamos que las temperaturas en grados Fahrenheit medidas a las 6 de la tarde durante un periodo de 35 días son las siguientes:

    “DATOS AGRUPADOS.”

    72

    78

    86

    93

    106

    107

    98

    82

    81

    77

    87

    82

    91

    95

    92

    83

    76

    78

    73

    81

    86

    92

    93

    84

    107

    99

    94

    86

    81

    77

    73

    76

    80

    88

    91

    Hacer una distribución de frecuencias.

  • Rango= 107 - 72 = 35

  • Número de clases = Rango = 35 = 7 clases aproximadamente.

  • X=5 5

    “DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.”

    Clases

    Frecuencia

    Absoluta

    Frecuencia

    Relativa

    Marca de

    Clase

    Limite Real

    Inferior

    Limite Real

    Superior

    Frecuencia

    Acumulada

    Frecuencia

    Relativa

    Acumulada

    1

    72-76

    5

    14.28%

    74

    71.5

    76.5

    5

    14.28

    2

    77-81

    8

    22.85%

    79

    76.5

    81.5

    13

    37.13

    3

    82-86

    7

    20%

    84

    81.5

    86.5

    20

    57.13

    4

    87-91

    4

    11.42%

    89

    86.5

    91.5

    24

    68.55

    5

    92-96

    6

    17.14%

    94

    91.5

    96.5

    30

    85.69

    6

    97-101

    2

    5.71%

    99

    96.5

    101.5

    32

    91.4

    7

    102-106

    1

    2.85%

    104

    101.5

    106.5

    33

    94.25

    8

    107-111

    2

    5.71%

    109

    106.5

    111.5

    35

    99.96

    35 99.6%

    HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS.

    Es una representación gráfica mediante rectángulos cuyas bases corresponden a la longitud de la clase y las alturas a las frecuencias absolutas.

    HISTOGRAMAS: Se grafican en el eje horizontal las marcas de clase y en el eje vertical las frecuencias absolutas.

    POLÍGONO DE FRECUENCIAS: Es una representación gráfica que se obtiene en los puntos medios de los techos de los rectángulos, se unen con líneas rectas.

    POLÍGONO DE FRECUENCIAS RELATIVAS.

    Es una representación gráfica que se obtiene mediante las marcas de clase y las frecuencias relativas.

    DIAGRAMA DE PARETO.

    Es una representación gráfica en base a rectángulos, con la característica de la mayor frecuencia absoluta hasta la menor.

    FRECUENCIAS ACUMULADAS.

    Estas se obtienen para cada una de las clases sumando la frecuencia absoluta de la clase actual mas la frecuencia o frecuencias absolutas anteriores. La gráfica se llama OJIVA y esta se obtiene con los límites reales superiores y las frecuencias acumuladas.

    MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.

    Entre las medidas de tendencia central más comunes son:

  • Media Aritmética ( x ).

  • Moda.

  • Mediana.

  • Las medidas de tendencia central son las que representan a un conjunto de datos.

  • MEDIA ARITMÉTICA: Es aquella que se define como el promedio de un conjunto de datos.

  • La media Aritmética se obtiene tanto para datos agrupados como los no agrupados.

  • DATOS NO AGRUPADOS:

  • Estadística

    Donde:

    X = Datos.

    N = Número total de datos.

    Ejemplo:

    66, 100, 98, 96, 58, 94, 90

    = 66, 100, 98, 96, 58, 94, 90 = 602 = 86.

    7 7

  • DATOS AGRUPADOS:

  • Estadística

    Donde:

    X = Número de datos

    N = Número total de datos.

    f = Frecuencias absolutas.

    Ejemplo:

    Estadística

  • MODA: Es la medida de tendencia central que se define como el valor que se presenta con mayor frecuencia, es decir el más común.

  • La moda para datos no agrupados presenta los siguientes casos:

    Caso 1:

    2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 7, 8, 9. Moda = 4.

    Caso 2:

    2, 5, 5, 6, 6, 7, 9, 16. Moda = 6, 5.

    Caso 3:

    2, 4, 5, 6, 7, 8, 11. No existe Moda.

    La moda para datos agrupados presenta la siguiente formula:

    Estadística

    Donde:

    L1 = Es el limite inferior de la clase que contiene la moda.

    1 = Es la diferencia de la frecuencia modal menos la frecuencia de

    la clase contigua inferior.

    2 = Es la diferencia de la frecuencia de la clase menos la

    frecuencia de la clase contigua superior.

    C = Es el tamaño, longitud o anchura de clase.

    Ejemplo:

    1 = 8 - 5 = 3 1 = 8 - 7 = 1

    3

    Moda = 76.5 + 5 = 76.5 + 3 (5) = 76.5 + 3.75 = 80.25

    3 + 1

    Moda = 80.25.

  • MEDIANA: Es la medida que se define como el valor que divide a un conjunto de datos en dos partes iguales.

  • La moda presenta los siguientes casos:

    Caso 1: (Conjunto impar).

    2, 3, 4, 5, 7 , 7, 8, 9, 13

    Mediana

    Mediana = 7

    Caso 2: (Conjunto par ).

    1, 3, 3, 6, 7, 8, 9, 15

    6 + 7 = 13 = 6.5

    2

    Mediana = 6.5

    Para calcular la mediana para datos agrupados se aplica la siguiente fórmula:

    Mediana = L + N _ f C

    2

    fm

    Donde:

    L = Es el límite real inferior de la clase que contiene la mediana.

    N = Es el número total de datos en el conjunto.

    f =Es la suma de las frecuencias acumuladas inferiores sin

    contar la frecuencia de la clase que contiene la mediana.

    C = Es el tamaño, longitud o anchura de la clase.

    *NOTA: La clase que contiene la mediana se obtiene contando las frecuencias absolutas, de arriba hacia abajo y viceversa localizándola donde nos de la mitad de N.

    Ejemplo:

    35 - 13

    Mediana = 81.5 + 2 5 = 81.5 + (17.5 - 13 ) =

    7 7

    Mediana = 81.5 + 3.21 = 84.71

    RELACION EMPÍRICA ENTRE MEDIA ARITMÉTICA, MODA Y MEDIANA.

