Estabilidad en sistemas eléctricos

Electrónica. Corriente alterna. Estado transitorio, dinámico, permanente. Inestabilidad. Ecuación de ángulo de potencia. Régimen permanente

  • Enviado por: Del Piero
  • Idioma: castellano
  • País: México México
  • 18 páginas
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ESTABILIDAD

6.1. GENERALIDADES PARA EL ESTUDIO DE ESTABILIDAD

6.1.1 Concepto de estabilidad

El concepto de estabilidad es aplicable a sistemas eléctricos de corriente alterna y se estudian tres casos:

a). Estabilidad en estos casos transitorio (comprenden un periodo de tiempo de 0-1 seg.

b) Estabilidad en estado dinámico (comprende un periodo de tiempo de 1-800).

c) Estabilidad en estado permanente (comprende un periodo de tiempo de 800 seg.).

De los casos anteriores el de mayor interés es el de estabilidad en estado transitorio.

Estabilidad: se dice que un sistema es estable cuando todas sus maquinas permanecen en sincronismo o en paso.

6.1.2. EL ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD

Desde 1920 el problema de la estabilidad de los sistemas de potencia ha sido objeto de una intensa investigación, efectuándose un gran numero de de pruebas de laboratorio y desarrollándose método de análisis que ha sido debidamente comprobados.

Algunos de estos métodos analíticos desarrollados son los sig.

  • diagrama circulare (método de clarke) para el estudio del comportamiento de los sistemas de potencia en el estado permanente. este método es aplicable solo a dos maquinas o a dos grupos de maquinas.

  • un mejor estudio de la teoría de las maquinas síncronas (generalmente haciendo uso de la transformación d y o), en especial del comportamiento del estado transitorio de las maquinas de polos salientes y de rotor cilíndrico.

  • El método de las componentes simétricas para el calculo de los efectos de corto circuitos asimétricos.

  • dos maquinas con dibujo de la curva de oscilación, empleando los métodos de paso a paso para la solución de ecuaciones diferenciales, particularmente la ecuación de oscilación, dando la posición angular de una maquina contra el tiempo.

  • el criterio de áreas iguales para la estabilidad de sistemas de dos maquinas o dos grupos de maquinas.

  • varias maquinas con reducción de la red a las barras internas de las maquinas.

  • varias maquinas con el sistema de barras de detenidas.

  • De los métodos que se mencionan, los que mas emplean en la actualidad, haciendo uso de las comparaciones digitales ,son los 4,6 y 7, con algunas variables.

    6.1.3 EL PROBLEMA DE LA ESTABILIDAD

    Cuando los generadores de corriente alterna en accionados por maquinas de vapor alternativas, uno de los problemas fundamentales de servicio era el de las oscilaciones. Las variaciones periódicas de velocidad. Las variaciones periódicas resultantes en la tensión y la frecuencia se trasmitían a los motores conectados al sistema. Las oscilaciones de los motores, originadas por las variaciones de tensión y frecuencia, hacia que, a veces perdieran completamente el sincronismo, si su frecuencia natural de oscilación coincida con la frecuencia de oscilación originada por las maquinas de accionamiento de los generadores.

    Consideremos un motor síncrono conectado por un transformador a una fuente de energía.

    Veremos mas adelante la energía suministrada al motor viene determinada por la tensión de la fuente, la tensión interna del motor y del ángulo de fase entre estas dos tensiones. E l ángulo de fase depende de la posición del rotor del motor. La potencia aplicada al motor cuando marcha con la velocidad constante es desde luego, igual ala proporcionada por el motor más sus pérdidas. Si aumenta la carga cargada hasta que el motor, este no puede suministrar toda la carga hasta que aumenta la potencia tomada. Por lo tanto, el motor marchara más despacio. El de fase entre la tensión interna del motor y la tensión del sistema aumenta hasta que la potencia aplicada al motor sea igual ala suministrada más las perdidas.

