Ecuaciones diferenciales

Matemáticas. Ecuaciones lineales. Determinante de Wronski o Wronskiano. Ecuaciones con coeficientes constantes. Método de coeficientes indeterminados. Polinomio de grado. Método de variación de los parámetros

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UNIDAD IV

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN `n'

Son de la forma F(x,y(x),y',y'',...,y(n)= 0

Solución general: (x,y,c1,c2,...,cn)= 0 (Familia n-parametrica)

Algunos casos especiales:

1) y(n) = K K=cte ; K  R Se resuelve integrando n veces

2) y(n) = f(x) Se resuelve integrando n veces

3) falta la función incógnita y(x) (2º orden) F(x,y',y'') = 0

Sustitución para disminuir el orden en 1: y' = P(x) ! y'' = P'(x)

Nos queda: F (x,P(x),P'(x)) = 0 (ec. Diferencial de 1º orden)

Cuando se resuelve queda como solución general:

(x,P(x),c1) = 0 ! (x,y',c1) = 0 (ec. diferencial de 1º orden)

Vuelvo a resolver la nueva ecuación:

La solución general sera: (x,y,c1,c2) = 0

4) Falta la variable independiente x (2º orden) F(y,y',y'')= 0

Sustitución: y'(x)=P(y) siendo y función de x (y=y(x))

Y''(x)=d/dx (dy/dx) = dP(y)/dx = (dP/dy).(dy/dx) = (dP/dy).y'

(Aplico regla de la cadena)

Como y'=P(y), entonces: y''(x)=P(y).(dP/dy)

Reemplazando y' e y'' nos queda F(y(x),P(y),P.(dP/dy))= 0

Lo que es una ecuación diferencial de 1º orden, la que resolviendo nos queda como solución general:

(y(x),P(y),c1)= 0

Como P(y) = y'(x) reemplazo:

(y(x),y'(x),c1)= 0

Vuelve a quedar una ecuación diferencial de 1º orden, que resolviendo nos da la solución general final:

(x,y(x),c1,c2)= 0

I)ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN `n'

Se llaman lineales porque la función incógnita y= y(x) y sus derivadas y',y'',...,y(n) son de primer grado, es decir, presentan esta forma:

an(x)y(n) + an-1(x)y(n-1) +....+ a2(x)y'' + a1(x)y' + a0(x)y =f(x)

an(x),an-1(x),...,a2(x),a1(x),a0(x) y f(x) son funciones continuas con an(x)" 0

si f(x)"0 la ecuación se llama LINEAL HOMOGENEA O INCOMPLETA

Si f(x)" 0 la ecuación se llama COMPLETA O NO HOMOGENEA

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS DE ORDEN `n'

Estas ecuaciones son de la forma:

an(x)y(n) + an-1(x)y(n-1) +....+ a2(x)y'' + a1(x)y' + a0(x)y = 0 (I)

Donde an(x),an-1(x),...,a2(x),a1(x),a0(x) son funciones continuas de x y an " 0.

Sus propiedades son:

1) y=0 es solución trivial de la ecuación (I), ya que y',y'',..,y(n) = 0 y al reemplazar en la ecuación dada se convierte en la identidad 0 = 0.

2) Si y1(x) e y2(x) son soluciones particulares de la ecuación (I), entonces su suma también es solución de dicha ecuación.

Dem:

Por hipótesis, y1(x) es solución de la ecuación (I), luego:

an.y1(n) + an-1.y1(n-1) +....+ a2.y1'' + a1.y1' + a0.y1 = 0

Análogamente, y2(x) también es solución de la ecuación (I):

an.y2(n) + an-1.y2(n-1) +....+ a2.y2'' + a1.y2' + a0.y2 = 0

Veamos si y1(x)+y2(x) también es solución, entonces reemplazamos en (I).

an.(y1+y2)(n) + an-1.(y1+y2)(n-1) +....+ a2.(y1+y2)'' + a1.(y1+y2)' + a0.(y1+y2)= 0

Por propiedad de la derivada de una suma:

an.y1(n)+an.y2(n)+an-1.y1(n-1)+an-1.y2(n-1)+...+a2.y1''+a2.y2''+a1.y1'+a1.y2'+a0.y1

+a0.y2

Por prop conmutativa y asociativa de la suma:

(an.y1(n)+an-1.y1(n-1)+..+a2.y1''+a1.y1'+a0.y1) = 0 (por hipótesis)

+

(an.y2(n)+an-1.y2(n-1)+..+a2.y2''+a1.y2'+a0.y2) = 0 (por hipótesis)

= 0

Luego resulta que toda la ecuación queda igualada a cero, por lo que y1(x)+y2(x) es también solución de la ecuación (I)

3) Si y(x) es solución de la ecuación diferencial (I), entonces C.y1(x) con C constante también es solución de dicha ecuación

Dem:

Por hipótesis, y1(x) es solución de la ecuación diferencial (I), por lo tanto:

an(x)y1(n) + an-1(x)y1(n-1) +....+ a2(x)y1'' + a1(x)y1' + a0(x)y1 = 0

Veamos si C.y(x) con C constante es solución de la ecuación (I):

an(x).Cy1(n) + an-1.Cy1(n-1) +...+ a2.Cy1'' + a1.Cy1' + a0.Cy1

Por propiedad de la derivada del producto de constante por función sacando factor comun C:

C.[an(x)y1(n) + an-1(x)y1(n-1) +....+ a2(x)y1'' + a1(x)y1' + a0(x)y1] = C.0 = 0

Por lo tanto C.y1(x) es también solución de la ecuación diferencial (I)

Estas tres propiedades aseguran que el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden `n' es un subespacio del espacio vectorial de las funciones continuas.

