Estadística aplicada a los negocios

Estadística. Distribuciones de probabilidad. Distribución normal. Variables aleatorias. Tablas de distribución de la normal estándar. Programa Minitab 15

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INDICE

PARTE I

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ................................. pág. 3

DISTRIBUCION BINOMIAL ....................................................... pág. 5

DISTRIBUCION DE POISSON ...................................................... pág. 11

PARTE II

DISTRIBUCION NORMAL ...................................................... pág. 19

CONCLUSION ............................................................................ pág. 29

BIBLIOGRAFIA ............................................................................ pág. 30

DISTRIBUCION NORMAL

La distribución normal es también un caso particular de probabilidad de variable aleatoria contínua, fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754).  Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss".  La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media (µ) y su desviación estándar (). Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:

que determina la curva en forma de campana que tan bien conocemos

Existen dos razones básicas por las cuales la distribución normal ocupa un lugar tan prominente en la estadística:

    • Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en la que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.

    • La distribución normal casi se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas, resultados de procesos físicos y muchas otras medidas de interés para los administradores, tanto en el sector público como en el privado.

Propiedad:

No importa cuáles sean los valores de µ y  para una distribución de probabilidad normal, el área total bajo la curva siempre es 1, de manera que podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades. Matemáticamente es verdad que:

  • Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 1 desviación estándar de la media.

  • Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2 desviaciones estándar de la media.

  • Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 3 desviaciones estándar de la media.

  • Relación entre el área bajo la curva de distribución normal de probabilidad y la distancia a la media medida en desviaciones estándar.

    Estas gráficas muestran tres formas diferentes de medir el área bajo la curva normal. Sin embargo, muy pocas de las aplicaciones de la distribución normal de probabilidad implican intervalos de exactamente (más o menos) 1, 2 ó 3 desviaciones estándar a partir de la media. Para estos casos existen tablas estadísticas que indican porciones del área bajo la curva normal que están contenidas dentro de cualquier número de desviaciones estándar (más o menos) a partir de la media.

    Afortunadamente también se puede utilizar una distribución de probabilidad normal estándar para encontrar áreas bajo cualquier curva normal. Con esta tabla se determina el área o la probabilidad de que la variable aleatoria distribuida normalmente esté dentro de ciertas distancias a partir de la media. Estas distancias están definidas en términos de desviaciones estándar.

    Para cualquier distribución normal de probabilidad, todos los intervalos que contienen el mismo número de desviaciones estándar a partir de la media contendrán la misma fracción del área total bajo la curva para cualquier distribución de probabilidad normal. Esto hace que sea posible usar solamente una tabla de la distribución de probabilidad normal estándar.

    El valor de z está derivado de la fórmula:

    En la que:

    • x = valor de la variable aleatoria de interés.

    • µ = media de la distribución de la variable aleatoria.

    •  = desviación estándar de la distribución.

    • z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución. (El uso de z es solamente un cambio de escala de medición del eje horizontal)

    Calculo de la distribución de probabilidad Normal por los métodos:

    a) Utilización de las tablas de la distribución Normal.

    b) Utilización del Minitab 15.

    a) Cálculo de la distribución de probabilidad Normal utilizando las tablas de distribución de probabilidad normal estándar

    Ejemplo:

    Hay un programa de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las habilidades de supervisión de los supervisores de la línea de producción. Debido a que el programa es autoadministrado, los supervisores requieren un número diferente de horas para terminarlo. Un estudio de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva completar el programa es de 500 horas, y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una desviación estándar de 100 horas.

    a) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar requiera más de 500 horas para completar el programa de entrenamiento?

    b) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas en completar el programa de entrenamiento?

    Resolviendo para:

    a) Dibujando una gráfica de distribución Normal (campana de Gauss) se puede observar que la mitad del área bajo la curva está localizada a ambos lados de la media de 500 horas. Por tanto, se deduce que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor mayor a 500 es el área sombreada, es decir, 0.5

    Resolviendo ahora para:

    b) Se tiene que: µ = 500 y  = 100 y sustituyendo valores para la obtención de Z

    Buscar Z = 1.50 en la tabla distribución de probabilidad normal estándar.

    Encontrando una probabilidad de 0.4332.

    Por lo tanto, la probabilidad de que un candidato escogido al azar requiera entre 500 y 650 horas para terminar el programa de entrenamiento es de 0.4332 es decir un 43.32%.

    b) Cálculo de la distribución de probabilidad Normal utilizando Minitab 15.

    Resolviendo para:

    a) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar requiera más de 500 horas para completar el programa de entrenamiento?

    Para obtener la gráfica de la distribución de probabilidad Normal en minitab 15 se selecciona:

    Graph / Probability Distribution Plot…

    En seguida aparecerá una ventana “Probability Distribution Plot” (“Gráfica de Distribución de Probabilidad”) con el puntero seleccionar “View Probability” (Vista de Probabilidad) y una vez seleccionado presionar OK.

    En seguida aparecerá otra una ventana “Probability Distribution Plot - View Probability” (“Gráfica de Distribución de Probabilidad - Vista de Probabilidad”).