    Mientras el ángulo aumenta, el exceso de potencia exigida por l motor sobre la tomada de la red, se compensa con la energía almacenada por el sistema giratorio. Al disminuir la velocidad del motor, la energía almacenada suministra parte de la carga. Si el motor oscila alrededor de nuevo punto de equilibrio y, eventualmente llaga al reposo, la aplicación de la carga no ha sido causa de la perdida de estabilidad del motor. Si el aumento de carga es excesivamente grande o se aplica muy bruscamente el motor puede perder el sincronismo, en cuyo caso se dice que se ha sobre pasado de limite de estabilidad. El limite de estabilidad es el máximo flujo posible de energía que se puede pasar por un punto particular determinado del sistema cuando todo el sistema o la parte de el ala que se refiere el limite de estabilidad, esta en régimen de estabilidad.

    6.1.4. EL EFECTO DE LA INESTABILIDAD.

    Cuando una maquina sale del sincronismo o de paso con respecto a otras del sistema, se presentan fenómenos desagradables ;por ejemplo un generador no constituye realmente una fuente de potencia eléctrica, un motor no entrega potencia mecánica a la velocidad adecuada, un condensador síncrono no mantiene su voltaje propio en las terminales.

    Para un sistema de potencia en particular, se puede decir que la inestabilidad, además de ocasionar molestias a los consumidores por un mal servicio produce fenómenos indeseables que se pueden resumir como sigue:

    a). si la inestabilidad se presenta como consecuencia de una falla, la liberación de la falla puede no restaurar la estabilidad

    b). se producen fluctuaciones de voltaje que continuo aun después de que se libere la falla

    c) La maquina o grupo de maquinas que quedan fuera de paso con respecto a otras maquinas del sistema pueden volverse a estar en paso o bien quedar desconectadas del resto del sistema

    d).Se tiene una operación incorrecta de los relevadores es decir que los relevadores pueden operar en falso, de tal forma que los interruptores pueden interrumpir circuitos que no es necesarios interrumpir.

    Por todo esto se puede concluir que la inestabilidad es un fenómeno inestable en los sistemas d potencia y a que se produce un mal efecto en la calidad del servicio. En tal virtud un sistema de potencia se debe diseñar y operar de manera que la inestabilidad ocurra muy rara vez.

    6.2 TIPOS DE ESTABILIDAD

    6.2.1. ESTABILIDAD TRANSITORIA EN SISTEMAS DE POTENCIA.

    El análisis de cualquier sistemas de potencia para determinar su estabilidad en régimen transitorio, lleva con sigo la consideración de algunas de3 las propiedades mecánicas de las maquinas del sistemas, ya que después de una perturbación cualquiera las maquinas han de ajustar los ángulos relativos de sus rotores para cumplir las condiciones impuestas de transferencia de potencia.

    La estabilidad transitoria se refiere alas influencias de perturbaciones grandes. Estas perturbaciones se deben normalmente a averías de las cuales las margraves son el corto circuito de las tres fases que es lo que gobierna los límites de la estabilidad transitoria. Los límites también pueden basarse sobre otros tipos de averías, especialmente la derivación de una sola fase a tierra que es, con mucho, la más frecuente en la práctica.

    6.2.1. RESPUESTA DE UN SISTEMA DE POTENCIA A UN DISTURBIO.

    Se presentan varios fenómenos cuando ocurre un disturbio, pero para el estudio de la estabilidad transitoria solo se consideran las sig.

    1. una redistribución de la carga eléctrica sobre cada uno de los generadores, esto se debe a que la red eléctrica equivalente, aque se conecta cada generador, cambia rápidamente, por tanto, cambia la potencia eléctrica que se suministra al sistema de cada unidad.

    Dicho cambio brusco en la potencia eléctrica que entra ala red causa un desequilibrio en los pares aplicados alos rotores de las maquinas, ya que la potencia mecánica que entra a cada maquina no cambia inmediatamente.

    Este desequilibrio es la potencia de aceleración en la ecuación para la dinámica del rotor durante el disturbio.

