Energía potencial elástica

Física General. Fluidos. Presión hidrostática. Principio de Arquímedes. Teorema de Bernoulli

  • Enviado por: Ivan Curicho
  • Idioma: castellano
  • País: Ecuador Ecuador
  • 30 páginas
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ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA

X1

F

X2

El cuerpo de la fig. tiene una masa m está inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal son razonamiento y está sujeto el extremo de un resorte, cuando el resorte se le estira o comprime aparece una fuerza elástica que tiende a restablecer las dimensiones iniciales del mismo. Esta fuerza elástica que se crea es directamente proporcional a la determinación, que es de sentido contrario al desplazamiento (LEY DE HOOKE).

F

Kx3

Kx2

Kx1

W

X1 X2 X3 X

En el gráfico fuerza de formulación K es la elástica que depende de las características del resorte; x es el desplazamiento (diferencia entre longitud original y longitud deformada).

El trabajo desarrollado está representado por el área bajo la curva del diagrama fuerza-deformación.

(1)

La ecuación (1) representa energía potencial elástica adquirida por un resorte al deformarse

La energía potencial elástica se define como la capacidad que tiene un resorte para producir trabajo en virtud de su deformación.

Las unidades de la energía potencial elástica son los mismos del trabajo (SI: Joule, Cgs: ergios).

1N = 105 dinas.

J = N*m

erg = din * cm 105*102 = 107 erg.

Ejercicios

Un resorte se comprime 25 cm luego que se le aplica una fuerza de 40N determinar:

  • Corriente elástica del resorte.

  • EPe

  • F=R x b)

  • EPe = 0.5 (160 )(0,25m)2

    K = 40N k EPe = 5(J).

    0,25m

    K = 160

    Un resorte tiene una constante elástica de 40.000 dinas/cm y se ha deformado 12 cm. Determinar:

  • La fuerza aplicada que provocó tal deformación

  • Energía Potencial Elástica

  • F=R x

  • F = 40.000 * 12 cm

    F = 480000 dinas

  • EPe = (40000 )(12 cm)2

  • EPe = 2,88 * 106 ergios.

    VARIACIÓN DE LA ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA

    k

    B A

    k

    B A

    F

    KxA

    KxB

    W

    X

    XB XA

    El cuerpo de la figura hace una masa m, está sobre una superficie horizontal sin rozamiento y sujeto al extremo de un resorte que tiene una constante elástica k.

    Cuando se deforma el resorte desde el punto A hasta el punto B por la acción de una fuerza variable F, el trabajo efectuado m, la fuerza elástica es igual al área bajo la recta en el gráfico fuerza desplazamiento.

    W = EPeA - EPeB

    W = -( EPeA - EPeB)

    (1)

    La ecuación (1) nos indica que el trabajo realizado por la fuerza es igual a la variación de la energía potencial elástica tomada con signo negativo.

    La energía potencial elástica se comporta de manera contraria de la energía cinética.

    El trabajo realizado pro la fuerza elástica depende de los desplazamientos inicial y final.

        • Cuando el cuerpo se aleja de la posición de equilibrio el trabajo de la fuerza elástica recuperadora es negativa, el sistema gana energía.

        • Cuando el cuerpo se acerca de la posición de equilibrio, el trabajo de la fuerza elástica recuperadora es positiva, el cuerpo pierde energía.

    Ejercicios

    Un resorte tiene una constante elástica de 75 N/m. Determinar:

  • La energía potencial elástica cuando X1 = 50cm

  • La energía potencial elástica cuando X2 = 25cm

  • El W de la fuerza para llevar el cuerpo desde X1 hasta X2.

  • = (0.5)(75 N/m) (0.5 m)2

    = 937 (J)

    = (0.5)(75 N/m)(0.25m)2

    = 2.34J

    = -(EPe2-EPe1)

    = -(2,34J - 9,37J)

    = 7,03(J )//

    FLUIDOS

    INTRODUCCIÓN

    La mayor parte de la materia se la clasifica en 3 estados: líquido, sólido y gaseoso.