Como estamos trabajando en el espacio vectorial de las funciones continuas, recordemos la definición de función linealmente independiente (L.I):

Dos funciones y1(x) e y2(x) son L.I si 1.y1(x) + 2.y2(x) = 0 solo para 1=2=0

Generalización para n funciones:

Y1(x),y2(x),...,yn(x) son L.I si 1.y1 + 2.y2(x) +...+n.yn(x) = 0 solo para 1=2=...=n=0 (coef. de la comb.lineal) (1,2,..,n  R)

Otra definición equivalente para funciones L.I es:

Y1(x) e y2(x) son L.I si su razón o cociente es una función de x distinta de constante , es decir:

Y1(x)/y2(x) = g(x) " K (cte)

Observación:

Si y1(x) e y2(x) son L.D, entonces el cociente y1(x)/y2(x)= K (cte)

DETERMINANTE DE WRONSKI O WRONSKIANO

Definición:

Al determinante formado por dos funciones y1(x) e y2(x) y sus derivadas primeras y1'(x) y y2'(x) se lo llama DETERMINANTE DE WRONSKI O WRONSKIANO

Se simboliza: W(y1(x),y2(x)) = %y1(x) y2(x)%

%y1'(x) y2'(x)%

Generalización:

Si tenemos n funciones y1(x),y2(x),..,yn(x)

%y1 y2 ..........yn %

W(y1(x),y2(x),..,yn(x))= %y1' y2'..........yn'%

%.......................%

%y1(n-1)y2(n-1)..yn(n-1)%

Propiedades del Wronskiano:

1) Si y1(x) e y2(x) son funciones L.D en un intervalo [a,b], entonces el wronskiano de y1 e y2 se anula en todo punto de dicho intervalo (es idénticamente nulo).

Dem:

Por hipótesis y1(x) e y2(x) son L.D, es decir y1(x)/y2(x)=K(cte)o y1(x)=K.y2(x)

Derivamos: y1'(x)= K.y2'(x)

Armamos el wronskiano:

W(y1,y2)= % y1(x) y2(x) % = % K.y2(x) y2(x) % = K.y2.y2' - K.y2'.y2 = 0

% y1'(x) y2'(x)% % K.y2'(x) y2'(x)%

2) Si y1(x) e y2(x) son funciones L.I en [a,b], entonces W(y1(x),y2(x)) no se anula en ningun punto del intervalo

Dem:

Intentaremos demostrarlo por el absurdo. Supongamos que w(y1,y2) se anula en algun punto del [a,b], es decir:

W(y1,y2) = %y1(x) y2(x) % = 0

%y1'(x) y2'(x)%

y1.y2' - y1'.y2 = 0

como por hipótesis y1(x) e y2(x) son L.I entonces y1(x)"0 e y2(x)"0. Podemos dividir por y1²(x):

(y1.y2'-y1'.y2)/y1²(x)= 0

El primer miembro de la igualdad es la derivada del cociente entre y2 e y1:

(y2/y1)' = 0 ! integro !y2/y1 = K (cte)

Luego: y2 = K.y1

Esto significa que y1 e y2 son L.D, lo que contradice la hipótesis, luego, el W(y1,y2) no se anula en ningún punto.

Conclusión:

La solución general de la ecuación an.y(n)+an-1.y(n-1)+...+a2.y''+a1.y'+a0.y = 0 es una combinación lineal de `n' soluciones linealmente independientes, es decir:

Y= C1y1(x) + C2y2(x) +.....+ Cnyn(x) siendo y1(x),y2(x),...,yn(x) funciones L.I y soluciones particulares de la ecuación.

RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES, HOMOGENEAS, DE ORDEN `N', CON COEFICIENTES CONSTANTES

Son de la forma: an.y(n)+an-1.y(n-1)+...+a2.y''+a1.y'+a0.y = 0

An, an-1,...,a2,a1,a0  R ; an " 0

Comenzamos el análisis con las de primer orden, es decir:

a1.y' + a0.y = 0

O bien a.y' + b.y = 0 con a,b  R ; a " 0

Es una ecuación diferencial a variables separables:

a.(dy/dx) = -b.y

integro:

"dy/y = -"b/a dx

ln y = (-b/a)x + K

Por definición de logaritmo

(-b/a)x + K

Y = e

Por prop de distribución de potencias de igual base

(-b/a)x k

k Y = e .e

Puesto que e es igual a una constante tenemos que la solución general será:

(-b/a)x

Y = C.e C = constante

rx

Observamos que una solución particular es de la forma y = e con r=cte.