    2. la respuesta electromecánica esta próxima con una redistribución de la potencia de salida de las maquinas de acuerdo con la energía cinética de las masas rotatorias. Sin en el sistema existen motores grandes sus inercias también se afectaran por esta redistribución de carga.

    3. la respuesta electromecánica resultara una variación en la velocidad del rotor, cuyo giro dará un cambio en la carga eléctrica.

    6..2.1.2. LA ECUACION DE ANGULO DE POTENCIA

    A manera de introducción para el estudio de la estabilidad consideramos un sistema de potencia elemental, formado por un generador síncrono que suministra potencia a un rotor por medio de un circuito compuesto por reactancias inductivas en series, como se muestra en la figura

    EG y EM son los voltajes internos del generador y del motor respectivamente

    XG Y XM son las reactancias del generador y el motor respectivamente

    XL es la reactancia de la línea

    Normalmente los valores EG y EM consideran como constantes y los valores de las reactancias XG Y XM dependen de si el estudio es en estado permanente (reactancia sincronía)o en el estado transitorio (reactancia transitoria).

    Combinando las reactancias de las maquinas y de la línea se tiene una reactancia total.

    X = XG + XL +XM.

    Y se forma un circuito eléctrico o que consiste de dos fuentes de voltaje constante.

    EG y EM que se conectan a través de una reactancia x. ( la resistencia se desprecia).

    Los voltajes EG y EM se generan por el flujo que producen devanados de campo de las maquinas su desfasamiento es el mismo que el ángulo eléctrico entre los rotores de la maquina.

    El diagrama vectorial de voltaje se muestra a continuación:

    EG jxi

    EM

    

    

    Vectorialmente:

    _ _ _

    EG = E M + JX I

    Si se toma como referencia EM,

    _

    EM = EM "O°

    _

    EG = EG "

    _

    EG = "-

    _

    EG* es el conjugado de EG

    La potencia de salida del generador se da por :

    _

    P = RE (EG * I)

    RE representa la parte real

    _ _

    P = RE (EG * EG - EM .)

    JX

    = RE (EG "- * EG" - EM "0 )

    X" 90°

    DESARROLLANDO Y SIMPLIFICANDO

    P = EG EM

    X.SEN

    Esta ecuación se conoce como ecuación de ángulo de potencia . Se puede observar que la potencia que se trasmite del generador al motor depende del desfasamiento entre EG Y EM.

    La máxima potencia que se trasmite en estado permanente del generador al motor ocurre cuando  =90°.

    Pmax = EG EM

    X

    Se dice que Pmax es el límite de la estabilidad en el estado permanente del generador y representa la máxima potencia que se puede trasmitir sin perder el sincronismo.

    La educación se puede3 graficar, así se obtiene lo que se conoce como curva de ángulo de potencia de dos maquinas con resistencia de red desprecia

    La potencia que se trasmite durante un disturbio se conoce como limite de estabilidad transitoria; por debajo de tal potencia del sistema es estable y por arriba es inestable.

    6.2.2. LA ESTABILIDAD DE REGIMEN PERMANENTE

    En condiciones de equilibrio, el circuito equivalente de un sistema de dos maquinas se considera que es una red simple de dos partes de terminales la tensión del extremo trasmisor para las condiciones de régimen permanente, es la tensión de la reactancias sincrónica del generador, y la tensión de el extremo receptor es la tensión detrás de la reactancia sincrónica del motor.