    Los sólidos y los líquidos llamados también materia condensada, tienen cierto grupo de propiedades en común.

    Por ejemplo: Son relativamente incomprensibles, a la vez que su densidad permanece relativamente constante cuando varia su temperatura.

    Por otro lado los gases son fácilmente comprensibles, y su densidad cambia de manera sustancial con la temperatura.

    Se puede agrupar en forma conjunta a los gases y a los líquidos bajo la denominación común de fluidos.

    La palabra fluido proviene del latín “fluere” que significa fluir.

    Los líquidos fluyen para adquirir la forma del recipiente que los contiene.

    Los sólidos no comparten esta propiedad ya que sus átomos permanecen relativamente fijos en su ordenamiento.

    En los fluidos los átomos pueden moverse con relativa oportunidad. Ciertas sustancias no pueden ser clasificadas fácilmente, por ejemplo, el vidrio parece que mantiene su forma, pero después de un periodo de tiempo de la parte inferior es mas gruesa que la parte superior.

    Otra forma especial de sustancia son los plásticos que se los puede moldear o dar forma; por ejemplo la arcilla mantiene su forma relativamente bien, pero al aplicarle presión podemos forzarla a adoptar de estado debido a los cambios de temperatura que podrá fundir o evaporar una sustancia, pero los cambios de estado debido a los cambios de presión sobre ella es muy aplicada, como por ejemplo la sustancia aluminio puede estirarse para hacer de ella el alambre, al hacerlos pasar a través de orificios pequeños.

    Existe otra clase de materia que no puede fácilmente clasificarse, como sólido, líquido o gas.

    El plasma es un gas que toma una mezcla eléctricamente neutro + = -; las fuertes interacciones eléctricas que se dan por el entorno y entre los átomos hace que su comportamiento sea bastante diferente al de un gas ordinario. Por ejemplo: el gas que contiene una lámpara fluorescente se convierte en plasma cuando la lámpara se enciende en una escala mucho más grande, el sol y las demás estrellas son bolas de plasma, y así mucha de la materia de universo existe en esta forma.

    Los sólidos son capaces de soportar una variedad de esfuerzos: tensión, comprensión, corte, etc., ya que sus moléculas están dispuestas de manera ordenada.

    En los líquidos las distancias intermoleculares son generalmente más grandes que en los sólidos; de aquí que las fuerzas intermoleculares varían fuertemente con la distancia.

    Tienden a ser más débiles que los sólidos.

    En los gases las moléculas interactúan débilmente, por lo que son incapaces de transmitir esfuerzos, siendo mucho más compresibles que los sólidos o los líquidos; sin embargo, en un plasma existen fuerzas electromagnéticas de largo alcance entre las partículas, aparentan estar en estado gaseoso.

    DENSIDAD

    Se define a la densidad de una sustancia como la relación entre la masa y su volumen.

    Si la densidad de un objeto tiene el mismo valor en todos los puntos, la densidad del objeto es igual a la masa de todo el objeto, dividida para su volumen.

    La densidad de una sustancia es una propiedad que le permite diferenciarse de otras.

    La densidad en general depende de factores ambientales, incluyendo la presión y la temperatura.

    En los líquidos y sólidos la variación de la presión es muy pequeña, razón por la cual se puede considerar a la densidad como una constante.

    En la tabla 1 se presenta algunas densidades representadas, desde los objetos más densos del universo hasta el casi vacío del espacio mismo.

    TABLA 1

    Material u objeto

    Densidad Kg/m2

    Espacio Interestelar

    El mejor vacío en el labo.