    Estadística

    86.57 - 80.25 " 3 (86.57 - 84.71)

    6.32 " 5.58

    MEDIDAS DE DISPERSIÓN.

    DISPERSIÓN: Es el grado en que los datos numéricos tienden a extenderse alrededor de un valor medio.

    3 X 85

  • Entre las medidas mas importantes de dispersión se tienen AMPLITUD DE VARIACIÓN (RANGO).

  • DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA (D.M): Es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones con respecto a la media aritmética.

  • Para calcular las desviación media para los datos no agrupados se utiliza la siguiente fórmula:

    Estadística

    N

    Donde:

    X = Datos

    = Media Aritmética.

    | | = Valor absoluto.

    N = Número Total de Datos.

    Ejemplo:

    D.M = |66-86| + |100-86| + |98-86| + 96-86| + |58-86| + |94-86| + |90-86|

    7

    D.M = |20| + |14| + |12| + |10| + |28| + |8| + |14| =13.71

    7

    Para calcular la desviación media para datos agrupados se utiliza la siguiente fórmula:

    Estadística

    Donde:

    X = Marcas de clase.

    f = Frecuencias Absolutas.

    = Media Aritmética.

    N = Número total de datos en el conjunto.

    Ejemplo:

    D.M = 5|74-86.57|+8|79-86.57|+7|84-86.57|+4|89-86.57|+

    6|94-86.57|+2|99-86.57|+1|104-86.57|+2|109-86.57| =

    35

    D.M =|62.85|+|60.56|+|17.99|+|9.72|+|44.58|+|24.86|+|17.43|+|44.86|=

    35

    D.M = 282.85 = 8.08

    35

  • DESVIACIÓN TIPICA O ESTÁNDAR: Se define como la raíz cuadrada de la varianza.

  • Para calcular las desviación típica para los datos no agrupados mayores de 30 se utiliza la siguiente fórmula:

    Estadística

    Para menores de 30:

    Estadística

    Ejemplo:

    Estadística

    Estadística

    Estadística

    Para calcular la desviación típica o estándar para datos agrupados se utiliza la siguiente fórmula:

    Estadística

    Donde:

    f1 = Frecuencia Absoluta.

    Ejemplo:

    Estadística

     = 9.66

  • VARIANZA: Se define como la desviación típica o estándar elevada al cuadrado; su símbolo es 2.

  • Ejemplo:

    2 = (9.66)2 = 93.31

  • REGLA EMPÍRICA PARA UNA, DOS Y TRES DESVIACIONES TIPICAS:

  • Para una desviación típica el porcentaje es del 68.27%

  • Estadística
    Estadística

  • El porcentaje para 2 desviaciones típicas es igual al 95.45%.

  • Estadística
    Estadística

  • El porcentaje para 3 desviaciones típicas es igual a 99.73%.

  • Estadística
    Estadística

    MODELO.

    El presidente de Ocean Airlines intenta hacer una estimación de cuanto se tardará el Departamento de Aeronáutica Civil en decidir acerca de la solicitud de la compañía sobre una nueva ruta entre la ciudad de Charlotte y Los Angeles. Los asesores del presidente han conseguido los siguientes tiempos de espera de las solicitudes hechas durante el año anterior. Los datos están en días desde la fecha de solicitud hasta la respuesta del D.A.C.

    34

    40

    23

    28

    31

    40

    25

    35

    47

    32

    49

    34

    38

    31

    33

    42

    26

    35

    27

    31

    29

    40

    31

    30

    34

    31

    38

    35

    37

    33

    24

    44

    37

    39

    32

    36

    34

    36

    41

    39

    29

    22

    28

    44

    51

    31

    44

    28

    47

    31

    a) Construya ana distribución de frecuencias utilizando 10 intervalos cerrados igualmente espaciados.

    Rango = 51 - 22 = 29 = 9.66 " 10

    3

    Clases

    Frecuencia

    Absoluta

    Frecuencia

    Relativa

    Marca de

    Clase

    Limite Real

    Inferior

    Limite Real

    Superior

    Frecuencia

    Acumulada

    Frecuencia

    Relativa

    Acumulada

    1

    21 - 24

    3

    6%

    23

    21.5

    24.5

    3

    6

    2

    25 - 27

    3

    6%

    26

    24.5

    27.5

    6

    12

    3

    28 - 30

    6

    12%

    29

    27.5

    30.5

    12

    24

    4

    31 - 33

    12

    24%

    32

    30.5

    33.5

    24

    48

    5

    34 - 36

    8

    16%

    35

    33.5

    36.5

    32

    64

    6

    37 - 39

    6

    12%

    38

    36.5

    39.5

    38

    76

    7

    40 - 42

    5

    10%

    41

    39.5

    42.5

    43

    86

    8

    43 - 45

    4

    8%

    44

    42.5

    45.5

    47

    94

    9

    49 - 48

    2

    4%

    47

    45.5

    48.5

    49

    98

    10

    49 - 51

    1

    2%

    50

    48.5

    51.5

    50

    100

    50 100%

    Longitud = 3.

    “HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS.”

    “DIAGRAMA DE PARETO.”

    “POLÍGONO DE FRECUENCIAS RELATIVAS.”

    “OJIVA”.

  • MEDIA.

  • Estadística

    3(23)+3(26)+6(29)+12(32)+8(35)+6(38)+5(41)+4(44)+2(47)+1(50)=

    50

    X = 34.76

  • MODA.

  • Estadística

    6

    Moda = 30.5 + 3 = 30.5 + 1.8 = 32.3

    6+4

  • MEDIANA.

  • Mediana = L + N _ f C

    2

    fm

    50 24 3

    Mediana = 33.5 + 2 = 33.5 + 0.375 = 33.875

  • RELACION EMPÍRICA.

  • Estadística

    37.46 - 32.3 " 3 (34.76 - 33.875)

    2.46 " 2.65

  • DESVIACIÓN MEDIA.