    A partir del diagrama de círculo de una red de dos pares de terminales, se desarrollan ecuaciones para la potencia en los extremos de trasmisor y receptor de la red. Las ecuaciones se aplican al sistema de dos maquinas y dan la potencia desarrollada del generador y el motor si las tensiones de tras de las reactancias sincrónicas de las maquinas sustituyen Vs y Vr si las constantes generalizadas del circuito incluyen la red formada por las impedancias sincrónicas de las maquinas y del circuito que las conecta. Las ecuaciones se transforman en las

    MOTOR:

    2

    Pm: | Eg|* |Em| .cos(-) - |A| * |Em| cos(- )

    |B| |B|

    GENERADOR:

    2

    Pg:- | Eg|* |Em| .cos(-) + |D| * |Eg| cos(- )

    |B| |B|

    de igual forma a partir de las ecuaciones para la potencia en los extremos trasmisor y receptor de la red, la potencia máxima desarrollada por el motor y el generador puede determinarse por las ecuaciones

    2

    Pm,max: | Eg|* |Em| - |A| * |Em| cos(- )

    |B| |B|

    2

    Ps,max: | Eg|* |Em| . + |A| * |Em| cos(- )

    |B| |B|

    la potencia dada por las ecuaciones anteriores es la potencia por fase si las tensiones son de línea a neutro si las tensiones. de las ecuaciones son tensiones trifásicas entre líneas, la potencia e la potencia total trifásica. Como se explico en la otra sección si el circuito contiene resistencias, no puede alcanzarse la máxima potencia de salida del generador, ya que la máxima potencia de entrada a motor sobrepasara antes de obtenerse la máxima salida del generador.

    En la figura 15.1se han representado los diagramas de circulo de potencia desarrollada por el generador y el motor de un sistema de dos maquinas .

    K Wr Pgmax

    inductiv 

     = 

    circulo de potencia

    del generador kw

    circulo de potencia

    del motor

     = 

    kwr capacitiva Pm (max)

    Diagrama de círculo del generador y el motor de un sistema de dos maquinas.

    Las circunferencias se han dibujado para valores iguales de Eg y Em son similares a las circunferencias de los extremos trasmisor y receptor discutidos en otros capítulos. El Pm.max representa la potencia máxima que puede ser desarrollado por el motor. si el ángulo de par de  es menor que la , cualquier carga adicional sobre el árbol dará lugar a un aumento de  . la carga puede aumentarse hasta que  = , siendo entonces máxima la potencia desarrollada por el motor . si la carga en el árbol exige una potencia mayor que la desarrollada para  =, continuara creciendo ya que el motor no puede mantener la velocidad del sincronismo si la potencia por desarrollada es menor que la potencia de salida del árbol. El exceso de potencia necesaria sobre la potencia desarrollada, debe ser suministrada a expensas de la energía almacenada en el sistema giratorio por la disminución de su velocidad.

    El incremento resultante para  sobre el valor de  da lugar a una potencia desarrollada mas baja y el motor disminuye aun mas su velocidad, dando lugar a valores mayores  y mayor disminución de potencia. El motor acabara por perder el sincronismo completamente.

    El unto Pgmax de la figura anterior es la potencia maxima teorica producida por el generador, pero no es preciso considerarla en el sistema de las maquinas, puesto que el motor pierde el sincronismo cuando  =  y antes de que el generador desarrolle su maxima potencia. La diferencia entre las dos potencias desarrolladas por el motor y el generador, para cuaquier angulo de par es la perdida de potencia en la red de conexión.

    Si se desprecia la resistencia el diagrama de impedancia de secuencia positiva para un sistema de dos maquinas es el representando en la figura siguiente en el que la X influyer las reaciones sincronicas por unidad del generador y el motor, las reacciones del circuito de conexión. Dando que se desprecian la resistencia y la admitancia en el paralelo las constantes generalizadas por el circuito de red son:

    A = 1"0° B =|X| "90°

    C = 0 D = 1 " 0°

    *al sustituir las constantes anteriores en las ecs. (capitulo 6.2.2).

    la pot4encia tranferidaq entre dos maquinas biene dada por

    Pmax: | Eg|* |Em| . sen

    |X|

    *de igual forma de las ec uaciones (15.3 y 15.14) la potencia tranferida vale

    Pmax: | Eg|* |Em| . (15.6)

    2

    como se desprecia la resistencia , no hay perdida del tipo I R y toda la potencia electrica dad por el generador la toma el motor.

    Despreciando la resistencia y la capacidad en pararlelo se obtiene para el motor un valor calculado mas alto para que el klimitev de estabilidad en el regimen permanente en el que realmente existe como puede verse comparando con las ecc. 15.3 y 15.6. la constante || en la ecuación 15.3la impedancia en serie con el circuito y con la resistencia incluye || es ligeramente mayor que el termino |X | en la ecuación 15.6 . el angulo que es el angulo de impedancia es menor que 90° si se considera la resistencia. Estos dos factores hacen que la potencia calculada incluyendo la resistenia sea mas pequeña que la calculada si esta se esprecia; esto es la omision de R da un resultado mas optimista si se incluye la capacidad en pararlelo, la línea de trasnporte entre los extremos trasmisor y receptor se puede representar por el  nominal o equvalente para un  simetrico, las ecuaciones 6.20 dan para las constantes generalizadas de circuito,

    A= 1 + ZY Y B = Z

    2

    Si Y = 0, la constante A es 1, 0/0°, pero si se incluye tanto la resistencia como la capacida en paralelo, |A| es menor que 1,0 y es un angulo  es el angulo positivo pequeño. La disminución de |A| y el aumento de X tiene efectos opuestos sobre la potencia maxima. Ordinariamente, despreciar la capacidad en paralelo proporciona un resultado pesimista de limite de estabilidad. En los calculos de estabilidad es preciso usar el mismo criterio respecto ala inclusión en el analisis de resistencia y la admitancia en paralelo que en cualquier otro tipo de calculo.es frecuente que el grado de exactitud que se obtiene, haciendo un calculo mas preciso, no compense las complicaciones que trae consigo. En el caso de la estabilidad el regimen transitorio, la resistencia es importante en las oscilaciones amortiguadas y desperdiciar lleva aun resultado pesimista.

    En la ecuación 15.6 sugiere que los metodos a utilizar para aumentar los limites de estabilidad en el regimen permanente de un sistema un aumento en la exitacion del generador del motor o de ambos aumenta la potencia maxima que puede ser transferida entre las maquinas . si las tensiones internas se aumentan, sin aumewetar las potencias transferidas en el angulo de par  disminuye como puede deducirse en la ecuación 15.5. cuaquier reduccion en la reactancia de la red da lugar a un aumento de limite de estabilidad, si las lineas de transporte contribuyen con una cantidad considerable a la reactancia total de sistema se puede obtener un aumento de limite de estabilidad utilizando dos lineas paralelas. Por dismnucion de l reactancia de la línea aumenta el limite de la estabilidad .

    6.2.2.1.METODO DE CLARKE PARA DETERMINAR EL LIMITE DE ESTABILIDAD DE ESTADO PERMANENTE .

    vamos asuponer que se tiene una red sin perdidas es decir se desprecian la s resistencias y se considera que la red es de reactancia puraspara dos maquinas finitas se tiene:

    La grafica vertical que se construye para la determinación de limite de estabilidad en estado permanente se conoce como grafica de clarke y es la que se ndica a continuación:

    D

    E2

    V2

    G 0 90°= H X / I

    V1 A

    E1

    F

    LA POTENCIA MAXIMA QUE SE TRASMITE ES:

    P = E1 E2 .

    XI +Xl+X2

    El problema consisite en determinar e1 y e2, si conocemos V1 y V 2, para calcular P.

    El procedimientopara trazar la grafica de clarke se indica a continuación :

  • se indica a escala sobre una línea recta(vertical)

  • las caidas de voltaje X1I, X2I, Y XlI.

    b)se determinan los lugares geometricos para los vectores V1 y V2, o sea

    V1 . = constante

    V2

    Por ejemplo, se puede tomar un 75% de V1 y haciendo centro en B se trax¿za un arco cuyo centro este en F hasta cortar lo anterior y se determina un ppunto H. haciendo centro en D orto arco con radio V1 y se hace centro en D orto arco con radio V2 el punto de corte es el punto G.

    c)la union de los puntos G y H determina el punto  sobre el semicírculo que se trazo previamente por c punto medio de DF.

    d) las rectas OB =V2, OA = V1 permiten determinar automáticamente E1 y E2.

    Los valores de E 1 y E2 se pueden determinar tambien en forma analitica del modo que se indica a continuación

    a

    IX1

    E1 b

    V1

    IX2

    0 90° c

    V2

    d

    E2 IX2

    e

    del triangulo recdtangulo oac

    2 2

    Em=E1 - C (13.3)

    Del tringulo obc

    2 2 2

    Em = V1 - ( C - IX1) (13.4)

    Del triangulo oec:

    2 2 2

    Em = E2 - B (13.5)

    Del triangulo odo :

    2 2 2

    Em= V2 - ( B - IX 2) (13.2)

    2 2 2 2

    E1 + E2 = ( B + C) = ( IX ) (13.7)

    DONDE : X = X1 + Xi + X2

    DE 13.3 Y 13.4

    2 2 2 2

    V1 = E1 - C + ( C - IX1)

    2 2 2 2

    V2 = E1- 2 (IX1+ I X1)

    De 13.5 y 13.6.

    2 2 2 2

    V2 = E2 - B + ( B - IX2)

    2 2

    = E2 - 2 B I X2 + (I X2)

    De 13.3 y 13.5

    2 2 2 2

    E1 - E2 = C - B = ( C + B) ( C - B )

    DE 13.7

    2 2 2 2

    E1 + E2 = ( B + C) = ( I X)

    Sumando y restando las ecuaciones anteriores se tiene

    2

    E1 = ( B + C) C = IXC ( 13.10)

    2

    E1 = ( B + C) B= IXC (13.11)

    DE 13.7

    I = E1 +E2 (13.12)

    2

    X

    DE 13.10

    CI = X

    E1

    De 13.10

    CI = X (13.13)

    E12

    De 13.10

    BI = X (13.14)

    E22

    Substituyendo 13.12, 13.13 y 13.14 por 13.8, 13.9 y 13.7

    Substituyendo 13.12 por 13.8

    V12 = E12 - 2E12 = X1_ + (E12 + E22) X2_

    X X12

    V12 = E12 (1 - X1_ ) 2 + E22 X2

    X X12

    Multiplicando por X2

    V12 X2 = E12 (X2 - X12) + E22 X12

    V12 X2 = E12 (Xe - X2)2 + E22 X12 (13.15)

    Substituyendo 13.13 por 13.9

    V22 X2 = E12 X22 + E22 (Xe + X1)2 (3.16)

    Resolviendo el sistema de ecuaciones 13.15 y 13.16 se encuentran las incongnitas E1 y E2 .

    E12 = __[V12 (Xe + X1)2 - V22 X12 ] X2 (13.17)

    (Xe + X2)2 (Xe + X1)2 - X12 X22

    E12 = __[V2 (X + X2)2 - V12 X22 ] X2 (13.18)

    (Xe + X2)2 (Xe + X1)2 - X12 X22

    Simplificando los denominadores se tiene

    E12 = __[V2 (X + X)2 - V22 X12 ] X2 (13.19)

    (XeX + 2X1 X2) XeX

    E22 = __[ V22 (Xe + X2)2 - V12 X22 ] X2 (13.20)

    (XeX + 2X1 X2) XeX

    El limite de estabilidad es:

    Pm = E1 E2

    X

    Desarrollando, nos da la ecuación 13.21

    V12 V22 [ (Xe + X1)2 (Xe + X2)2 + X12 X22 ]

    _________________________________________________

    Pm = - V14 X22 (Xe + X1)2 - V24 X12 (Xe + X2)2

    (Xe X + 2X1 X2 ) Xe

    (13.21)

    Si V1 = V2 = V la ecuación 13.21 se simplifica:

    Pm = V2 (Xe + 2X1) + (Xe + 2X2) (13.22)

    XeX + 2X1 X2

    Referencia:

    Libro: Int. al análisis de SEP

    Autor: Gilberto E. Harper

    Pag: 220

  • Extensión del diagrama de Clarke para cubrir cualquier red de reactancias.