    Aire 20°C y 1 am

    20°C y 50 am

    Hielo

    Agua 20°C y 1 am

    20 °C y 50 am

    Agua de mar 20° 1 am

    Sangre entera

    Hierro

    Mercurio

    La herra. Ppromedio

    Núcleo

    Corteza

    Sol: promedio

    Núcleo

    Hoyo negro

    Estrella enana

    10-20

    10-17

    1,21

    60,5

    0,917 x 103

    0,998 x 103

    1 x 103

    1,029 x 103

    1,060 x 103

    7,8 x 103

    13,6 x 103

    5,5 x 103

    9,5 x 103

    2,8 x 103

    1,4 x 103

    1,6 x 105

    1015

    1010

    Densidad Relativa.- Es la relación entre la densidad de una sustancia cualquiera y la de otra que se establece como patrono referencia generalmente se utiliza como sustancia referencial el agua, cuya densidad es:

    H2O = 1000 Kg = 1g

    m3 cm3

    La densidad relativa es una magnitud adimensional.

    En la TABLA 2 se muestra los valores de densidad relativa en gramo/cm3

    TABLA 2

    SOLIDOS

    LIQUIDOS

    GASES

    Oro

    Plomo

    Plata

    Cobre

    Acero

    Hierro

    Diamante Aluminio Vidrio

    Hielo Madera

    19.3

    11.34

    10.5

    8.8

    7.8

    7.1

    3.5

    2.6

    2.5

    0.9

    0.6

    Mercurio

    Yodo

    Cloroformo

    Glicerina

    Sangre

    Agua de mar

    Leche

    Agua

    Aceite vegetal

    Aceite lubricante

    Alcohol

    Petroleo

    Gasolina

    13.6

    4.95

    1.53

    1.26

    1.05

    1.03

    1.02

    1

    0.92

    0.9

    0.8

    6.8

    0.7

    Cloro

    Ozono

    Bióxido de carbono

    Oxígeno

    Aire

    Monóxido de carbono

    Nitrógeno

    Neón

    Vapor de agua

    Metano

    Amoniaco

    Helio

    Hidrógeno

    3.22x10-3

    2.14x103

    2x103

    1.43x10-3

    1.29x10-3

    1.25x10-3

    1.25 x10-3

    0.9 x10-3

    1.81 x10-3

    0.72 x10-3

    0.7 x10-3

    1.18 x10-3

    0.09 x10-3

    Peso específico ()

    Es la relación entre el peso de una sustancia y su volumen

    g = Pg (1)

    Por medio de la expresión uno de establece que el peso específico de una sustancia es igual al producto de su densidad por la gravedad.

    El peso específico es una magnitud escalar cuyas unidades son:

    SI: = N

    m3

    CGS: = dinas

    cm3

    Ejercicios

  • Se hace una esfera de 15 cm de radio y 7kg de masa. Determinar:

  • El volumen de la esfera

  • V = 4R3

    3

    V = 4 (3.1416)(15cm)3

    3

    V = 14137.2 cm3

  • La densidad de la esfera

  •  =m

    v

     = 7000g

    14137.2 cm3

     =0,495 g/cm3

    0.495 g . 1kg . (100 cm3) = 195 kg

    cm3 1000g 1m3 m3

  • Un alambre de hierro de sección 5mm2, tiene una masa de 17 kg. Determinar:

  • El volumen del alambre

  •  =mFe

    vFe

    vFe = m

    

    vFe = 17kg

    7.8x103 kg/cm3

    vFe = 0.00217 m3

  • La longitud del alambre

  • vFe = a*L

    L = 0.00217m3

    5x10-6m2

    L = 435.8m

  • Una comuna de cobre tiene un volumen de 2.1 m3. Determinar la masa de la columna de cobre; el peso específico.

  • w = 8.8 g = 8800 kg

    cm3 m3

    V = 2.1 m3

  •  = m

  • v

    m = .v

    m = 8800 kg . 2.1 m3

    m3

    m = 18480 kg

  • Pe = mg

  • V

    Pe = (18480 kg)(9.8 m/seg2)

    2.1 m3

    86240 N 10° dinas 1 m3 = 8624 dinas/cm3

    m3 1N 100 cm3

    PRESIÓN

    La capacidad de fluir hace que el fluido sea incapaz de soportar un esfuerzo cortante, y en condiciones estáticas la única componente de la fuerza que debe tomarse en cuanta es lo que actúa en forma normal o perpendicular a la superficie de fluido sin importar cual sea la suma del fluido, las fuerzas entre el interior y el exterior actúan en todas partes en ángulo recto con las capas, frontera del fluido.

