1. Llei d'absorció

Si una variable pertany simultàniament a una branca d'un circuit pot haver-hi absorció.

La variable B no té transcendència inicial

en el circuit i es absorbida per A

Expressió F= A + AB

Resultat F= A + AB----- F=A

Demostració

A	B	AB	AB + A
0	0	0	0
0	1	0	0
1	0	0	1
1	1	1	1

Taula de la veritat d'una absorció.

F = A (A + B) = A

A	B	A + B	A (A + B)
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	1
1	1	1	1

2. Teorema de Shannon

Serveix per trobar el complement, o sigui, la funció inversa. El procediment és complementar cada variable i permutar els operadors suma y producte.

A	B	AB	AB	A + B	A + B
0	0	0	1	0	1
0	1	0	1	1	1
1	0	0	1	1	1
1	1	1	0	1	0

Exemple

F = A + B A + B = AB

F = A . B A . B = A + B

F = A + B = A . B

3. Teorema de Morgan

Els teoremes de Morgan ens permeten transformar funcions suma en funcions producte i a l'inreves. Això dona l'opció a poder realitzar circuits fent servir només un sol tipus de porta.

1ª de Morgan	2ª de Morgan	3ª de Morgan	4ª de Morgan
A . B = A + B	A + B = A . B	A . B = A + B	A + B = A . B

1ª de Morgan

A	B	A	B	AB	A + B	A + B
0	0	1	1	1	0	1
0	1	1	0	0	1	0
1	0	0	1	0	1	0
1	1	0	0	0	1	0

2ª de Morgan

A	B	A	B	A + B	AB	AB
0	0	1	1	1	0	1
0	1	1	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1
1	1	0	0	0	1	0

3 ª de Morgan

A	B	A	B	AB	A + B	AB
0	0	1	1	0	0	1
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	1	1	1	0
1	1	0	0	1	1	0

4ª de Morgan

A	B	A	B	A + B	AB	A + B
0	0	1	1	0	0	1
0	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	0	0	1
1	1	0	0	1	1	0

Els teoremes de Morgan també es poden demostrar com una conseqüència del teorema de Shannon. Així si a una funció li determinem la funció complementaria i a continuació la neguem, obtindrem una funció equivalent amb els operadors permutats.

Funció F = A + B

Determinem la complementaria F = A . B (Shannon)

La tornem a negar F = A . B = A + B (3ª Morgan)

Procediment per trobar funció equivalent aplicant Morgan

1º. Negar les variables i permutar els operadors.

2º. Negar la funció obtinguda.

Exemple: Trobar la funció equivalent aplicant els teoremes de Morgan.

F = ABC

1. F = A + B + C F = A + B + C

2. F = A + B + C F = A+ B + C F = ABC

EXERCICI

Donada la funció F = ( A + B ) C, determinar un altre equivalent aplicant els teoremes de Morgan, fer la taula de la veritat i dibuixar els esquemes dels dos circuits.

F = (A + B) C ( A + B) C = (A . B) + C

F = (A . B) + C

A	B	C	(A + B)	(A + B) C	(A . B)	(A . B) + C	(A . B) + C
0	0	0	0	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1	0
0	1	0	1	1	0	0	1
0	1	1	1	0	0	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	1	1	0	0	1	0
1	1	0	1	1	0	0	1
1	1	1	1	0	0	1	0

4. Generador de paritat.

Quan es transmet informació de manera binària per un canal podem suposar que pot tenir alteracions degut a causes imprevistes. Una forma de reduir en gran mesura aquesta pertorbació que pot provocar informació errònia, consisteix en afegir al missatge una informació extra que compleix la condició que sempre sigui part el nombre de “1” en el missatge enviat. D'aquesta manera el receptor al rebre el missatge i comprovar la paritat detectarà si ha sofert una alteració, i en cas afirmatiu rebutjarà el missatge.

La funció que compleix aquesta condició en paquets de 4 bits és F = A + B + C + D

A	B	A	B	F
0	0	0	0	0
0	0	0	1	1
0	0	1	0	1
0	0	1	1	0
0	1	0	0	1
0	1	0	1	0
0	1	1	0	0
0	1	1	1	1
1	0	0	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	0
1	0	1	1	1
1	1	0	0	0
1	1	0	1	1
1	1	1	0	1
1	1	1	1	0

5. Comparadors.

A	B	F
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

F = A .B + A .B

0 A = B

C

1 A = B

0 A = B

D

1 A = B

C	D	X	Y	Z
0	0	1	0	0
1	0	0	1	0
1	1	0	0	1

6. Multiplexors.

6.1 Multiplexors de sues variables de selecció a una sola línea

És un dispositiu que permet la sortida d'unes variables d'entrada escollides.

C1

C2

C3

C4

A B

6.2 Multiplexor amb variable de control

Si 1 = 0 Z = 0

6.3 Multiplexor amb variable de control d'alta impedancia

C1

Z En aquest cas si la variable

C2 I=0 cal col·locar el transistor

de sortida de la porta OR en

C3 estat d'alta impedáncia i dona

un valor de sortida Z indeter-

C4 minat, és una desconexió.

A B I

Això actua com un interruptor físic, sense que ningú

Toqui cap palanca.

7. Flip - Flop

Els elements lògics estudiats fins ara presenten com a caves, el fet que no depenen d'una condició inicial prèviament fonamental.