  • Estadística

    3|23-34.76|+3|26-34.76|+6|29-34.76|+12|32-34.76|+8|35-34.76|+

    6|38-34.76|+5|41-34.76|+4|44-34.76|+2|47-34.76|+1|50-34.76| =

    50

    35.28+26.28+34.56+33.12+1.92+19.44+31.2+36.96+24.48+15.24 =

    50

    D.M = 5.16

  • DESVIACIÓN TÍPICA O ESTÁNDAR.

  • Estadística

    ="3(23-34.76)2+3(26-34.76)2+6(29-34.76)2+12(32-34.76)2+8(35-34.76)2 +6(38-34.76)2+5(41-34.76)2+4(44-34.76)2+2(47-34.76)2+1(50-34.76)2

    50

     = 6.4298

  • VARIANZA. 2

  • 2 = (6.4298)2 = 41.3423

  • REGLA EMPÍRICA PARA UNA, DOS Y TRES DESVIACIONES TÍPICAS.

  • Para una desviación típica:

    X ± .

    34.76 ± 9.66

    34.76 + 9.66=44.42

    34.76 - 9.66= 25.1

    Para dos desviaciones típicas:

    X ± 2.

    34.76 ± 2(9.66)

    34.76 + 19.32=54.08

    34.76 - 19.32= 15.44

    Para tres desviaciones típicas:

    X ± 3.

    34.76 ± 3(9.66)

    34.76 + 28.98=63.74

    34.76 - 28.98= 5.78

    CAPITULO II.

    DESCRIPCIÓN DE DOS CONJUNTOS DE DATOS.

    ANÁLISIS DE CORRELACIÓN.

    Es el grupo de técnicas estadísticas empleado para medir la intensidad de la relación entre dos variables.

    Se deben identificar la variable dependiente y la independiente.

    Ejemplo:

    Se está efectuando un proyecto de investigación en una empresa para determinar si existe relación entre los años de servicio y la eficiencia de un empleado. El objetivo de estudio fue predecir la eficiencia de un empleado con base en los años de servicio. Los resultados de la muestra son:

    Empleados

    Años de Servicio

    “X”

    Puntuación de eficiencia

    “Y”

    XY

    X2

    Y2

    A

    1

    6

    6

    1

    36

    3.23

    B

    20

    5

    100

    400

    25

    4.64

    C

    6

    3

    18

    36

    9

    3.61

    D

    8

    5

    40

    64

    25

    3.77

    E

    2

    2

    4

    4

    4

    3.31

    F

    1

    2

    2

    1

    4

    3.23

    G

    15

    4

    60

    225

    16

    4.30

    H

    8

    3

    24

    64

    9

    3.77

    x = 61 y = 30 xy=254 x2 =795 y2=128

    DIAGRAMA DE DISPERSIÓN.

    Es la gráfica que representa la relación entre dos variables de intereses.

    COEFICIENTE DE CORRELACIÓN.

    Es la medida de la intensidad de la relación entre dos conjuntos de variables.

    Para calcular el coeficiente de correlación se utiliza la siguiente fórmula:

    Estadística

    Ejemplo:

    Estadística
    Estadística

    r = .3531

    ANÁLISIS DE REGRESIÓN.

    Es la técnica empleada para hacer predicciones. Para ello se emplea la ecuación de regresión mediante el método de mínimos cuadrados; dicha ecuación se le conoce como la ecuación de estimación de o de pronóstico la cual se expresa:

    y' = a +bX

    donde:

    a = Coordenada de la intersección con el eje y.

    b = Es la pendiente de la recta.

    x = Cualquier valor seleccionado para la variable independiente.

    y' = Es el valor pronosticado de la variable y para un valor

    seleccionado de x.

    Matemáticamente se obtiene de la siguiente manera:

    Estadística

    Ejemplo:

    b = 202 = .0765

    2639

    a = 3.75 - .0765 ( 7.625) = 3.16

    COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN (r2).

    Se define como la proporción de la variación total en la variable dependiente y que se explica por o se debe a la variación en la variable dependiente x.

    El coeficiente de determinación se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

    r2 = Variación total - Variación no explicada.

    Variación Total.

    Estadística

    ( y - y )2

    ( y - y´ )2

    5.0625

    7.6729

    1.5625

    0.0961

    0.5625

    0.3721

    1.5625

    1.5129

    3.0625

    1.7161

    3.0625

    1.5129

    0.0625

    0.09

    0.5625

    0.5929

    15.5 13.5659

    r2 = 15.5 - 13.5659 = 0.1247 = 0.1247

    15.5

    ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN.

    Es aquel que mide la dispersión de los valores observados con respecto a la recta de regresión.

    El error estándar de estimación se obtiene aplicando cualquiera de las siguientes fórmulas.

    Estadística

    Estadística

    Ejemplo:

    1. " 13.5659 = 1.5036

    6

    2. " 128 - 3.166(30) - 0.0765(254) = 1.5049

    MODEL0.

    Un analista de operaciones realiza un estudio para analizar la relación entre la producción y costos de fabricación de la industria electrónica. Se toma una muestra de 10 empresas seleccionadas de la industria y se dan los siguientes datos:

    Empresa

    Miles de

    Unidades

    Miles de

    $

    xy

    y2

    y2

    A

    40

    150

    6000

    1600

    22500

    B

    42

    140

    5880

    1764

    19600

    C

    48

    160

    7680

    2304

    25600

    D

    55

    170

    9350

    3025

    28900

    E

    65

    150

    9750

    4225

    22500

    F

    79

    162

    12798

    6241

    26244

    G

    88

    185

    16280

    7744

    34225

    H

    100

    165

    16500

    10000

    27225

    I

    120

    190

    22800

    14400

    36100

    J

    140

    185

    25900

    19600

    34225

    777 1657 132,938 70,903 277,118

    Determinar:

  • Cual es la variable dependiente y cual la independiente.

  • Hacer el diagrama de dispersión.

  • El coeficiente de correlación.

  • La recta de regresión mediante el método de mínimos cuadrados.

  • El coeficiente de determinación.

  • El error estándar de estimación.

  • Determinar el costo que se tiene al producir 50,000 y 150,000 unidades.