    La magnitud de la fuerza normal por la unidad de área superficial se llama presión.

    La presión es una cantidad escalar, no tiene propiedades direccionales. Por ejemplo: cuando nadamos bajo el agua, esta ejerce una presión sobre el cuerpo de todos las direcciones.

    Microscópicamente la presión ejercida sobre un fluido sobre una superficie en contacto con el, es caudado por colisiones de moléculas de fluido con la superficie, según la tercera ley de Newton, las moléculas ejercen una fuerza perpendicular a la superficie.

    En la figura A

    F

    El elemento de superficie A puede ser representado por un vector A de longitud igual a la magnitud del área del elemento y dirección perpendicular del elemento.

    El fluido encerrado por la superficie ejerce una presión F contra el elemento.

    La fuerza es perpendicular al elemento y por lo tanto paralela a A

    F=PA

    P = F P = F

    A A

    La presión P es la relación entre la fuerza perpendicular (NORMAL) que actúa sobre una superficie.

    F

    A A

    P = F P = Fp

    A A

    Donde es la presión:

    F = Fuerza aplicada

    FP = fuerza perpendicular a la superficie

    FT = es la fuerza tangente a la superficie

    A = área de superficie

    UNIDADES

    La presión es una magnitud escalar, cuyas unidades son los de una fuerza divididas por las de área.

    En el :

    SI :

    CGS:

    Técnico:

    Ejercicios

    El bloque de la figura tiene densidad de 4.1 g/cm3. Determinar:

  • El peso del cuerpo

  • A1

     = 4.1 g/cm3

    V = LxLxL A3

    V = (4.5m)(3m)(1.5m) 3m

    V = 20,25 m3 A2

    m = .v 4.5m

    m = 4100 kg x 20.25 m3

    m3

    m = 83025 kg

    4.1 g x 1kg x (100 cm3) = 4100 kg

    cm3 1000 g 1 m3 m3

    P = m.g

    P = (83025kg)(9.8 m/seg2)

    P = 81345 N

    P = m.g

    A2

    P = (83025kg)(9.8 m/seg2)

    (4.5m)(1.5m)

    P = 120540 Pa

  • La presión que ejerce el cuerpo sobre el peso cuando está apoyado en las caras A1, A2 y A3.

  • P = m.g

    A1

    P = (83025kg)(9.8 m/seg2)

    (4.5m)(3m)

    P = 60270 Pa

    P = m.g

    A3

    P = (83025kg)(9.8 m/seg2)

    (3m)(1.5m)

    P = 180810 Pa

    1 Pa = 10 barias 1 milibar = 103 barias = 100Pa

    I bar = 106 barias

    Una bola sale del cañón de una pistola sale de una pistola con una rapidez de 370en un centésimo de segundo. Si la bala tiene una masa de 14 g y un radio de 3.1mm .Determinar

  • La aceleración de la bola.

  • L a fuerza ejercida sobre la bola.

  • La presión que ejerce los gases de la pólvora.

  • Vf = Vo + at A = R2 P = F

    A

    Vf = at A = (3.1X10-5) P = 518N

    3.019 X 10-5

    a = Vf A = 3019 X 10-5 P = 1715759844 Pa

    a = 370 m/seg F = m.a

    1/100 seg

    a = 37000 m.seg2 F = 518N

    PRESIÓN HIDROSTÁTICA

    Los fluidos ejercen fuerzas sobre todos los objetos que en le sumergen y sobre las paredes de los recipientes que lo contiene.

    h1 h2

    p1

    s

    p2

    Para determinar el valor de la presión actuante sobre un punto en el interior de un fluido, se tiene que tomar en cuanta un elemento en forma cilíndrica de altura.

    h y de área (A) como se muestra en la figura P1 es la presión sobre la cara superior y P2 es la presión en la cara inferior, si el fluido está en equilibrio, el cilindro considerado lo estará, consecuentemente la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él debe ser nula, en la dirección vertical tenemos F1 = fuerza que actúa hacia abajo en la cara superior producido por la presión P1.

