Ecuaciones integrales

Matemáticas. Ecuaciones integrales. Integrales indefinidas. Integrales inmediatas. Métodos de integración. Cambio de variable. Cálculo de integrales. Ejercicios de matemáticas

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Universidad “Gran Mariscal De Ayacucho”

Escuela De Ingeniería De Sistema

Cátedra: Matemática II

'Ecuaciones integrales'

Alumno:

Oleada Albert

C.I:18.012.600

Facultad:

Ing. Sistemas

Ciudad Bolívar 10 Octubre del 2006

INDICE

Introducción……………………………………………………………………………..03

INTRODUCCIÓN AL TEMA

Desarrollo…………………………………………………………………………….…04-27

FUNCION PRIMITIVA DE UNA FUNCION.

PROP. DE LAS PRIM. DE UNA FUNC.

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC

INTEGRALES INMEDIATAS

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( I ).

Integración por cambio de variable (o sustitución).

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( II ).

Conclusión…………………………………………………………………………………28

INTRODUCCION

Hasta ahora he aprendido las reglas de derivación y algunas de sus aplicaciones.


He tenido en cuenta que cuando se invierte algo donde intervienen más de una operación, éstas ha de invertirse pero en orden opuesto. Por aclarar esto, si consideras la operación de ponerte el calcetín y después el zapato, lo inverso será primero quitarte el zapato y luego una camisa. Cuando tenemos xn, al derivar multiplicamos por el exponente y luego disminuimos éste en una unidad, lo inverso será, primero aumentar el exponente en una unidad y después dividir por el exponente.

FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].

Así:

La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

PROP. DE LAS PRIM. DE UNA FUNC.

Primera propiedad

Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función

F(x) + C es otra primitiva de f(x).

Demostración:

Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.

(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)

Ejercicio: primitivas de una función

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Encontrar tres primitivas de la función cos x.

Resolución:

ð Se sabe que sen x es una primitiva de cos x.

ð Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,

'Ecuaciones integrales'

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Segunda propiedad

Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.

Demostración:

Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar

a C.

Tercera propiedad

Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.

Demostración:

Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f'(x) = 0, entonces f(x) = C.

Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F'(x) = f(x);

si G(x) es otra primitiva de f(x), G'(x) = f(x).

Restando miembro a miembro, F'(x) - G'(x) = (F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0, de donde se deduce que F(x) - G(x) = C.

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC.

Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza

'Ecuaciones integrales'

Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».

Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

'Ecuaciones integrales'

donde C representa una constante llamada constante de integración.

Ejercicio: cálculo de primitivas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð Puesto que una primitiva de cos x es sen x,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

Por consiguiente,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

INTEGRALES INMEDIATAS

De la derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m = 4.

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

ð Por la propiedad del producto de potencias de la misma base,

'Ecuaciones integrales'

Por tanto,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð Es una integral inmediata perteneciente al cuarto caso en el que a = 3.

'Ecuaciones integrales'

ð Comprobar la veracidad del vigésimo caso de integral inmediata.

Resolución:

ð Hay que probar la certeza de la igualdad

'Ecuaciones integrales'

Basta demostrar que la derivada de la función

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'
cociente,

'Ecuaciones integrales'

Así,

'Ecuaciones integrales'

Se concluye que

'Ecuaciones integrales'

Por consiguiente,

'Ecuaciones integrales'

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( I )

Integración por descomposición

Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:

ð Primera propiedad de las integrales

La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.

Esto es,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Demostración:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Entonces, F(x) + G(x) es una primitiva de f(x) + g(x) y F(x) - G(x) es una primitiva de

f(x) - g(x), ya que:

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)

(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)

Por tanto,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Análogamente,

'Ecuaciones integrales'

ð Segunda propiedad de las integrales

La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función.

Es decir,

'Ecuaciones integrales'

Demostración:

'Ecuaciones integrales'

Pero (k · F(x))' = k · F'(x) = k · f(x), lo que indica que k · F(x) es una primitiva de

k · f(x). Por tanto,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Ejercicio: cálculo de integrales aplicando el método por descomposición

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

son integrales inmediatas pertenecientes al segundo caso.

En la primera, m = 2, y en la segunda, m = 1.

Así,

'Ecuaciones integrales'

Por consiguiente,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

= - cos x - 3 In |cos x| + C

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð Desarrollando por la fórmula del cuadrado de un binomio:

'Ecuaciones integrales'

ð Así,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

(Obsérvese que ahora la variable es t y no x. Conviene acostumbrarse al manejo de cualquier variable aunque la más utilizada sea la x.)

'Ecuaciones integrales'

ð Aplicando la propiedad distributiva del producto:

'Ecuaciones integrales'

ð Entonces,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð Descomponiendo la fracción en suma de fracciones:

'Ecuaciones integrales'

ð Por tanto,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Integración por cambio de variable (o sustitución)

'Ecuaciones integrales'
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.

Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x → u(x) → u(x)m , la regla de la cadena

'Ecuaciones integrales'

Por tanto,

'Ecuaciones integrales'

Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación.

Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas por cambio de variable

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

ð Sin embargo, en la integral no se tiene 2x sino x. Este contratiempo se 'Ecuaciones integrales'

por la constante (en este caso 2) que falta.

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

ð Se multiplica y se divide por 3:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Si en lugar de x se tuviese una función de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |, por la regla de

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Ejercicio: cálculo de integrales por cambio de variable

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

ð Se multiplica y se divide por 6:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

Por tanto,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

La derivada de ex es la propia función ex . Si en lugar de x se tuviese una función

u( x ), la derivada de eu( x ) por la regla de la cadena es eu( x ) · u' ( x ).

Por consiguiente,

'Ecuaciones integrales'

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( II )

Ejercicio: cálculo de integrales mediante cambio de variable

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð En primer lugar se saca de la integral la constante 5.

'Ecuaciones integrales'

ð Se multiplica y se divide por 3:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

ð Se multiplica y se divide por - 1.

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

ð Se multiplica y se divide por 2:

'Ecuaciones integrales'

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

Haciendo un estudio análogo a los anteriores, se deduce que

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

La derivada de - cos x es sen x. Por la regla de la cadena, la derivada de - cos u es

u' · sen u. Análogamente, la derivada de sen u es u' · cos u.

Así se tienen

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Ejercicio: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

La primera de ellas significa sen (x · x · x), mientras que la segunda es (sen x) · (sen x) · (sen x).

'Ecuaciones integrales'

ð Se saca el factor 5 de la integral.

ð Se multiplica y se divide por 3.

'Ecuaciones integrales'

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð Como en casos anteriores es sencillo demostrar que:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Ejercicio: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð Se saca de la integral la constante 13.

'Ecuaciones integrales'

ð Se multiplica y se divide por 50:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

ð Se multiplica y se divide por 3.

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð Se extrae la constante 3 de la integral.

'Ecuaciones integrales'

Por la derivada de un cociente,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Si u es una función de x, derivando por la regla de la cadena la función sec u, se obtiene u' · sec u · tg u. Análogamente, la derivada de la función - cosec u es u' · cosec u · cotg u. Por tanto,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Ejercicio: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

ðSe multiplica y se divide por 2:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

ð Se multiplica y se divide por 2:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð De los casos 14, 15 y 16 de integrales inmediatas se deducen, de forma similar a como se ha hecho en los casos anteriores, las siguientes integrales inmediatas por cambio de variable:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Ejercicio: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

Así, se ve claro que el cambio que se ha de efectuar es:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

ð Se multiplica y se divide por 3:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð Esta integral, aparentemente, no pertenece a ninguno de los tres casos, aunque tiene cierto parecido a una integral del primer caso.

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

La técnica utilizada para resolver esta integral es de uso frecuente en el cálculo de integrales de cualquiera de estos tres modelos que se están estudiando.

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð Siguiendo los pasos del anterior ejercicio:

'Ecuaciones integrales'

ð Esta integral pertenece al segundo de los dos casos. El cambio que se 'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

'Ecuaciones integrales'

lugar a una integral del tercer caso:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Por tanto, es necesario multiplicar y dividir por 3.

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ð De los casos 17, 18, 19, y 20 de integrales inmediatas se obtienen las siguientes integrales inmediatas por cambio de variable:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( III )

Ejercicio: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð Esta integral pertenece al tercero de los casos. Basta escribir 6x2 - 1 de forma adecuada: 6x2 - 1 = ('Ecuaciones integrales'
x)2 - 1

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð Escribiendo 25 x2 en la forma (5x)2, el cambio a efectuar es u = 5x; u' = 5.

ð Se multiplica y se divide por 5.

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð Transformando adecuadamente 4 - x2, esta integral es del cuarto tipo:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

Se estudia aquí esta integral por resolverse mediante un cambio de variable y por su frecuente uso en el cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales definidas, que se estudiarán más adelante.

'Ecuaciones integrales'

se hace uso del cambio de variable, x = a · sen t.

Diferenciando, dx = a · cos t dt.

Así,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Por trigonometría se sabe que:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

En consecuencia,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Recordando que sen 2 t = 2 sen t · cos t,

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Se llega, finalmente, a la siguiente igualdad:

'Ecuaciones integrales'

Ejercicio: cálculo de integrales

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð Cambio de variable:

x = 3 sen t

dx = 3 cos t dt

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

ð Se deshace el cambio:

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

'Ecuaciones integrales'

Resolución:

ð En este caso se aplicará directamente el resultado al que se llegó:

'Ecuaciones integrales'

ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

CONCLUSION

Se trata de tener los instrumentos que necesitarás para aplicarlos en la integral definida. Por tanto esto consiste en una preparación que se valorará cuando culmine el proceso.

El concepto y propiedades de la integral indefinida, integrales inmediatas; método de integración por cambio de variable, integración por partes; integración de funciones trigonométricas sencillas; integración de funciones racionales sencillas.

Pero esto no quita valor al esfuerzo, aunque es simplemente operacional, que supone el aprendizaje del cálculo de integrales. “Muchas Gracias”

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