Ecuaciones diferenciales. Análisis de funciones. Series. Formas cuadráticas

Métodos, cálculo numérico. Ecuación diferencial, condiciones iniciales. Extremos de una función, derivadas direccionales. Convergencia serie. Taylor

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EJERCICIO 1

Dada la ecuación diferencial:

y´´(x) + ay´(x) + 4y(x) = 1

a) Hallar sin resolver la ecuación, una solución particular.

b) Los valores de “a” para los que la base de soluciones de la ecuación homogénea es (x, ex), siendo  un número real. Calcular .

c) Teniendo en cuenta los items a) y b), tomar un valor de  y especificar condiciones iniciales, de manera tal que:

EJERCICIO 2

Dada la función f(x,y) = x2 + xy - y2 , hallar los extremos de esta función, sujeta a la condición: x2 + xy + y2 = 1

EJERCICIO 3

Hallar el conjunto de convergencia de la serie:

EJERCICIO 4

Dada la forma cuadrática:

(x) = xAxt

donde A es una matriz de Rnxn, hallar las derivadas direccionales en un punto xo y con la dirección de un vector genérico v. Calcular "(x) .

" xi

EJERCICIO 5

Dada la función f(x) = 1 , con a"0, hallar la serie de Taylor y el radio de

x2 + 2 ax + a2

convergencia de la misma. Calcular Fn (0).

EJERCICIO 1

Resolver:

a) y´´ + 4 y´ + 4 y = x , con las condiciones iniciales: y(0) =0 , y´(0) =1

2

b) Dada la ecuación: y´´ - 1 y´ = x2 e -x (x >0) , hallar todas las soluciones. Estudiar la

x

existencia de soluciones en x=0.

EJERCICIO 2

Dada la sucesión: an que cumple la condición: ao =1, a1 = ½ y an+1 = an an-1 , estudiar su convergencia.

EJERCICIO 3

Analizar la convergencia V z  c , de la serie:

EJERCICIO 4

a) Analizar si la serie: , converge a 3 y 5, para distintas

reordenaciones.

b) Hallar los valores de c, para los cuales converge.

EJERCICIO 5

a)Dada la función f(x) = x , hallar:

x2 - 5x + 6

I) La serie de Taylor de f.

II) Calcular f(n) (0).

III) El conjunto de convergencia de la serie de Taylor de f.

b) Sean fn(x) funciones continuas y derivables en [0,1] / fn (0) = 0 y 0 " f´(x) " e -nx .

n

Probar que : d define una función continua en [0,1].

EJERCICIO 1

Hallar las soluciones de la ecuación diferencial:

y´´ + y´ - 12 y = sen (x)

que cumplan las condiciones: y(0) = 0, y´(0) = 1.

EJERCICIO 2

Dada la serie:

estudiar el conjunto de convergencia de la misma, siendo z  C.

EJERCICIO 3

Hallar las direcciones para las cuales la función:

f(x,y) = | x + y |

tiene derivadas direccionales en el punto (1, -1).

EJERCICIO 4

Calcular el volumen del máximo paralepípedo rectángulo que puede inscribirse en el elipsoide:

x2 + y2 + z2 = 1

9 16 36

EJERCICIO 1

Resolver:

a) y´´ + y´- 2y = x2 , con ls condiciones iniciales: y(0) = 0 , y´(0) =1.

b) y´ - n y = 0 , con n  N. Establecer condiciones iniciales para que las soluciones de

1+x

cada ecuación (yn) cumplan: converge uniformemente en algún intervalo.

EJERCICIO 2

Dada la sucesión an de términos estrictamente positivos, definida por:

Calcular lim an.

EJERCICIO 3

Estudiar la convergencia V z  C de la serie:

EJERCICIO 4

a) Dada la serie

¿Es posible encontrar dos reordenaciones distintas de sus términos, de manera tal que en una converja a 2 y en otra a 3? Justificar su respuesta.

b) Analizar la convergencia de la serie si existe su suma.

EJERCICIO 5

a) Dada f(x) = x , hallar:

x2 +1

I)La serie de Taylor de f, y su radio de convergencia.

II) Estudiar la convergencia de:

b) Sea fn(x) una sucesión de funciones continuas en [0,1] y derivables en (0,1) / fn (0) = 1

n2

y lim n2 f´n (x) = 0 , uniformemente. Probar que la función definida por :

f(x) = es continua en [0,1].

lim y(x) = 1

x!+"

"

" (z-1)n

n=1 n 3n

"

" (-1) n-1 (2 + sen (n!))

n=1 n3 + 1

"

" (-1) n-1 (sen (1))3 zn

n=1 n

"

" (n!)c

n=1 (3n)!

"

" fn(x)

n=1

"

" yn

n=1

+"

an+1 = "

0

-nx

an

e

dx

"

" zn

n=1 3n (n+1)

"

" (-1) n-1 n2

n=1 n3 +2

"

" n

n=1 3n-1

"

" f(n)(0)

n=1

"

" fn (x)

n=1

"

" (1 + i)n (z - 1) n

n=0 2n

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