    Fe = fuerza que actúa hacia arriba en la cara inferior, producido por la presión P2.

    F1 = P1A n1 = 0 y P1 = 0

    F2 = P2A m.g = .v.g m.g = peso del cilindro dirigido hacia abajo.

    P2 = .g.h2 V = A h

    PH = .g.h (1) Aplicado a la I ley de Newton

     Fy = 0

    F2 - F1 - mg = 0

    P2A - P1A - (A. h)g = 0

    A (P2 -P1) = A. hg

    P2 - P1 = A.g

    P2 - P1 = g(hz-h)

    Se puede concluir que la diferencia de presiones entre dos puntos

    PRINCIPIO DE PASCAL

    El principio de Pascal dice: “Si a un fluido incomprensible que ésta en equilibrio se le aplica una presión P, ésta se transmite con igual intensidad a todos los puntos del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.

    Una aplicación del principio de Pascal constituye la prensa hidráulica, la misma esta representada en la figura.

    La prensa hidráulica consiste en dos cilindros con sus respectivos pistones comunicados por un tubo transversal. En la parte inferior hay un fluido que generalmente es líquido (aceite), el mismo que transmite la presión.

    Si se aplica una fuerza F en el pistón de sección a, se tiene una presión P = f/a, la misma que se transmite a todos los puntos del líquido, y por lo tanto al pistón de sección A situado a la misma altura. Como la presión es la misma.

    Energía potencial elástica

    De la ecuación (1) se concluye que la fuerza F en el pistón de sección mayor A en relación a la fuerza aplicada f en el pistón menos, se incrementa en un valor igual al de la relación de las áreas (A/a)

    En base al principio de Pascal funcionan aparatos como: sillas de dentistas, frenos de vehículos, gatas, etc.

    EJER 1. En un recipiente hay dos líquidos, el primero de P = 0,75g/cm3 alcanza una altura de 7 cm y el segundo de p = 0,85g/cm3 alcanza una altura de 5 cm. Determinar la presión total que se ejerce sobre el fondo del recipiente y la presión absoluta, cuando

  • El recipiente se encuentra a nivel del mar

  • El recipiente se encuentra en la ciudad de Salcedo

  • P1 = 0,75g/cm3

    P2 = 0,85g/cm3

    Pht = Ph1 + Ph2

    Pht = 331 Pa

    P = Pa + Pht

    P= (1,013 x 105 + 931) Pa

    P = 102231 Pa

  • Ph1 = p1 gh1 Ph2= p2 gh2

  • Ph1 = 750kg/m3 x 98 m/s2 x 0,07 m Ph2 = 850 kg/m3 x 9.8 x 0,07m

    Ph1 = 514,5 Pa Ph2 = 416.5 Pa

    P = Pa + Pht

    P= 70643.42 Pa + 931 Pa

    P = 71574,42 Pa

  • Ph2 = 514,5 Pa; Ph2= 416,5 Pa ; Pht= 931 Pa

  • 760 mm de Hg - 1,013 x 105x Pa P = Pa + Pht

    530 mm de Hg - x P = 70643,42 Pa + 931 Pa

    P = 71574,42 Pa

    EJER 2. En un tubo de U que inicialmente contiene mercurio, se introducen 70g de agua de mar que por un lado de 6 cm2. Qué volumen de aceite lubricante se debe introducir por el otros lado del tubo de sección 4 cm2, para que los niveles de mercurio se iguales

    V1 = A1 h1 P1 = P2 V1 = 79g = 70 cm3

    Ph1= p2 gh2 P1= 1,09 g/cm3

    h1 = 11,66 cm h2 = P2 = 0,9 g/cm3

    h1 = 13,34 cm V2 = A2 h2

    V2 = 13,34 cm x 4 cm2

    V2 = 53,37 cm3

    EJER 3. En la prensa hidráulica de la figura, las áreas de los pistones son A1 = 6 cm2 y A2 = 13 cm2. Cuando se aplica una fuerza F1 = 470 (N) al pistón pequeño, éste recurre 7 cm. Determinar