  • Cualquier red de reactancias a través de la cual se transmite potencia de una máquina sincrona a otra se puede reducir a un circuito cuyas reactancias equivalentes estén en serie.

    El procedimiento consiste en reducir la porción de la red externa de las máquinas sincronas a un circuito equivalente, que será de reactancias puras si la red original también lo era. Como las máquinas se representan asimismo por una fuente en serie con una reactancia se tiene una red con reactancias puras como la que se ilustra en la figura.

    'Estabilidad en sistemas eléctricos'

    Las reactancias capacitivas en derivación que aparecen en la figura pueden ser también inductivas.

    La simplificación de circuito anterior se hace aplicando el teorema de Thevenin hacia la izquierda y a la derecha de la reactancia X l.

    El teorema de Thevenin establece que una red lineal de dos terminales se puede reemplazar por una fuente de voltaje en serie con una reactancia, sin alterar las condiciones externas de la red.

    La impedancia del circuito equivalente de Thevenin es igual a la impedancia de entrada de la red original con su fuente de voltaje interna en corto circuito.

    X1´ = X1 XS_ (13.23)

    X1 + XS

    En forma análoga para el motor:

    X2´ = X2 Xr_ (13.24)

    X2 + Xr

    La fuente de voltaje que establece el teorema de Thevenin es el voltaje de circuito abierto en las terminales de la red.

    Para el generador es el voltaje a través de Xs con X1 desconectada

    'Estabilidad en sistemas eléctricos'

    E1 Xs = E1´ (X1 + Xs)

    E1´ = Xs E1 (13.25)

    X1 + Xs

    En forma análoga para el motor:

    E2´ = Xr E2 (13.26)

    X2 + Xr

    Ejemplo

    Para el sistema que se ilustra en la figura siguiente se construyó el diagrama de Clarke y se calcularán E1=1.50, E2=1.0.

    Los datos son los siguientes:

    X1=0.40, Xe=1.0, X2=0.30, Xr=Xs= -j 5.0

    'Estabilidad en sistemas eléctricos'

    Solución:

    La potencia máxima transmitida se da por:

    Pm = E1´ E2´ .

    X1´ + Xe + X2´

    Según el teorema de Thevenin, donde:

    X1´ = X1 Xs = 0.40 (-5.0) = 0.435

    X1 + Xs 0.40 - 5.0

    X2´ = X2 Xr = 0.30 (-5.0) = 0.320

    X2 + Xr 0.30 - 5.0

    E1´ = Xs x E1 = -5.0 x 1.50 = 1.63

    X1 + Xs 0.40 - 5.0

    E2´ = Xr x E2 = 5.0 x 1.0 = 1.06

    X2 + Xr 0.30 - 5.0

    Pm = 1.63 x 1.06 = 1.728 . = 0.985

    0.435 + 1.0 + 0.320 1.755

    El problema consiste en determinar E1 y E2, si conocemos V1 y V2, para poder calcular P.

    El procedimiento para trazar la gráfica de Clarke se indica a continuación:

  • Se indican a escala sobre una línea recta (vertical) las caídas de voltaje X1I, X2I, y XeI.

  • Se determinan las lugares geométricos para los vectores V1 y V2, o sea

  • V1 . = constante

    V2

    Por ejemplo, se puede tomar un 75% de V1 y haciendo centro en B se traza un arco: con el 75% de V2 se traza un arco cuyo centro esté en F hasta cortar al anterior y se determina un punto H.

    Haciendo centro en B se traza un arco con radio V1 y se hace centro en D otro arco con radio en V2 el punto de corte es el punto G.

  • La unión de los puntos G y H determina el punto 0 sobre el semicírculo que se trazó previamente por c punto medio de DF.

  • Las rectas OB= V2, OA= V1 permiten determinar automáticamente E1 y E2.

  • G

    M