  • Variable dependiente: Miles de unidades.

  • Variable Independiente: Miles de pesos.

  • DIAGRAMA DE DISPERSIÓN.

  • c)

    Estadística

    r = 1´329,380 - 1´287,489 =

    " [709030 - 603729][2771190 - 2745949]

    r = ___41891 = _41891__ = 0.8078

    " (105301)(25541) 51860.32

    d) y´ = a + bX

    b = 41891 = 0.3978

    105301

    a = 165.7 - (.3978) (77.7) = 134.7909

    y´= 134.7909 + 0.3978 X

    e) r2 = (0.8078)2 = 0.65254084

    f)

    Syx = (277119) - 134.7909 (1657) - (.3978) (132.938)

    " 10 - 2

    Syx = 10.53

    g) 134.9909 + 0.3978(50) = 154.8809

    134.9909 + 0.3978(150) = 199.6609

    CAPITULO III.

    VARIABLES ALEATORIAS Y FUNCIONES DE PROBALIDAD.

    ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o muestra.

    EVENTO: Es el resultado de un experimento.

    Los eventos se clasifican en tres tipos:

  • Simple.

  • Múltiple.

  • Imposible.

  • VARIABLE OPCIONAL: Es aquella que está en función valorada numéricamente, cuyo valor está regido por factores en los que interviene el azar.

    Las variables aleatorias se clasifican en dos tipos:

  • Variables aleatorias continuas: Son aquellas en las que se considera si se puede asumir cualquier valor dentro de un determinado intervalo.

  • Variables aleatorias discretas: Son aquellas que se consideran si los valores que se asumen se pueden contar.

  • Ejemplo:

    Continua:

    • Estatura de una persona.

    • Número de litros de agua en un estanque.

    Discreta:

    • Número de muestra de un lote.

    • Cantidad de alumnos de un grupo.

    Las probabilidades se utilizan para expresar cuan probable es un determinado evento.

    La probabilidad de que un evento ocurra está representada del 0 a 1.

    Ejemplo:

    Evento: Lanzamiento de una par de dados. ¿Qué número sumado puede dar?

  • Hallar la variable aleatoria.

  • El espacio muestral.

  • La probabilidad.

  • La gráfica en forma técnica.

  • Hacer la gráfica de un experimento aleatorio con 100 lanzamientos. y compararla con la anterior.

  • Variable

    Aleatoria

    Espacio

    Muestral

    Probabilidad

    Clásica.

    Probabilidad en el experimento

    2

    (1,1)

    1/36

    1.66

    3

    (2,1),(1,2)

    2/36

    6.66

    4

    (3,1),(2,2),(1,3)

    3/36

    10

    5

    (4,1),(3,2),(2,3),(1,4)

    4/36

    12.5

    6

    (5,1),(4,2),(3,3),(2,4),(1,5)

    5/36

    15

    7

    (6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)

    6/36

    17.5

    8

    (6,2),(5,3),(4,4),(3,5),(2,6)

    5/36

    11.66

    9

    (6,3),(5,4),(4,5),(3,6)

    4/36

    10

    10

    (6,4),(5,5),(4,6)

    3/36

    9.3

    11

    (6,5),(5,6),

    2/36

    4.16

    12

    (6,6)

    1/36

    2.5

    d) Gráfica en forma clásica.

    e) Gráfica del experimento de 100 lanzamientos.

    FACTORIAL DE N.

    Para calcular el factorial de un número positivo se aplican la siguiente fórmula:

    n! = n(n - 1) (n - 2) . . . 1

    Ejemplos:

    0! = 1

    1! = 1

    2! = 2

    3! = 6

    4! = 24

    PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.

    Una permutación se representa nPr, es una ordenación de n objetos tomados de r en r.

    Una permuta aplica la siguiente fórmula:

    nPr = n!

    (n - r)!

    Ejemplo:

    r = 2 6P2 = 6! = 720 = 30

    n = 6 (6- 2)!

    Una combinación es una selección de n objetos o cosas seleccionadas de r en r.

    Una combinación se obtiene con la siguiente fórmula:

    nCr =_ n!___

    r! (n - r)!

    Ejemplo:

    r = 2

    n = 6

    6C2 = 6!___ = 6!__ = 6 . 5. 4. 3. 2. 1 = 30 = 15

    2!(6-2)! 2!.4! 2. 1 4. 3. 2. 1 2

    Ejemplo:

    En cuantas formas puede una sucursal local en una sociedad programar a 3 conferencistas en 3 diferentes congresos, si los primeros están disponibles en cualquiera de 5 fechas posibles.

    n = 5 nPr = n!__

    r = 3 (n - r)!

    5. 4. 3. 2. 1 = 60 Formas

    2. 1

    En cuantas formas diferentes puede un superior seleccionar un equipo de 5, de 8 personas que trabajan para el.

    n = 8 nCr =_ n!___

    r = 5 r! (n - r)!

    8!__ = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 336 = 56 Formas.

    5!(8-5)! (5. 4. 3. 2. 1)(3. 2. 1)

    PRINCIPIO FUNDAMENTAL.

    Si un suceso o evento puede presentarse con cualquiera de las n1 formas distintas y si otro suceso ha ocurrido relacionado con el primero de las n2 distintas, entonces el número de formas en que ambos sucesos en orden específico pueden presentarse será n1 . n2 formas.

    Ejemplo:

    ¿De cuantas formas pueden ordenarse 7 libros en un estante?

  • Si es posible cualquier ordenación.

  • 3 libros determinados deben estar juntos.

  • 2 libros determinados deben ocupar los extremos.

  • a) 7P7 = 7!__ = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 5040

    (7-7)! 1

    b) 5P4 . 3P3 = 5!_ 3!_ = 5. 4. 3. 2. 1 3 .2. 1 = 120 x 6=720

    (5-5)! (2-2)! 1 1

    c) 5P2 . 2P2 = 5!_ 2!_ = 5. 4. 3. 2. 1 2. 1 = 120 x 2=240

    (5-5)! (2-2)! 1 1

    Una clase de 9 niños y 3 niñas.