  • La fuerza que se obtiene en el pistón mayor

  • La altura que sube el pistón mayor

  • La ventaja mecánica, si el rendimiento es del 81%

  • a) P1 = P2 b) V1 = V2

    A1h = A2 h1

    F2 = 1018 N h2 = 3,23 cm

    c)

    V.M.= 1,75

    PRINCIPIO DE ARQUIMIDES

    Se tiene un cilindro de sección A y altura h, esta sumergido en un fluido de densidad P.

    La presión en la cara superior es (P) y en la cara inferior (P+pgh)

    La fuerza resultante que el líquido realiza sobre el cilindro es una fuerza dirigida hacia arriba, dada por:

    F Líquido/cilindro = (P + pgh) . A - PA = pgh A

    Como el volumen del cilindro es V = h . A, tendremos:

    F Líquido/cilindro = pgv, a esta fuerza se denomina empuje:

    Empuje = pgV

    Entonces el principio de Arquímedes dice “Un cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido, recibe de éste una fuerza hacia arriba (empuje), que es igual al peso del volumen desalojado

    Se concluye que el empuje depende únicamente de la densidad del fluido y del volumen sumergido del cuerpo, sin embargo se coloca en el interior de un fluido, tendría las opciones de flotar o sumergirse, flotará si la densidad de éste es menor que la del fluido y se sumergirá si es igual o mayor.

    EJEM 1. Un bloque de plástico de masa 1,6 kg flota en el agua con un 65% de su volumen sumergido. Determinar :

  • La densidad del bloque de plástico

  • Que masa de hierro hay que colocar sobre el bloque de plástico para que éste se sumerja completamente

  • E = mg

  • P agua . g . Vs 0 Vp . Pp . g Vs = 0,6Vp

  • E = mhierro . g + mp . g

    Pa . g . Vp = mfe . g + (Pp . Vp)g

    mfe = (P agua - Pp) Vp

    mfe = (1 - 0,6) g/cm3 * 2666,66 cm3

    mfe = 1066,66 g = 1,066 kg

    EJER 2 Una pelota de tenis de 2,7 cm de radio es sumergida hasta el fondo de un recipiente lleno de gasolina, donde es abandonada partiendo del reposo. Si la altura del recipiente es de 57 cm, y la densidad de la pelota es de 350 kg/m3 Determinar:

  • El valor del empuje de la gasolina sobre la pelota

  • La velocidad con que llega la pelota a la superficie libre de gasolina

  • La h max alcanzada por la pelota en relación al fondo del recipiente

  • DATOS

    r = 0,0277 m

    h = 0,57 m

    P pel = 350 kg/m3

    P gas =700 kg/m3

    a) E = Pgas . Vs . g

    Vp = Vs

    E = 700 kg/m3 * 4/3 (0,027 m)3 . 9,8 m/s2

    E = 0,56 (N)

    b) mg = Pp . Vp . g

    mg = 350kg/m3 * 4/3  (0,027m)3 . 9,8 m/s2

    mg = 0,071 (N)

    c)

    Ecuación de la continuidad

    Energía potencial elástica

    Consideremos una porción de fluido en color amarillo en la figura, el instante inicial t y en el instante t+Dt.

    En un intervalo de tiempo Dt la sección S1 que limita a la porción de fluido en la tubería inferior se mueve hacia la derecha Dx1=v1Dt. La masa de fluido desplazada hacia la derecha es Dm1=r·S1Dx1=rS1v1Dt.

