Práctica
Propiedades elásticas: El péndulo de torsión

Objetivos

• Estudiar los factores que determinan el periodo de oscilación de un péndulo de torsión.

• Calcular el momento de inercia del péndulo.

• Calcular el módulo de rigidez o cizalla del alambre.

Material

• Péndulo de torsión:

• Alambre montado sobre un soporte que lo mantiene tenso en posición vertical.

• Barra con marcas en centímetros.

• Pesas de 200 g.

• Cinta métrica.

• Palmer y pie de rey.

Fundamento teórico

Un péndulo de torsión consiste en un cuerpo rígido suspendido de una varilla o alambre, de forma que el eje definido por el alambre pasa por el centro de masas del cuerpo. Deben estar bien sujetos, tanto el cuerpo al alambre como éste al soporte rígido, de forma que al girar el cuerpo se retuerza el alambre sin holguras.

Si el cuerpo gira, en el plano horizontal y entorno al eje del alambre, un ángulo  a partir de la posición de equilibrio, el alambre se retuerce, de forma que, mediante la ley de Hooke se cumple que:

(1)

Donde F es la fuerza del par, d la distancia entre el punto de aplicación de F y el eje de rotación,  el ángulo que giramos el cuerpo respecto a la posición de equilibrio y R es la constante de torsión del alambre, que depende de sus dimensiones y sus propiedades elásticas.

La constante de torsión se relaciona con el módulo de rigidez, , del material del alambre mediante la expresión:

(2)

En la que l es la longitud del alambre y r su radio.

Estudiaremos las oscilaciones de un cuerpo sometido a una torsión inicial. En nuestro caso sujetaremos este cuerpo mediante dos alambres con sus extremos fijos. Ambos tendrán la misma longitud y radio y por supuesto serán del mismo material, de forma que la constante de torsión R para el sistema de los dos alambres será:

(3)

Si el sistema se somete a una torsión y se libera, se observa un movimiento oscilatorio cuyo periodo viene dado por la expresión:

(4)

siendo I el momento de inercia del cuerpo que oscila respecto al eje del alambre.

Realización

Vamos a utilizar un péndulo como el de la Figura 1:

Figura 1 - Péndulo de torsión

La barra rígida AA' está sujeta por su centro perpendicularmente a los extremos de dos hilos metálicos iguales, de longitud l cada uno, colocados en posición vertical y sujetos fijamente al soporte por O y O'. En la barra acoplamos dos masas cilíndricas, m, que iremos desplazando simétricamente respecto al centro de la barra, que será el centro de masas del sistema.

Nos enfrentamos ahora al cálculo del momento de inercia del sistema oscilante:

El momento de inercia de la barra respecto a un eje que pasa por su centro de masas, que es el eje OO' entorno al que va a oscilar, es:

(5)

Siendo m la masa de la barra y L su longitud.

El momento de inercia de cada masa cilíndrica con respecto a un eje diametral que pasa por el centro del cilindro (por tanto paralelo a OO'), viene dado por:

(6)

Donde m es la masa, rm es el radio del cilindro y h es su altura.

Para calcular el momento de inercia total del sistema, primero tendremos que calcular el momento de inercia de las masas respecto al eje en el que van a oscilar OO', a través del teorema de Steiner, teniendo en cuenta que tenemos dos masas, y que lo dejaremos en función de la distancia d entre el eje OO' y el centro de los cilindros, ya que vamos a variar esa distancia a lo largo de la experiencia.