  • Hallar el número de posibilidades que tiene un profesor de elegir un comité de 4 integrantes.

  • Tiene que haber 2 niños y 2 niñas.

  • Tiene que haber exactamente una niña.

  • a) 12C4 = 12!_ = 12. 11. 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 495 Formas.

    4!(12-4)! (4. 3. 2. 1) (8. 7 .6 .5 .4 .3. 2. 1)

    b) 3C2 . 9C2 = (3) (36) = 108 Formas.

    c) 3C1 . 9C3 = (3) (84) = 252 Formas.

    Un granjero compra 3 vacas, 2 cerdos, 4 gallinas a un hombre que tiene 6 vacas, 5 cerdos y 8 gallinas. ¿Cuántas elecciones puede hacer?

    6C3 . 5C2 . 8 C4 = (20) (10) (70) = 14,000 formas.

    ESPERANZA MATEMÁTICA.

    Es la cantidad que un jugador espera ganar como media cada vez que juega. Si el valor de “E” es positivo se dice que el juego está a favor del jugador, si “E” es negativo esta en su contra y se dice que es una perdida.

    Para calcular la esperanza matemática de un cierto evento se aplica:

    E = W1P1 + W2P2 + . . . +WnPn

    Ejemplo:

    1. Un jugador tira 2 dados, si la suma es de 7 ó 11 gana 7 dólares, con cualquier otro resultado pierde 2 dólares.

    Determine el valor esperado del juego.

    E = ?

    W1 = $7 E = (7) (8/36) - (2) (28/36)

    P1 = 6 + 2 = 8

    36 36 56 - 56 = 0

    36 36

    W2 =-$2

    P2 = 28

    36

    2. Si un hombre compra una papeleta de rifa en la que puede ganar un primer premio de 5,000 dólares ó un segundo premio de 2,000 dólares con probabilidades de .001 y .003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

    E = ?

    W1 = $5,000 E = (5000) (.001) - (2000) (.003)

    P1 = .001

    W2 =-$2,000

    P2 = .003 E = $5 + $6 = $11

    3. Un juego consiste en tirar una moneda no-truncada 4 veces. Un jugador gana 3 dólares si sale 2 o mas veces cara, de cualquier otra forma el jugador pierde 4 dólares.

    Hallar el valor esperado “E” del juego.

    E = ?

    W1 = $3 E = (3)(11/16) - (4)(5/16)

    P1 = 11/16

    W2 =-$4 E = 33 - 20 = 13

    P2 = 5/16 16 16 16

    CAPITULO IV.

    FUNCIONES DE PROBABILIDAD.

    DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD: Es la distribución de frecuencias relativas respecto a resultados del espacio muestral, señala la proporción de veces en que la variable aleatoria tiende a obtener diversos valores.

    Considerando que la probabilidad de que un evento suceda o no suceda es igual a 1, para ello se aplica la siguiente fórmula:

    1 = p + q p = 1 - q q = 1 -p

    p = Probabilidad de éxito.

    q = Probabilidad de no éxito.

    Las distribuciones de probabilidad se clasifican de 2 tipos:

    Binomial.

  • LAS DISCRETAS. Poison.

  • Hipergeométrica.

  • CONTINUAS. Normal.

  • Distribuciones de probabilidad discretas:

  • 1. Distribución Binomial: Para calcular la probabilidad mediante esta distribución de acuerdo a las características, se aplica la siguiente fórmula.

    P(x) = _ n!___ px qn-x

    x! (n-x)!

    Donde:

    n = Número de ensayos.

    p = Proporción de éxito que se tiene en el evento.

    q = Proporción de no-éxito o de fracaso que se tiene en el evento.

    x = Es el número de veces que se obtiene al obtener éxito.

    Ejemplo:

    1. El 8% de las hamburguesas que se venden en un estadio de béisbol, se piden sin mayonesa. Si 7 personas ordenan hamburguesas encuentre la probabilidad de que:

  • Todas las quieran con mayonesa.

  • Solo 1 la quiera con mayonesa.

  • Datos:

    p = .92%

    q = .08%

    n = 7

  • x = 7 P(7) = 7!___ (.92)7 (.08)7-7 = 0.5578

  • 7!(7-7)!

  • x = 1 P(1) = 7!___ (.92)1 (.08)7-1 = 0.000001688

  • 1!(7-1)!

    2. El 90% de probabilidades de que un tipo particular de complemento funcione adecuadamente en condiciones de alta temperatura. Si el dispositivo en cuestión incluye 4 de esos componentes, determine la probabilidad de que:

  • Todos los componentes funcionen adecuadamente y por lo tanto el dispositivo es operante.

  • El dispositivo es inoperante por que falla exactamente 1 de los 4 componentes.

  • El dispositivo es inoperante por que falla 1 o mas de los componentes.

  • Datos:

    p = .90%

    q = .10%

    x = 4

    a) x = 4 P(4) = 4!___ (.90)4 (.10)4-4 = 0.6561

    4!(4-4)!

    b) p = 0.10% P(1) = 4!___ (.10)1 (.90)4-3 = .2916

    q = 0.90% 1!(4-1)!

    x = 1

    c) p = 0.10%

    q = 0.90%

    x = 1, 2, 3,4

    P(1, 2, 3, 4) = 4!___ (.10)1 (.90)3+ 4!___ (.10)2 (.90)4-2+

    1!(4-1)! 2!(4-2)!

    4!__ (.10)3 (.90)4-3+ 4!__ (.10)4 (.90)4-4=

    3!(4-3)! 4!(4-4)!

    0.2916 +0.0486 + 0.0036 +0.0001 = 0.3439

    Una familia tiene 6 hijos. Hallar la probabilidad de que sean:

  • 3 niños y 3 niñas.

  • Menos niños que niñas. Tomaremos 0.5 como la probabilidad de que un hijo sea niño.