    Análogamente, la sección S2 que limita a la porción de fluido considerada en la tubería superior se mueve hacia la derecha Dx2=v2Dt. en el intervalo de tiempo Dt. La masa de fluido desplazada es Dm2=r S2v2 Dt. Debido a que el flujo es estacionario la masa que atraviesa la sección S1 en el tiempo Dt, tiene que ser igual a la masa que atraviesa la sección S2 en el mismo intervalo de tiempo. Luego

    v1S1=v2S2

    Esta relación se denomina ecuación de continuidad.

    En la figura, el radio del primer tramo de la tubería es el doble que la del segundo tramo, luego la velocidad del fluido en el segundo tramo es cuatro veces mayor que en el primero.

    La ecuación de continuidad se escribe

    v1S1=v2S2

    Que nos dice que la velocidad del fluido en el tramo de la tubería que tiene menor sección es mayor que la velocidad del fluido en el tramo que tiene mayor sección. Si S1>S2, se concluye que v1<v2.

    Teorema de Bernoulli

    Basicamente Bernoulli dividió este estudio en dos partes, la primera en la cual considero los efectos de la conpresibilidad del aire como despreciable, es decir flujo incompresible que es lo que ocurre en vuelo a bajas velocidades o vuelo subsónico, y en la segunda etapa realizo el análisis considerando apreciables los efectos de compresión del aire o flujo compresible que es lo que ocurre en vuelos a altas velocidades generalmente vuelos transónicos o supersónicos.

    Entrando al análisis en sí, consideremos un fluido, compresible o no, en movimiento; cada partícula tendrá una trayectoria determinada; si consideramos un tubo formado por esas trayectorias o líneas de corriente, y nos fijamos en lo que ocurre dentro del tubo podremos deducir el teorema de Bernoulli

    Energía potencial elástica

    Aislemos una longitud, que puede ser tan pequeña como queramos del tubo; sea esta longitud Dl (o dl), y sean S y S' las superficies del tubo en los extremos, V y V + DV (o V + dV), las velocidades correspondientes en esas secciones. Sobre la cara S, el resto de fluido a la izquierda, ejercerá un presión p perpendicular a la cara, sobre la S', el resto de fluido a la derecha ejercerá una presión p + Dp (o p + dp).

    Las fuerzas que actúan sobre esa masa, tomando como sentido positivo hacia la derecha (sentido de la velocidad) serán:

    F = p . S - (p + dp) . S'

    La longitud del tubo dl la podemos hacer tan pequeña como queramos, luego la haremos tan pequeña como sea necesario para que se puede considerar que las secciones S y S' son iguales, quedará entonces:

    F = p . S - (p + dp) .S

    F = p . S - p . S - dp . S

    F = -dp . S

    El volumen que ocupa la masa que estamos consideramos, si S es igual a S', será el volumen de un prisma:

    volumen = S . dl ; siendo d = densidad

    masa = d . S .dl

    La aceleración a que esta sometida esa masa será:

    a = dV / dt

    Sustituyendo los valores hallados en la ecuación fundamental de la dinámica:

    Fuerza = masa . aceleración ; F = m . a

    -dp . S = d . S . dl . (dV / dt)

    quedara dividiendo por S y teniendo en cuenta que por definición:

    dl / dt = V

    " dp + d . V . dV = 0 "

    Esta es la expresión del teorema de Bernoulli en forma diferencial; en ellas existen tres variables: p(presión), d (densidad) y V (velocidad).

    Ecuación de Bernoulli para fluidos incompresibles:

    De las tres variables que existen en la ecuación anterior, al ser la densidad constante, se quedan reducidas a dos: p y V, la ecuación diferencial es fácil de integrar resultando:

    " p + ½ .d. V² = constante "

    que es la expresión mas conocida del teorema de Bernoulli, y será valida para un fluido en el que d es igual a constante, o bien para el aire a bajos números de MACH, aunque en este caso existirá un pequeño error.