Són circuits de lògica combinatòria. Els ordinadors precisen d'elements que siguin capaços de recordar condicions inicials, encara que aquestes hagin desaparegut, són circuits on les sortides depenen de les entrades i de les condicions inicials. Reben el nom genèric de circuits de lògica seqüencial. El circuit de memòria més senzill és el flip- flop o bàscula.

7.1 Flip-Flop tipus R-S

A	B	A	B
0	1	1	0
1	1	1	0
1	0	0	1
1	1	0	1
0	1	1	0
0	0	1	1
0	1	1	0

R = S = C Indeterminació

7.2 Bàscula

Indeterminació R = S = 1

A	B	A	B
0	1	1	0
1	1	1	0
1	0	0	1
1	1	0	1
0	1	1	0
0	0	1	1
0	1	1	0

Inici

S = 1 Q = 1

R = 0 Q = 0

8. Suma aritmètica

A B

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 i em porto 1 CARRY Circuit semiconductor

Suma aritmètica en binari

1 1 1 1 15

+ 0 1 0 1 05

1 0 1 0 0 20

16 4 20

B	A	S	C
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

8.2 Sumador total

Dades Suma

de

Sumar

Porta de sortida

Porta

de entrada

Ci Carry imput

Co Carry output

B3 B2

B1

B0

A3

A2

A1

A0

S3 S2 S1 So

Co

(Altres etapes)

B3 B2 B1 Bo

+ A3 A2 A1 Ao

Co S3 S2 S1 So

8.4 Circuits restadors

És necessari tenir definits números binaris amb signes. La forma de notació és el dígit és reverva el signe.

BS	Signe
0	+
1	-

0

magnitud

Transformació d'un número positiu a negatiu

Es fa en dos pasos:

Es complementa el nº a convertir, (els 1 passen a 0; els 0 a 1)

Se suma un al complement

Ex. Convertir +6 en -6

+6 0110 4 + 2 = 6

Positiu

Complementar

Sumar 1

1 0 0 1

+ 0 0 0 1

1 0 1 0

2

= - 6

-8

9. Circuits combinacionals

· Mapa conceptual

• Mètode de minterms

• Mètode de maxterms

· Simplificació de funcions còniques

• Postulats i propietats de l'àlgebra de Boole

• Taules de Karnaugh

· Exemples

· Exercicis

Normalment quan es dissenya un circuit amb portes lògiques que ha de respondre a unes condicions imposades per l'automatisme, es pot començar fent la taula de la veritat a partir de la qual podem iniciar un procés que ens duu el disseny del circuit, amb el mínimes portes possibles. Cal saber dos mètodes de treball un per trobar la forma canònica i l'altre per simplificarla.

Mètode minterms

Només ens interessen les combinacions que valen 1 a la taula de la veritat.

Es fa una suma de termes en forma de productes de les diferents variables que intervenen a la equació.

Les variables que valen 1 prenen el valor afirmatiu i les que valen 0 complementen.

Mètode dels maxterms

Només interessen les combinacions que valen 0 a la taula de la veritat.

Es fa un producte de termes en forma de suma de les diferents variables que intervenen a l'equació.

Les variables que valen 1 prenen el valor complementat i les que valen

0 afirmatiu.

Convertir 225 en - 225

0 1 1 1 0 0 0 0 1 225

1 0 0 0 1 1 1 1 0

+ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8

1 0 0 0 1 1 1 1 1 -2 + 31 - 225

Definir Construir

Dades d'entrada

Sistemes de Minterms

Simplificació Maxterms

• Algebra de Boole

• Taules de Karnaugh

a	b	c	f
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 1 1 0 0 0 1 1

F = abc + abc + abc + abc + abc

Equació canònica amb estructura minterms.

Mètode: suma de temes en forma de productes que intervenen en la equació. Només interessen les combinacions que valen 1, les variables d'entrada que són 1 prenen el valor directe i les que valen 0 complementen.

Propietats i postulats de l'àlgebra de Boole.

1. Commutativa	2. Element neutre	3. Complementació	4. Associativa	5. Distributiva
Suma a + b = b + a Producte a . b = b . a	Suma a + 0 = a a . 1 = 1	Suma a + a = 1 Producte a . a = 0	Suma a+b+c =a + (b+c) Producte Abc = a . (b . c)	Producte respecte de la suma a (b+c) = ab + ac Suma respecte del producte a+ (bc)=(a+b) (a+c)
6. Absorció	7. Idempotencia	8. Doble negació	9. Dualitat	10. Lleis de Morgan
a + 1 = 1 a . 0 = 0	a + a = a a . a = a	a = a	Si a + 0 = a a . 1 = a

Exercici

Dissenyar un circuit lògic per comandar un automatisme que és governat per 3 variables d'entrada segons la taula de la veritat.

a	b	c	f
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 1 1 0 0 0 1 1

F = abc + abc + abc + abc + abc

F = ab (c + c) + ab ( c + c) + ac (b + b)

F = ab + ab + ac

IES. Numància

Sta. Coloma de Gramanet

15

Multiplexor

Multiplexor

S Q

R Q

&

= 1

A S

B Co

Ci

B A

Co Ci

B A

Co Ci

B A

Co Ci

B A

Co Ci

Circuit

Equació simplificada

Taula de la veritat

Equació canonica

Electrònica digital II