  • Datos:

    p = 0.5% niños.

    q = 0.5% niñas.

    n = 6 hijos.

    a) x = 3 P(3)= 6!__ (0.5)3 (0.5)6-3= 0.3125

    3!(6-3)!

    b) x =0, 1, 2

    P(0,1, 2) = 6!___ (0.5)0 (0.5)6-0+ 6!___ (0.5)1 (0.5)6-1+

    0!(6-0)! 1!(6-1)!

    6!__ (0.5)2 (0.5)6-2= .0152 + .09375 + .2343 = .3436

    2!(6-2)!

    2. Distribución de probabilidad Poison: Esta distribución tiene muchas aplicaciones y se utiliza como modelo para describir fenómenos, por ejemplo el número de errores en captura de datos, las imperfecciones en piezas recientemente pintadas, el número de partes defectuosas en ciertos embarques, el número de clientes que llegan a un banco a solicitar servicio, el número de errores que una secretaria comete por página, el número de accidentes que ocurren en un determinado tiempo, etc.

    Esta probabilidad utiliza la siguiente fórmula:

    P(x) = e- . x

    x!

     = Promedio de ocurrencia del suceso o evento.

    x = Número pedido de acuerdo a la probabilidad.

    e = Número de Euter ( 2.7172).

    Cuando la probabilidad es muy pequeña se debe de contar el número de la población, para ello el promedio de ocurrencia se obtiene:

     = N . P

    Ejemplo:

    1. La señora García esta encargada de los préstamos de un banco. Con base en sus años de experiencia, estima que la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar oportunamente sus préstamo es de .025, el mes pasado realizo 40 préstamos:

  • ¿Cuál es la probabilidad de que 3 préstamos no se paguen oportunamente?

  • ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 préstamos se liquiden a tiempo?

  • Datos:

    P = .025

    N = 40

     = (40)(.025)=1 cliente.

  • x = 3 P(3)= e-1.13 = (.3678)(1) = .0613

  • 3! 6

  • x = 3 o más. P(0,1,2) = e-1. 10 + e-1. 11 + e-1 . 12 =

  • 0! 1! 2!

    .3679+ .3679+ .3679 = .3679 + .3679 + .1839 = 0.9197

    1 1 2

    P(3 o más) = 1 - q

    = 1 - 0.9197 = 0.0803 % Probabilidad pedida.

    2. Los automóviles que llegan a una salida de una carretera a razón de 2 por minuto.

  • ¿Cuál es la probabilidad que en un minuto dado no lleguen automóviles?

  • ¿Cuál es la probabilidad e que al menos 1 automóvil llegue durante un minuto especifico?

  • Datos:

     = 2 autos / minuto.

    Probabilidad

    a) x = 0 P(0)= e-2.20 = (0.1353)(1) = 0.1353 pedida.

    0! 1

    b) x = 1 o más. P(1 o más) = 1 - q

    = 1 - 0.1353% Probabilidad pedida.

    3. Supongamos que el 2% de la población es zurda. Hallar la probabilidad de encontrar 3 o más zurdos en 100 personas.

    Datos:

    P = 2% = .02

    N = 100

     = (100)(.02) = 2 P(0,1,2) = e-2. 20 + e-2. 21 + e-2 . 22 =

    0! 1! 2!

    .1353(1) + .1353(2)+ .1353(4) = .1353 + .2706 + .3706 = 0.6765

    1 1 2

    Probabilidad

    1 - q = 1 - .6765 = .3234 pedida.

    4. A una construcción llegan camiones de carga a razón media de 2.8 camiones por hora. Obtenga la probabilidad de tener 3 o más camiones que lleguen en un:

  • Lapso de 30 minutos.

  • Lapso de 1 hora.

  • Lapso de 2 horas.

  • Datos:

    P = 2.8 Camiones / minuto

    a) x = 0, 1,2 P(0,1,2) = e-1.4. 1.40 + e-1.4. 1.41 + e-1.4 . 1.42 =

     = 1.4 0! 1! 2!

    .2465(1) + .2465(1.4)+ .2465(1.96)=.2465 + .3451 + .2415 = .8331

    1 1 2

    Probabilidad pedida = 1 - .8331 = .1669

    b) x = 0, 1,2 P(0,1,2) = e-2.8. 2.80 + e-2.8. 2.81 + e-2.8 . 2.82 =

     = 2.8 0! 1! 2!

    .0608(1) + .0608(2.8)+ .0608(7.84)= .0608 + .1702 + .2383 = .4693

    1 1 2

    Probabilidad pedida = 1 - .4693 = .5307

    c) x = 0, 1,2 P(0,1,2) = e-5.6. 5.60 + e-5.6. 5.61 + e-5.6 . 5.62 =

     = 5.6 0! 1! 2!

    .0036(1) + .0036(5.6)+ .0036(31.36) =.0036 + .0207 + .0596 = .0823

    1 1 2

    Probabilidad pedida = 1 - .0823 = .9177

    3. Distribución de probabilidad Hipergeométrica: Cuando la población es finita y el muestreo se hace sin reemplazo, la probabilidad cambiará para cada nueva observación, en tales circunstancias se tendrá una distribución Hipergeométrica, está debe estar formada por 2 grupos de individuos u objetos. Un primer grupo constituido por aquellos individuos que poseen las característica de estudio; se representará N1; y el otro grupo estará conformado por los que no poseen la característica y el número de sus elementos se representará con N2.

    La probabilidad mediante una distribución Hipergeométrica se obtiene:

    Estadística

    Donde:

    x = Número de éxitos el los n ensayos donde el muestreo es sin

    repetición.

    Ejemplo:

    1. Una empresa produce 100 unidades de las cuales 90 son buenas y 10 son defectuosas. Se toman 20 unidades sin remplazo; halle la probabilidad de que resulten 5 defectuosas.

    Datos:

    N1 = 10

    N2 = 90 P(5) = 10C5 . 90C15 = (252)(4.58 x 1016) = 0.0215

    N = N1 + N2 = 100 100C20 5.36 x 1020

    n = 20

    x = 5

    2. 15 de los 20 estudiantes de una grupo escolar están insatisfechos con el texto que se emplea. Si una muestra aleatoria de 4 estudiantes es interrogada sobre el libro de texto. Determine la probabilidad:

  • Exactamente 3.