    Ella expresa que en un punto cualquiera de un fluido en movimiento la suma de la presión en ese punto mas la mitad del producto de la densidad por el cuadrado de la velocidad es constante, eso es, seria igual a la suma de esos mismos sumados con los valores que existen en otro punto. Si son p1, V1 y d1, la presión, velocidad y densidad en el punto 1 y p2, V2 y d 2 en el punto 2, etc. se verificara:

    En el caso de que en uno de los puntos considerados no exista velocidad, es decir que sea un punto de remanso, la presión que existe en él se denomina presión total (pt) y en general la presión que existe en un punto de velocidad (V) distinta de cero, la denominaremos presión estática (ps), aplicando el teorema de Bernoulli a dos puntos del fluido, uno de los cuales sea el que tiene velocidad nula será:

    pt + 0 = ps + ½ .d. V²

    pt = ps + ½ . d . V²

    El termino ½ .d. V² que tiene las dimensiones de una presión se la denomina presión dinámica; la formula anterior expresa que:

    "La presión total, también llamada presión de impacto, es igual a la suma de la presión estática más la dinámica".

    Esta ecuación se puede expresar así:

    Ecuación de Bernoulli para flujo incompresible

    pt - ps = ½ . d . V²

    De donde se deduce que midiendo la diferencia pt - ps, tenemos el producto ½ .d .V². El anemómetro está basado en esta medida.

    En un tubo, como el de la Figura , por el que circula un fluido incompresible, al aplicar el teorema de Bernoulli en los puntos 1 y 2, resulta:

    Energía potencial elástica

    p1 + ½ .d1 . V1² = p2 + ½ .d 2 . V2²

    Es evidente que en V2 la velocidad debe ser mayor que en V1, luego para que se conserve la igualdad, la presión p2 debe ser menor que la presión p1: Al aumentar la velocidad disminuye la presión, este fenómeno se conoce con el nombre de efecto Venturi.

    Ecuación de Bernoulli para fluidos compresibles:

    Esta es también conocida como ecuación de Saint Venant. La ecuación es similar a la del flujo incompresible, donde la expresión se ve afectada por el término (1+ 0,25 . M²) donde M es el número de Mach.

    Ecuación de Bernoulli para flujo compresible

    pt - ps = ½ . d . V² .(1+ 0,25 . M²)

    APLICACIONES

    Ejempo 1

    Un líquido fluye por una tubería horizontal cuyo radio interior es de 2.52 cm. La tubería se dobla hacia arriba con una altura de 11.5 m donde se ensancha y se une con otra tubería horizontal de 6.14 cm de radio interior. Cuál debe ser el flujo volumétrico si la presión en las dos tuberías horizontales es la misma?

    Solución

    Si aplicamos la la ecuación de bernoulli en el punto más bajo de la tubería (punto 1) y en el punto más alto de la misma (punto 2); y si además (de las condiciones del problema) consideramos el hecho de que las presiones en estos dos puntos deben ser iguales, Energía potencial elástica
    , entonces tenemos que

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

     

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

     


    Considerando que el flujo volumétrico debe ser el mismo a lo largo de toda la tubería también contamos con la ecuación.

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

     

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

     


    Combinando esta ecuación con la ecuación de Bernoulli podemos encontrar

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

     

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

     

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

     


    Conociendo esta velocidad el flujo volumétrico es el producto de esta velocidad por el área de la sección transversal del tubo

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

     

     

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

     


    Ejemplo 2
    Durante un huracán está soplando aire (densidad = 1.2 kg/cmEnergía potencial elástica
    ) sobre el tejado de una casa a una velocidad de 110 km/h. (a) Cuál es la diferencia de presión entre el interior y el exterior que tiende a levantar el tejado? (b) Cuál sería la fuerza ascencional en un tejado de 93 mEnergía potencial elástica
    de área?

    Solución

    Aplicando la ecuación de Bernoulli en un punto situado justamente arriba del techo (punto 1) y en otro punto justamente abajo del techo (punto 2), tenemos que

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

     

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

     

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

     


    La fuerza que actúa sobre el techo se obtiene multiplicando la diferencia de presión por el área de este techo, es decir,

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

     

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

    Energía potencial elástica

     


    m

    m

    m

    m

    m

    A •

    F Fp

    FT

    H

    Energía potencial elástica

    m

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