    • En la pestaña de Distribution:

      • En el campo de “Distribution:” seleccionar “Normal”

      • En el campo de “Mean” (media =  ) colocar 500 (promedio de horas que se lleva completar el programa)

      • En el campo de “Standar deviation” colocar 100 (desviación estándar de la variable)

    • En la pestaña de Shaded Area:

      • Con el puntero seleccionar “Probability”

      • Con el punetro seleccionar el “Right Tail”

      • En el campo de Probability: colocar 0.5 (ya que para este caso la media ocupa exactamente el punto más alto de la curva por tanto la probabilidad es de 0.5)

    • Una vez alimentado los datos presionar “OK” .

    El programa MIinitab arrojará la gráfica mostrada

    .

    Estos pasos descritos fue simplemente para mostrar la manera de graficarlo.

    Resolviendo para:

    b) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas en completar el programa de entrenamiento?

    Para obtener la gráfica en minitab seleccionar:

    Graph / Probability Distribution Plot…

    En seguida aparecerá una ventana “Probability Distribution Plot” (“Gráfica de Distribución de Probabilidad”) con el puntero seleccionar “View Probability” (Vista de Probabilidad) y una vez seleccionado presionar OK.

    En seguida aparecerá otra una ventana “Probability Distribution Plot - View Probability” (“Gráfica de Distribución de Probabilidad - Vista de Probabilidad”).

    • En la pestaña de Distribution:

      • En el campo de “Distribution:” seleccionar “Normal”

      • En el campo de “Mean” (media =  ) colocar 500 (promedio de horas que se lleva completar el programa)

      • En el campo de “Standar deviation” colocamos 100 (desviación estándar de la variable)

    • En la pestaña de Shaded Area:

      • Con el puntero seleccionar “X Value”

      • Con el puntero seleccionar el “Middle”

      • En el campo de X value 1: colocar 500 (valor medio)

      • En el campo de X value 2: colocar 650 (valor de la probabilidad que toma la vareable en ese punto)

    • Una vez alimentado los datos presionar “OK” .

    • El programa MIinitab arrojará la gráfica mostrada y el valor obtenido

    Es decir, la probabilidad de que un candidato escogido al azar requiera entre 500 y 650 horas para terminar el programa de entrenamiento es de 0.433. (43.30%)

    CONCLUSIONES

    El reto de la materia Estadística Aplicada a los Negocios, impartida por el Ing. Juan Alejandro Garza Rodríguez, nos comprometió a aprender y a utilizar el Minitab como una herramienta más.

    Con los grandes avances tecnológicos hemos ahorrado tiempo para el análisis estadístico, sin embargo la comprensión de la lógica que se utiliza para llegar a la resolución del mismo es algo que nos ha llevado a este estudio, el cual ha sido muy bien conducido por el Ing. Garza, quien nos imparte la asignatura.

    Con el desarrollo de este proyecto y gracias a la comprensión de conceptos y el manejo del programa Minitab entendimos que es una poderosa herramienta estadística que bien aplicada nos podrá ayudar a facilitar los cálculos para la solución de problemas. Lo cual continúa con el propósito esencial: Ahorro de costos y mejora continúa en cualquier ámbito en que nos desarrollemos. Aprendimos que no es limitativa el área en que nos desempeñemos en nuestro trabajo ya que tanto en Ingeniería como Materiales, en Recursos Humanos como en un Negocio Propio, en Comercio o en Industria, o bien por puro pasatiempo en el panorama de la probabilidad estadística, estas herramientas serán siempre de gran utilidad.

    Para esta presentación aprendimos la aplicación y manejo de las Distribuciones de Probabilidades más comunes, la Binomial, la de Poisson y finalmente la distribución Normal.

    Se investigó además de la utilización y funcionamiento del Minitab 15 el razonamiento, cálculo manual y por tablas como el método original como se realizaba, antes de que el Minitab existiera como tal.

    Deseamos compartir esta compilación de información con alguien más que al igual que nosotros tuvimos la necesidad de investigar y realizar un trabajo de este tipo. Análisis y estudios que nos han abierto la mente así como nuestras habilidades para desempeñarnos con mayor eficiencia en nuestras funciones laborales y personales.

    Gracias por tomarse el tiempo de revisar nuestras aportaciones.

    BIBLIOGRAFIA

    Estadística para Administradores. Sexta Edición. Richard I. Levin & David S. Rubin. Editorial Prentice Hall. Capítulo 5 Probabilidad II: Distribuciones, pp.232 - 264

    GE Lighting - AEA. Curso para Green Belts, Iniciativa Sies Sigma Semana #1. Abril 1997.

    Minitab 15 (versión de prueba obtenida de www.minitab.com).

    MeetMinitabEs.pdf (obtenido de www.minitab.com)

    Distribución de Probabilidades (información tomada de www.monografias.com, http://www.monografias.com/trabajos29/distribucion-probabilidades/distribucion-probabilidades.shtml)

    Distribución Binomial (información tomada de www.wikipedia.com, http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial)

    Distribución Normal (información tomada de www.wikipedia.com, http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal

    Distribución de Poisson (http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Distr%20Poisson.htm)

    30

    2

    dx

    x

    -

    "

    -

    2

    2

    2

    (x - µ)

    e

    "2

    1

    f(x) =

    

    x - µ

    Z =

    Distribución normal que ilustra la comparación de los valores de z y las desviaciones estándar.

    

    x - µ

    Z =

    100

    650 - 500

    Z =

    Z = 1.5 desviaciones standard

    Tabla distribución de probabilidad normal estándar

    MAESTRIA EN ADMINISTRACION Y LIDERAZGO

    TEMA:

    "DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD"

    MATERIA: ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS