Espacios vectoriales

Subespacio. Combinación lineal. Sistema de generadores. Dependencia e independencia lineal. Base, bases. Vectores. Aplicación. Núcleo e imagen

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Tema 1. Espacios vectoriales

Un conjunto V es espacio vectorial respecto a la suma y producto por un escalar cuando cumple las siguientes condiciones:

  • V respecto a la suma es grupo abeliano.

  • V respecto al producto por un escalar:

  • Ley de composición externa entre RVV

  • ð (u + v) = ðu + ð v

  • (ððð ð v = ðv + ðv

  • (ððð v = ð (ðv)

  • E. Neutro escalar = 1

El conjunto (Rn, +, .ðð :

  • (V2, +) Grupo Abeliano:

    • LCI

    • Conmutativa

    • Asociativa

    • E. Neutro

    • E. Opuesto

  • (V2,. ð)

    • LCE

    • ð (u + v) = ðu + ðv

    • (ð ð ðð v = ðv + ðv

    • (ððð v = ð (ð v)

    • E. Neutro

    Luego todos los conjuntos de números reales son vectores

    Subespacio vectorial

    Un conjunto A es subespacio vectorial del espacio vectorial V cuando se cumple:

    • A es subconjunto de V

    • A es espacio vectorial respecto a las mismas operaciones que V

    Comprobación:

  • (A, +)

    • u " A y v " A (u + v ) " A

    • E. Neutro = 0 " A

    • E. Opuesto = -v " A

  • (A, .ðð

    • ð " R y u " A ðu " A

    Luego para que un conjunto A subconjunto de V sea subespacio vectorial, basta con que se verifique:

    " (ð, ðð " R y " (u, v) " Au +v " A

    Combinación lineal

    v es combinación lineal de u1, u2, un " V si " (n, n) " R / v =1u1 + 2u2 +...+nun

    Sistemas de generadores. Sistema generado

    Dado el conjunto S= {u1, u2,…,un} de un espacio vectorial V llamamos sistema generado por S -L(S)- al conjunto formado por aquellos vectores que son combinación lineal de los vectores de S. A S se le llama sistema de generadores de L(S).

    L(S) = {v = u1 + u2 + …+un}

    Teoremas relativos a sistemas de generadores

    • Si los vectores de S pertenecen al espacio vectorial V, L(S) es un subespacio vectorial de V

    • Si en un sistema de generadores se suprime un vector por ser combinación lineal de los restantes, se obtiene un nuevo sistema que genera el mismo subespacio vectorial que el primero

    • En un sistema de generadores, siempre se podrá sustituir algún vector por otro no nulo combinación lineal de los ya existentes, obteniéndose un nuevo sistema que genera el mismo subespacio vectorial que el primero

    Dependencia e independencia lineal

    Los vectores u1 , u2,…, u del espacio vectorial V son linealmente dependientes (constituyen un sistema ligado) si existen unos escalares 1,2,…,n no todos necesariamente cero tal que:

    1u1+2u2+…+nun=0

    Si por el contrario, esta igualdad sólo se verifica cuando todos los escalares son cero, decimos que los vectores son linealmente independientes (constituyen un sistema libre).

    Teoremas relativos a dependencia e independencia lineal

    • Si a un conjunto de vectores linealmente dependientes le añadimos más vectores del mismo espacio vectorial, el conjunto obtenido es también un sistema ligado.

    • Si tenemos un conjunto de vectores linealmente independientes, cualquier subconjunto suyo será también un sistema libre

    • La condición necesaria y suficiente para que unos vectores sean linealmente dependientes es que al menos uno de ellos se pueda expresar como combinación lineal de los restantes.

    • Todo conjunto que contenga al vector 0 es un sistema ligado.

    Base de un espacio vectorial

    El conjunto B={u1+ u2+…+un}es una base del espacio vectorial V si B es sistema de generadores de V y si los vectores de B son linealmente independientes.

    Teoremas relativos a bases

    • Si B es una base del espacio vectorial V, todo vector de V se puede escribir de forma única como combinación lineal de los vectores de B. A los escalares de esa combinación lineal se les llama coordenadas o componentes del vector respecto de la base.

    • Teorema de Steinitz: sea A un conjunto de vectores linealmente independientes de V; B, una base de V y S un sistema de generadores de V, se cumplirá siempre que el cardinal de A es menor o igual que el de B y este menor o igual que el de S.

    Cardinal A " Cardinal B " Cardinal S

    • Teorema de las bases: todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen igual número de vectores. A dicho número se le llama dimensión del espacio vectorial y es igual al máximo número de vectores linealmente independientes que dicho espacio vectorial contiene.

    Rango de un conjunto de vectores

    Es el máximo número de vectores linealmente independientes que hay en dicho conjunto; es decir, la dimensión del espacio vectorial que generan.

    Aplicación lineal

    La aplicación f establecida entre V y V' es una aplicación lineal u homomorfismo si verifica "  " R y " u v " V:

    • f (u + v) = f(u) + f(v)

    • f (u) = f(u)

    Tipos de aplicaciones lineales

    • Monomorfismo: cuando f es inyectiva (imagen de uno o ninguno)

    • Epimorfismo: cuando f es suprayectiva (coinciden final e imagen)

    • Isomorfismo: cuando es biyectiva (inyectiva y suprayectiva)

    • Endomorfismo: cuando V = V'

    • Automorfismo: cuando V = V' y es biyectiva.

    Núcleo e imagen de una aplicación lineal

    Dada la aplicación lineal f establecida entre V y V', llamamos núcleo de f -Ker(f)- al conjunto formado por aquellos elementos de V que tienen como imagen el vector 0 de V'

    Llamamos conjunto imagen de f al conjunto de vectores de V' que son imagen de algún vector de V

    Teoremas relativos a aplicaciones lineales

    • Para que la aplicación lineal f establecida entre los espacios vectoriales sea aplicación lineal basta con que se verifique:

    " , " R y " u,v " V f(u+v) = f(u) + f(v)

    • f(0) = 0

    • El núcleo y la imagen de una aplicación lineal son subespacios vectoriales respectivamente de los conjuntos inicial y final. A la dimensión del conjunto imagen se le llama rango de la aplicación lineal.

    • Dada la aplicación lineal f establecida entre los espacios vectoriales V y V', si el conjunto S={u1, u2,…,un} es sistema generador de V, el conjunto S'={ f(u1), f(u2),…,f(un)}es sistema generador del conjunto imagen.

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