Ecuaciones

Matemáticas. Álgebra. Tipos. Coficiente fraccionario. Segundo grado. Métodos: suma y resta, sustitución e igualación. Incógnitas. Factorización. Binomios. Operaciones matemáticas

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Definiciones:

Expresión algebraica: Es la expresión que contiene letras (literales) y pueden ser monomios o polinomios.

Monomios: Es una expresión algebraica que consta de un solo termino como:

13A, 2x', 2x/4, 7ab.

Polinomios: Es la expresión algebraica que consta de dos o más términos. Ejemplos: a+b, 2b-5, 5c'-1+8.

-- Si los polinomios tienen dos términos se llaman binomios, si tienen tres trinomios y los que tienen más de tres términos no tienen un nombre en especial.

Termino: Es cada uno de los monomios que conforman un polinomio y estan separados por los signos más (+) o menos (-).

Coeficiente: Es el numero que multiplica la parte literal de cada termino, por ejemplo:

-5x', el coeficiente es -5.

Término independiente: Son los términos que no tienen parte literal.

Término semejantes: Son los que tienen las mismas literales con el mismo exponente.

Ecuación: Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se cumple sólo para algunos valores de las incógnitas.

Ecuación lineal: Una ecuación lineal o de primer grado es la ecuación que sólo contiene una variable o incógnita con exponente 1.

Ecuaciones de segundo grado: Son las que contienen dos incógnitas una con exponente 2 y la otra con exponente 1.

Ecuaciones simultaneas: Dos o más ecuaciones con dos o mas incógnitas son simultaneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.

Así, las ecuaciones:

X+Y = 5

X-Y = 1

Son simultaneas por que x =3, y=2 satisfacen ambas ecuaciones.

Ecuaciones simples.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que solo se cumple para algunos valores de las incógnitas. Si la ecuación contiene solo una variable o incógnita con exponente 1, se llama ecuación lineal o de primer grado con una incógnita.

Una ecuación, la expresión algebraica de lado izquierdo del signo igual ( = ) se llama primer miembro y la del lado derecho, segundo miembro.

Resolver una ecuación lineal es encontrar el valor de la incógnita para el cual se cumple la igualdad.

El siguiente problema se resuelve con una ecuación lineal:

-- Juan nació cuando su mamá tenia 28 años. Actualmente, la edad de la mamá de Juan es el triple que la de este. ¿cuántos años tiene Juan?

Si x es la edad de Juan, la de su mamá es 28 + x. Por otro lado, la mamá de Juan tiene el triple de años que su hijo; es decir, 3x. Si se igualan estas dos expresiones algebraicas, se obtiene la siguiente ecuación.

3x = 28 + x

Esta ecuación se resuelve despejando x de la siguiente manera:

Si se resta x en ambos miembros de la ecuación 3x - x = 28 + x - x

Se reducen términos semejantes 2x = 28 + 0

2x = 28

Se dividen entre dos ambos miembros de la ecuación 2x = 28

2 2

Se realizan las operaciones x = 14

Por lo tanto, la edad de Juan es 14 años.

Más ejemplos:

X+9 =

10

X =

10-9

X =

1

X-2 =

- 4

X =

- 4+2

X =

- 2

Ecuación de la suma: Ecuación de la resta:

El que cambia de lugar, El que cambia de lugar,

cambia su signo de operación. cambia su signo de operación.

X/-2 =

4

X =

4( -2)

X =

- 8

- 7x =

- 14

X =

-14/-7

X =

2

Ecuación de la multiplicación: Ecuación de la división:

El que cambia de lugar , cambia El que cambia de lugar, cambia

Su signo de operación. Su signo de operación.

  • Eliminación de paréntesis

+ (+5)= +5 Se queda igual

Eliminación - (+5)= -5 Se cambia de signo

de

paréntesis

3(+5)= +15 Se multiplica

¿Qué es una ecuación?

Es encontrar el valor de la incógnita.

Ejemplos:

2x-7 = -8+x 3x+3 = 2(7x-15)

2x-x = -8+7 3x+3 = 14x-30

3x-14x = -30-3

x = -1 - 11x = -33

x = -33

-(4x -17) = 6 (x-3) -11

-4x +17 = 6x -18

- 4x -6x = -18-17 x = 3

-10x = -35

x = -35

-10 x = 3 5/10

Ecuaciones con coeficinte fraccionario.

fraccionarios porque las variables aparecen multiplicadas por fracciones. Esta ecuación se resuelve de la siguiente manera:

Se multiplican ambos miembros por 12, que es el mínimo común múltiplo de los denominadores de la ecuación: 12(3/4x +4) = 12(5/6x +20/6)

Se eliminan los paréntesis efectuando

Los productos 36/4x +48 = 60/6x +240/6

Las fracciones resultantes siempre

Pueden convertirse en enteros 9x +48 = 10x +40

Se resuelve la ecuación de la forma usual 9x-10 + 48 = 10x-10x +40

-x +48-48 = 40-48

-x = -8

x = 8

Por lo tanto x es igual a 8.

