Espacios vectoriales

Propiedades de espacio vectorial. Dimensión. Base. Combinación lineal. Generador. Independencia lineal. Grado. Subespacio. Linealmente independiente

  • Enviado por: Alejandro Herrera
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 8 páginas
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Si V={ P(x) / P(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn , ai " R }.Demostrar que V es un espacio vectorial sobre el campo de los R y calcular la dim(V).

Sean , " R , f(x),p(x),g(x) " P(x)

  • condicion cerradura

  • P.D. f(x)+g(x) " P(x)

    f(x)+g(x)= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)

    = (a0+b0)+(a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn) " P(x)

    P.D p(x)" P(x)

    p(x)=  ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)= a0+a1x+a2x2+…+anxn " P(x)

    "la suma y la multiplicación por escalar son cerrados

  • condición Asociativa.

  • P.D. f(x) + [g(x) + p(x)] = [f(x) + g(x)] + p(x)

    f(x) + [g(x) + p(x)]= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + [(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) + (c0+c1x+c2x2+c3x3+......+cnxn)]

    = a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn +[ (b0 + c0) + (b1x + c1x)+…..+ ( (bnxn + cnxn)]

    = (a0 + (b0 + c0)) + (a1x + (b1x + c1x))+…..+ (anxn + (bnxn + cnxn))

    = ((a0+b0)+c0)+((a1x + b1x)+c1x)……+(anxn + bnxn)+cnxn)

    =[ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)] +(c0+c1x+c2x2+c3x3+......+cnxn)

    = [f(x) + g(x)] + p(x)

    " se cumple la condición

  • Elemento neutro

  • "! e " P(x) " " a " P(x) , e(x) + p(x) = p(x) + e(x) = p(x)

    sea e(x) = 0 + 0x + 0x2 + ......+ 0xn

    e(x) + p(x) = (0 + 0x + 0x2 + ......+ 0xn) + (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )

    = (0+a0) + (0x + a1x )+…..+(0xn + anxn)

    = (a0 + 0) + (a1x + 0x)+….+(anxn + 0xn)

    = a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn

    = p(x)

    "se cumple

  • Elemento inverso

  • " p(x) " P(x) "! p(x)-1 " P(x)" p(x) + p(x)-1 = e(x)

    sea p(x)-1 = (-a0+(-a1)x+(-a2 )x2+(-a3 )x3+......+(-an )xn

    p(x) + p(x)-1 = (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) + (-a0+(-a1)x+(-a2 )x2+(-a3 )x3+......+

    (-an )xn

    = (a0 - a0) + (a1x - a1x)+…..+(anxn - anxn)

    = 0+0x+….+0xn = e(x)

    "se cumple

  • P.D. (+) p(x) = p(x) + p(x)

  • (+) p(x) = (+) (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )

    = [(+)a0 + (+)a1x+…+ (+)anx2]

    =[a0+a0 + a1x+a1x+….+ anxn+anxn]

    = [(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )+ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )]

    = p(x) + p(x)

    "se cumple

    vi) P.D. (p(x)) = ()p(x)

    (p(x)) = [ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)] = (a0 )+ (a1x)+…+ (anxn)

    = ()a0 + () a1x +…..+ ()anxn

    =()(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)

    =( )p(x)

    "se cumple

    vii) P.D. [p(x) + f(x)] = p(x) + f(x)

    [p(x) + f(x)] = [ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)]

    =[(a0+b0) )+(a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn)]

    =a0 + b0 + a1x + b1x+….+anxn + bnxn

    = (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)

    = p(x) + f(x)

    " se cumple

    viii) " x " P(x) , 1*p(x) = p(x)

    1*p(x)= 1*(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)

    =1*a0+1*a1x+1*a2x2+1*a3x3+......+1*anxn

    = a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn = p(x)

    "se cumple

    ix) Suma Conmutativa

    f(x) + g(x) = g(x) + f(x)

    f(x) + g(x) =(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)

    =((a0+b0)+((a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn))

    =((b0+a0)+((b1x + a1x)+……+(bnxn + anxn)

    =(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) + (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)

    = g(x) + f(x)

    ! como se cumplen las nueve propiedades

    "P(x) es un espacio vectorial

    la dimensión de un espacio vectorial es el numero de vectores de una base del espacio vectorial.

    P(x) =(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) = [ a0 a1………..an]

    "dim(V)=n

    Dado W ={P(x) / grado P(x)"}, verificar que {1 2 3} es una base de W donde : 1 =-3x , 2 = 1+x2 , 3 =x2-5

    ¿Es generador?

    Sean 1 ,2 ,3 " R y a0 + a1x + a2x2 " P(x)

    a0 +a1x + a2x2 = 1 (-3x) + 2 ( 1+x2) + 3 (x2-5)

    2 - 5 = a0

    -3,1 =a1

    2 + 3 =a2

    "si es generador

    es linealmente independiente?

    (a0,a1,a2) = (0,0,0)

    ! "1 = 2 = 3= 0

    " es una base para P(x)

    Demostrar que si {v1, v2,.......,vn} es base de V y si

    U1 = v1

    U2 = v1 + v2

    .

    .

    un = v1 + v2 +.......+ vn

    entonses {u, u,.......,un} es base de V

    Si V= { p(c) / grado p(x) " 4 } y si A = { p(x) " V/ p(4) =p(2) =0}, demostrar que A es un sub espacio de V

    • ¿ 0 " A? Si

    • ¿ (x+y) " A ?

    sea  " R, x,y " A

    [(a0 + a3 x3 + a4x4) + (a5 + a8 x3 + a9x4)]

    = [(a0 + a5) + (a3 + a8 )x3 + (a4 + a9 )x4] " A

    " A es un subespacio de P(x)