Como el momento de inercia es una magnitud aditiva, una vez los tengamos todos referidos al eje OO' los sumamos:

(7)

Llevando este valor a la expresión (4) y sustituyendo, obtenemos:

(8)

Los pasos a seguir en la realización y toma de medidas son los que enumeramos a continuación:

Medidas realizadas

Hemos medido las longitudes con la cinta métrica, el palmer y el pie de rey según el caso; la cinta tiene un error de 0,1 cm, el palmer de 0,001 cm y el pie de rey de 0,005 cm. Además el palmer tenía el cero en -0,001 cm, error que ya está corregido en las siguientes medidas:

Pesas

m = 200 ± 1 g

" = 4,955 ± 0,005 cm

h = 1,754 ± 0,001 cm

Alambre

l = 22,3 ± 0,1 cm

" = 0,050 ± 0,001 cm

Barra

mb = 97,7 ± 0,1 g

L = 45,0 ± 0,1 cm

" = 0,592 ± 0,001 cm

A continuación incluimos las medidas del tiempo invertido por el sistema en n oscilaciones (hemos variado n en función del periodo en cada caso), y su error en la Tabla I - Medidas de tiempos.

Incluimos la distancia, que hemos obtenido, para simplificar la realización, midiendo la distancia del centro de la barra al principio de la pesa, de forma que ahora le sumaremos media altura de la pesa, siendo el error de d el error de apreciación de la cinta con el que hemos medido la distancia hasta el principio de la pesa (0,1 cm), ya que la altura de la pesa la hemos medido con el palmer y el error de media altura es 0,0005 cm despreciable frente a los 0,1 cm.

Tabla I - Medidas de tiempos.

Resultados

a) Dimensiones y masa de los distintos elementos que componen el péndulo de torsión

Pesas

m = 200 ± 1 g

" = 4,955 ± 0,005 cm

rm = 2,477 ± 0,002 cm

h = 1,754 ± 0,001 cm

Alambre

l = 22,3 ± 0,1 cm

" = 0,050 ± 0,001 cm

r = 0,0250 ± 0,0005 cm

Barra

mb = 97,7 ± 0,1 g

L = 45,0 ± 0,1 cm

" = 0,592 ± 0,001 cm

b) Gráfica T2 = f(d2) ajustada por mínimos cuadrados

A continuación incluimos la Tabla II - T2 = f(d2), que hemos empleado para construir la Gráfica 1 - T2 = f(d2) que aparece en la página siguiente:

Tabla II - T2 = f(d2)

Incluimos el ajuste por mínimos cuadrados de la Gráfica 1 - T2 = f(d2) en la Tabla III

Tabla III - Ajuste por mínimos cuadrados

Calculamos lo parámetros de la recta:

c) Módulo de rigidez del alambre con su error. ¿De qué material se trata?

Exponemos la ecuación (8) y la ecuación de la recta para una comparación visual:

De esta comparación entre la expresión (8) y la ecuación de la recta T2 = f(d2) deducimos:

De los pocos materiales para los que se indica el módulo de torsión en la bibliografía de que disponemos, el que más se aproxima es el latón (36×1010 dinas/cm2), aunque queda fuera de los límites de error.

d) Momento de inercia de la barra con su error y comparación con el valor teórico

Calculamos primero el valor de R, mediante la pendiente de la recta que hemos obtenido:

Ahora calcularemos el momento de inercia de las pesas respecto al eje que las atraviesa diametralmente por su centro, Im mediante la expresión (6):

Una vez conocidos estos datos, podemos despejar el momento de inercia de la barra respecto al eje de rotación, Ib, de la ordenada en el origen de la gráfica:

El momento de inercia de una barra viene dado por la expresión teórica:

Y como se puede observar, la predicción teórica del momento de inercia de la barra queda dentro de los límites de incertidumbre de la deducción experimental.

Bibliografía

Física de Paul A. Tipler (Ed Reverté S.A.)

Física COU de Francisco Pomer, Fernando Tena y otros (Ed. Ecir)

Cuestiones

a) ¿Qué aproximación hemos hecho en la expresión (6) que proporciona el momento de inercia de un cilindro macizo con respecto al eje OO'?

En la expresión (6) aparecen dos términos, que se corresponden con los momentos de inercia de un disco (de espesor despreciable) respecto a un eje diametral y una barra (de radio despreciable) respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular a ella.

b) Demuéstrese la expresión (6)