  • Al menos 3 estudiantes.

  • Se muestren insatisfechos con el libro.

    Datos:

    N1 = 15

    N2 = 5

    N = N1 + N2 =20

    n = 4

    Probabilidad

    a) x = 3 P(3) = 15C3 . 5C1 = (455)(5) = 0.4695 pedida

    20C4 4845

    Probabilidad

    b) x = 3, 4 P(4) = 15C4 . 5C0 = (1365)(1)= 0.2817 pedida

    20C4 4845

    3. Una caja contiene 30 baterias para radio de las cuales 5 son defectuosas. De la caja se escogen al azar 6 baterias; halle la probabilidad de que:

  • 2 sean defectuosas.

  • Ninguna sea defectuosa.

  • Menos de 3 sean defectuosas.

  • Datos:

    N1 = 5

    N2 =25

    N = N1 + N2 = 30

    n = 6

    a) x = 2 P(2) = 5C2 . 25C4 = (10)(12650) = 0.2130 P.P

    30C6 593775

    b) x = 0 P(0) = 5C0 . 25C6 = (1)(177100) = 0.2982 P.P

    30C6 593775

    b) x = 0,1,2 P(1) = 5C1 . 25C5 = (5)(53130) = 0.4473

    30C6 593775

    P(0,1,2) = 0.2982 + 0.4473 + 0.2130 = 0.9585 P.P

    4. Distribucion Normal: Esta distrbucion se aplica en muchos fenómenos naturales, los cuales para el cálculo de la probabilidad se utiliza la curva simétrica llamada campana, la cual se expresa a continuación:

    .5000 .5000

    Para calcular la probabilidad mediante una distribución normal se utiliza la siguiente fórmula:

    Z = X - M

    

    Donde:

    M = Es la media aritmética o promedio.

     = Desviación típica o estándar de la población.

    X = Valor buscado de acuerdo a la probabilidad pedida.

    Z = Es el valor típificado (Área bajo la curva).

    Ejemplo.

    1. El número de días entre la facturación y el pago de las cuentas a crédito en una gran tienda de departamentos, tiene uyna distribución aproximadamente normal con una media de 18 días y una desviación estándar de 4 días:

  • ¿Qué población de las cuentas serán pagadas entre 12 y 19 días?

  • Entre 20 y 23 días.

  • En menos de 8 días.

  • En 12 días o más.

  • Datos:

    M = 18

     = 4

  • x = Entre 12 y 19 . 0.5319

  • Z1 = 12 - 18 = -1.5

    4

    .4332 .0987

    Z1 = 19 - 18 = 0.25

    4 Z1= -1.5 Z2=0.25

    P.P = 0.5319

  • x= Entre 20 y 23

  • 0.2029

    Z1 = 20 - 18 = 0.5

    4

    0.1915 0.3944

    Z2 = 23 - 18 = 1.25

    4 Z1= 0.5 Z2=1.25

    P.P = 0.1915 - 0.3944 = 0.2029

    0.9938

  • x= Menos de 8

  • 0.0062

    Z = 8 - 18 = -2.5 0.4938 .5000

    4 Z= -2.5

    P.P = 1 - 0.9938 = 0.0062

    0.9332

  • x= 12 o mas

  • Z = 12 - 18 = -1.5 0.4332 .5000

    4

    Z= -1.5 12 días o mas

    2. El tiempo requerido para instalar un motor nuevo de un avión es distribuido con una media de 20 horas y una desviación típica de 1 hora. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente instalación toma:?

  • 19 o menos y 22 o más horas.

  • Entre 17 y 18 horas.

  • Datos:

    M = 20 horas.

     = 1 hora.

  • x= 19 o menos y 22 o más. 0.8115

  • Z1 = 19 - 20 = -1

    1

    Z2 = 22 - 20 = 2 0.3413 0.4772

    1

    P.P=1 - 0.8185 = 0.1815 Z1 =-1 Z2 = 2

  • x = 17 y 18

  • 0.0215

    Z1 = 17 - 20 = -3

    1

    0.4987 0.4772

    Z2 = 18 - 20 = -2 Z1= -3 Z2= -2

    1

    P.P = 0.4987 - 0.4772 = 0.0215

    3. Suponga que se diseña una prueba de inteligencia que tenga una distribución normal con una media de 100 y una desviación estándar de 15.

  • ¿Qué proporción de personas tienen resultados inferiores a 115.

  • ¿Mayores a 130?

  • ¿Entre 85 y 115?

  • ¿Entre 70 y 130?

  • Datos.

    M = 100

     = 15

    0.8413

  • x = menores a 115.

  • Z = 115 - 100 = 1 .5000 .3413

    15

    Z = 1

    P.P=0.3413 0.9772

  • x = Más de 130

  • Z = 130 - 100 = 2 .5000 .4772

    15

    Z = 2

    P.P = .9772 .6826

  • x = Entre 85 y 115

  • Z1 = 85 - 100 = 1

    15 .3413 .3413

    Z2 = 115 - 100 = 1

    15 Z1=-1 Z2=1

    P.P = .3413 + .3413 =.6826

  • x = Entre 70 y 130 .9544

  • Z1 = 70 - 100 = -2

    15

    .4772 .4772

    Z2 = 130 - 100 = 2

    15 Z1= -2 Z2= 2

    P.P = .4772 + .4772 = .9544

    El gerente de un club de natacion sabe por experiencia de años pasados que el número de niños que cada miembro trae a la alberca en una sesión dada es una variable aleatoria con media de 3.1 y desviación típica de 0.56. Entre 200 miembros ¿Cuántos se pueden esperar que traigan de 2 a 4 niños a las piscina en una sesión?

    Datos:

    M = 3.1

     = 0.56

    x = 2 a 4 .9213

    N = 200 miembros.

    Z1 = 2 - 31 = -1.96

    .56 .4750 .4463

    Z2 = 4 - 31 = 1.61 Z1 = -1.96 Z2 = 1.61

    .56

    P.P = .4750 + .4463 = .9213

    Número de niños = (200)(.9213) = 184.26 " 184 Niños.