Una ecuación con coeficientes fraccionarios se resuelve multiplicando ambos miembros de esta por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Otra forma de resolver ecuaciones con coeficiente fraccionario es operar directamente con las fracciones algebraicas. Por ejemplo:

Resolver la ecuación 5/4x +7/3x = 1/2

Se efectúa la suma 5/4x +7/3x (15x +28x) = ½

12

43x/12 = 1/2

Se multiplican ambos miembros de la ecuación por 12:

(12) 43x/12 = 1/2 (12)

43x = 6

Se dividen ambos miembros de la ecuación entre 43:

43x/43 = 6/43

x = 6/43

SISTEMA DE ECUACIONES

Método suma y resta

El método de suma y resta consiste en realizar operaciones con las ecuaciones de un sistema para eliminar una de las variables, a fin de encontrar una ecuación lineal con una incógnita. Por ejemplo:

Resolver el sistema

2x+ 3y = 13 (1)

-2x+ 2y = -18 (2)

El coeficiente de x, es decir, el numero que lo multiplica, en las dos ecuaciones, es igual pero de signo contrario.

Como las ecuaciones son igualdades, se pueden sumar miembro a miembro como sigue:

2x + 3y = -8

+ 2x + 2y = -18

0 + 5y = -5

El resultado es una ecuación lineal con una sola incógnita, que se resuelve así:

5y = -5 y = -1

Si se sustituye el valor el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales, se encuentra el valor de x. Por ejemplo la ecuación (1):

2x + 3(-1) = 13 2x - 3 = 13 2x = 16 x = 8

La solución del sistema de ecuaciones es la pareja x = 8 y y = -1.

Si una incógnita tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones de un sistema, éstas se restan para eliminar la incógnita. Por ejemplo:

4x + 9y = -8 (1)

3x + 9y = -15 (2)

Como la incógnita y tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, éstas se restan miembro a miembro:

4x + 9y = -8 (1)

-3x + 9y = -15 (2)

x + 0 = 7

Entonces x = 7. Si se sustituye este valor en la ecuación (1), se obtiene el valor de y:

4(7) + 9y = -8 28 + 9y = -8 9y = -8 - 28 y = (-8 - 28) = -36 = -4

  • 9

La solución del sistema es la pareja x = 7 y y = -4.

Si en un sistema de ecuaciones ninguna de las dos incógnitas tiene el mismo coeficiente, las ecuaciones se transforman por medio de multiplicaciones.

Método de sustitución

Los pasos para encontrar la solución de este sistema son los siguientes:

  • Se despeja y en una ecuación; por ejemplo, en la (2):

  • Y = 2 - x

    De esta forma, se obtiene y expresada en función de x.

  • En la ecuación (1), se sustituye y por su expresión en términos de x y se despeja x:

  • 3x - 2 (2 - x) = 1

    3x - 4 + 2x = 1

    5x - 4 = 1

    5x = 1 + 4

    5x = 5

    x = 1

  • Se sustituye el valor de x, determinado mediante el paso anterior, en la ecuación obtenida al despejar y en el paso A):

  • Y = 2 - (1)

    Y = 1

    De modo que x = 1 y y = 1 es la solución del sistema de ecuaciones.

    Método de igualación

  • Se escoge una incógnita y se despeja en ambas ecuaciones

  • Se igualan las ecuaciones lineales encontradas en el paso anterior para obtener una ecuación lineal con una incógnita. Cuando esta ecuación es resuelta, se encuentra el valor de una incógnita.

  • Se sustituye el valor de la incógnita determinado mediante el paso anterior en alguna de las ecuaciones resultantes del primer paso; así se obtiene el valor de la otra incógnita.

  • ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON 3 INCOGNITAS

    En general, un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas se resuelve así:

  • Se despeja una incógnita en alguna ecuación.

  • La incógnita despejada en el primer paso se sustituye en las otras dos ecuaciones; el resultado es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

  • Se resuelve el sistema obtenido en el paso anterior y con la solución de este, se encuentra el valor de la incógnita despejada en el primer paso.

  • PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

    Producto notable: Son aquellos que se pueden resolver mediante una formula, no hay necesidad de hacer la operación.

    Factorización: En ocasiones, es necesario expresar un monomio de manera que sus factores se indique explícitamente. A esto se llama factorizar un monomio. Por ejemplo: 6x' = (3)(2)(x'), (6x)(x)

    Binomios al cuadrado

    Elevar al cuadrado a+b equivale a multiplicar este binomio por si mismo y tendremos:

    (a+b)' =(a+b)(a+b)

    Efectuando este producto, tenemos:

    A+B

    A+B

    A'+AB

    AB+B' O sea (A+B)' = A'+2AB+B'

    Luego, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

    Binomios con un termino común

    Binomios con un termino común son aquellos que tiene un termino(literal) común, es decir, que todos tienen aquel termino, ejemplos: (x+5) y (x+3)

    El termino común de estos binomios es x.

    El caso especial de la multiplicación de binomios con un termino común se puede realizar de manera abreviada. Considérese la multiplicación (x + 5)(x + 3).


    Primero se multiplica cada termino de (x + 5) por el otro binomio:

    (x+5) (x+3) = x (x+3) + 5 (x+3)

    Luego, se efectúa los productos indicados y se reducen terminaos semejantes:

    (x+5) (x+3) = x (x+3) + 5 (x+3) = x'+3x+5x+15 = x'+8x+15

    Los siguientes productos se realizan con el mismo método

    (x+2) (x+10) = x (x+10) + 2 (x+10) = x'+10x+2x+20 = x'+12x+20

    (a+b) (a+c) = a (a+c) + b (a+c) = a'+ac+ab+bc = a'+(b+c) a+bc

    Como se observa en los productos anteriores, si se multiplican 2 binomios con un termino común, el resultado es un trinomio compuesto por los siguientes términos:

    A) El término común elevado al cuadrado.

    B)El producto del termino coman por la suma de los terminaos no comunes.

    C)El producto de los terminaos no comunes.

    Binomios conjugados

    Si dos binomios cuentan con un termino coman y los otros dos términos difieren solo en el signo, se llaman binomios conjugados. Por ejemplo,(x+2) y (x-2) son binomios conjugados; los binomios de (x+1) son (x-1) y (-x+1).

    A continuación se realizan productos de bin0omios conjugados mediante las reglas para los productos de binomios con un termino común:

    (x+7) (x-7) = x' + (7-7) x + (7) (-7) = x' + (0) x - 49 = x' - 49

    (3x+8) (3x-8) = (3x)' + (8-8) (3x) + (8) (-8) = 9x' + (0) (3x) - 64 = 9x' - 64

    (4x+a) (4x-a) = (4x)' + (a-a) (4x) +(a) (-a) = 16x' + (0) (4x) - a' = 16x' - a'

    El producto de dos binomios conjugados es un binomio cuyos términos son:

  • El cuadrado del termino común.

  • b) El otro termino elevado al cuadrado y con signo negativo

    Los siguientes binomio se multiplican de acuerdo con la regla anterior:

    (3x-2) (3x+2) =(3x)' - 2' = 9x' -4

    (15-6) (-15x-6) = (-6)' - (15x)' =36 - 225x'

    ECUACIONES DE 2º GRADO

    Completas: ax'+bx+c = 0

    Termino

    Independiente

    Termino Lineal

    Termino Cuadrático

    Ecuaciones de 2°

    Grado

    Puras: Les falta el termino lineal

    3x'+ 5 = 0

    Incompletas

    Mixtas: Les falta el termino Ind.

    3x'+ 4x = 0

    Todas las ecuaciones puras se resuelven simplemente despejando la incógnita:

    -100x' + 400 = 0 x1 = +2

    100x' - 400 = 0 x2 = -2

    100x' = 400

    x' = 400/100

    x = 4

    Ecuaciones de 2° grado completas

    Son ecuaciones de la forma ax' + bx + c = 0, que tienen un termino en x', un termino en x y un termino independiente de x.

    Así, 2x'+ 7x - 15=0 y x' - 8x = -15 o x' - 8x + 15= 0 son ecuaciones completas de segundo grado.

    Factorización

    Se resuelven

    Por: Formula general: -(b) +/- b'-4ac

    2 a

    Graficas

    Solución de ecuaciones por

    el método grafico

    Ecuaciones primer grado.

    Ecuaciones simultaneas.

    Ecuaciones de segundo grado.

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