    CAPITULO V

    DISTRIBUCIONES DERIVADAS DEL MUESTREO.

    ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS.

    La estimación de parámetros puede ser de 2 formas:

  • Estimación por intervalo.

  • Estimación por punto.

  • Estimación por punto: Es la estimación de un valor único de un parámetro de la población.

    Estimación por intervalo: Es la estimación que incluye un intervalo de valores posibles en el que se considera que está comprendido un parámetro de la poblacióon.

    Para calcular el nivel de confianza deseado con respecto al Zc se tiene:

    Nivel de

    Confianza

    99.73%

    99%

    98%

    96%

    95.45%

    95%

    90%

    80%

    68.27%

    50%

    Zc

    3

    2.58

    2.33

    2.05

    2

    1.96

    1.645

    1.25

    1

    .6745

    ESTIMACIÓN PARA MEDIAS ARITMÉTICAS DE ACUERDO AL TAMAÑO DE LA MUESTRA.

    Para calcular los intervalos de confianza para muestras grandes se utiliza la siguente fórmula:

    X ± Zc _

    " n

    Donde:

    X = Es la media aritmética o promedio muestral.

     = Es la desviación típica o estándar de la población (muestra).

    n = Es el tamaño de la muestra.

    Zc = Es el valor buscado en la tabla de acuerdo al nivel de confianza

    deseado.

    Para calcular la estimacion de intervalos para muestras pequeñas (menores de 30), se utiliza la siguiente fórmula:

    X ± tc S_

    " n

    Donde:

    X = Es la media aritmética o promedio muestral.

    tc = Es el valor buscado en la tabla (t de student) y esta se busca de

    acuerda a los grados de libertad.

    S = Desviación típica o estándar de la muestra.

    n = Tamañ de la muestra.

    En el caso de utilizar la tabla T de student se utilizan los grados de libertad aplicando la soguiente fórmula:

    V = n - 1

    Ejemplo:

    1. Una psicóloga de una industria, desea estimar la media de edad de cierta población de empleadas. Extrae una muestra de de 60 mujeres de la población. La muestra da como resultado una media de edad de 23.67 años. Sabe que la población de edades tiene una desviación típica de 15 años. Construya un intervalo de confianza:

  • 96%

  • 99%

  • Datos:

    X =23.67 años.

     =15 años.

    n = 60

    NC.

    a) 96% Zc= 2.05

    27.6398

    23.67 ± 2.05 (15) = 23.67 ± 30.75 = 23.67 ± 3.9698 =

    "60 7.7459 19.70

    b) 99% Zc= 2.58

    28.6661

    23.67 ± 2.58 (15) = 23.67 ± _38.7 = 23.67 ± 4.9961 =

    "60 7.7459 18.6739

    2. Al final de cada llamada en una estación teléfonica se hace un reporte en el que se indica la duración de la llamada. Una muestra aleatoria simple de 9 reportes da como resultado una media de duración de llamada de 1.2 minutos con uan desviación típica o estándar de 0.6 minutos. Construya un intervalo de confianza:

  • 95%

  • 99% para la media de la población.

  • Datos:

    X =1.2 minutos.

    s =0.6 minutos

    n = 9

    V = 9 - 1 =8

    Tc.

    a) 95% tc = 2.306

    1.6612

    1.2 ± 2.306 (.6) = 1.2 ± _1.3836 = 1.2 ± 0.4612 =

    "9 3 0.7388

    2.5% 2.5%

    95%

    0 .025 .95 .975 1

    b) 99% tc = 3.355

    1.871

    1.2 ± 3.355 (.6) = 1.2 ± _2.013 = 1.2 ± 0.671 =

    "9 3 0.529

    .5% .5%

    99%

    0 .005 .99 .995 1

    3. Las alturas de una muestra de 50 estudiantes mostraron una media de 174.5 cm y una desviación típica de 6.9 cm. determine un intervalo de confianza:

  • 90%

  • 98%

  • Para la altra promedio de todos los estudiantes.

    Datos:

    X =174.5 cm.

     =6.9 cm.

    n = 50

    NC.

    a) 90% Zc= 1.645

    27.6398

    174.5 ± 1.645 (6.9) = 23.67 ± 11.3505 = 23.67 ± 1.0652=

    "50 7.0710 19.70

    b) 98% Zc= 2.33

    176.77

    174.5 ± 2.33 (6.9) = 23.67 ± 16.077 = 23.67 ± 2.2736 =

    "60 7.0710 172.23

    Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de piezas cuyos diámetros son:

    1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01, 1.03 centímetros.

    Encuentre:

  • Un intervalo de confianza del 90%.

  • Un intervalo de confianza del 99%.

  • Para el diámetro promedio de piezas de esta máquina.

    Datos:

    X =1.0055

    Sn-1 =0.02455

    n = 9

    V = 9 - 1 =8

    Tc.

    a) 90% tc = 1.860

    1.0207

    1.0055 ± 1.860 (.02455) = 1.0055 ± 0.0456 = 1.0055 ± 0.0152=

    "9 3 .9903

    5% 5%

    90%

    0 .05 .90 .95 1

    b) 99% tc = 3.355

    1.03296

    1.0055 ± 3.355 (.02455) = 1.0055 ± 0.0824 = 1.0055 ± 0.02746=

    "9 3 .97804

    .5% .5%

    99%

    0 .005 .99 .995 1

    47

    Estadística

    HISTOGRAMA

    POLÍGONO DE

    FRECUENCIAS

    8

    7

    6

    5

    1

    2

    3

    4

    79

    84

    94

    74

    89

    99

    109

    104

    MARCA DE CLASE

    74

    79

    84

    89

    94

    99

    104

    109

    114

    0

    Estadística

    MARCA DE CLASE

    Estadística

    X

    23

    26

    29

    32

    35

    38

    41

    44

    47

    50

    MARCA DE CLASE

    32

    35

    29

    38

    41

    44

    23

    26

    47

    50

    Estadística

    8

    1/36

    2/36

    3/36

    4/36

    5/36

    1/36

    , x = 0, 1, . . . n

    si n " N1