Es lógico pensar que para la ecuación diferencial lineal de segundo orden

ay'' + by' + cy = 0

rx

Con a,b,c  R y a " 0 una solución también sea de la forma y1 = e

Derivamos dos veces y reemplazamos en la ecuación de 2º orden:

rx rx

y1' = r.e ; y2' = r².e

rx rx rx

a.r².e + b.r.e + c.e = 0

rx rx

e (a.r²+ b.r + c) = 0 e " 0

Luego a.r²+ b.r + c = 0. Esta ecuación se llama ecuación o polinomio característico

Se presentan tres casos:

1º CASO: la ecuación característica tiene dos raíces reales y distintas (r1 " r2), r1 y r2  R. r1x r2x

Las dos soluciones particulares de la ecuación son: y1=e e y2=e

Analizamos si y1 e y2 son L.I:

r1x r2x r1x-r2x (r1-r2)x

Y1(x)/y2(x) = e /e = e = e " constante pues r1"r2 (r1-r2"0)

r1x r2x r1x r2x

Luego e y e son L.I (base={e ,e })

El conjunto de todas las soluciones es una combinación lineal de dos soluciones L.I

r1x r2x

Solución General: y = C1.e + C2.e

2º CASO: las raíces de la ecuación característica son reales e iguales (r1 = r2)

r1x r2x

Las soluciones particulares e y e son la misma solución:

r1x r2x (r1-r2)x

e /e = e = 1 son L.D

r1x

Necesitamos hallar otra solución L.I con e , es decir, el cociente entre y1 e y2 debe ser una función de x distinta de constante u(x):

y2(x)/y1(x) = u(x)

y2(x) = u(x).y1(x)

r1x

y2(x) = u(x).e

Debemos determinar cual es la función u(x) tal que y2(x) sea solución de la ecuación diferencial.

Derivamos y2=u(x).e dos veces y reemplazamos en la ecuación diferencial:

r1x r1x r1x

y2' = u'.e + u.r1.e = e (u' + u.r1)

r1x r1x r1x r1x r1x

y2''= u''.e + u'.r1.e + u'.r1.e + u.r1².e = e (u''+ 2u'.r1 + u.r1²)

r1x

e (a.u'' + 2.a.u'.r1 + a.u.r1² + b.u' + b.u.r1 + c.u) = 0

Reagrupando y sacando factor común a las derivadas de u, y como e " 0, tenemos:

a.u''+(2.a.r1+b).u'+(a.r1²+b.r1+c).u=0 (ec. Diferencial con función incógnita u(x))

Como r1 es raíz de la ecuación característica entonces a.r1²+b.r1+c = 0 (A)

Además r1 es raíz doble. Por propiedad de las raíces de una ecuación de 2º grado, la suma de las mismas es -b/a. En nuestro caso:

R1 + r1 = -b/a ! 2.r1 = -b/a

2.r1.a = -b

2.a.r1 + b = 0 (B)

Según (A) y (B) la ecuación diferencial en u(x) se reduce a:

a.u'' = 0 a"0

u'' = 0

Se resuelve integrando dos veces:

u' = C1

u = C1x + C2 ! es la función u(x) buscada

r1x

Reemplazando en y2: y2= (C1x + C2).e

r1x

¿Bajo que condiciones sobre C1 y C2 y2 es L.I con y1=e ?

C1 " 0 para cualquier C2  R

De todas las posibilidades elegimos C1=1 y C2=0, es decir resulta u(x)= x y luego

r1x r1x r1x

Y2 = x.e , la base es {e ,x.e }

La solución general es:

r1x r1x r1x

Y= C1.e + C2.x.e = e (C1+C2.x)

3º CASO: Las raíces de la ecuación característica son complejos conjugados

r1= +i ; r2= -i , ,  R , "0

Conceptos previos al tercer caso:

Definición: toda función de la forma u(x)+v(x).i se llama función compleja de variable real (x es la variable real, x  R)

-u(x) se llama componente real

-v(x) se llama componente imaginaria

Propiedad: Si una función compleja de variable real u(x)+v(x).i es solución de la ecuación diferencial a.y''+b.y'+cy =0, entonces sus componentes real (u(x)) e imaginaria (v(x)) separadamente también son soluciones de dicha ecuación.

Demostración:

Por hipótesis u(x)+v(x).i es solución de la ecuación diferencial, es decir:

A(u+v.i)''+ b(u+v.i)'+ c(u+v.i)= 0

Por propiedad distributiva de la derivación:

a.u'' + a.v''.i + b.u' + b.v'.i + c.u + c.v.i = 0

por prop.conmutativa, asociativa y factor común “i”

(a.u'' + b.u' + c.u)+(a.v'' + b.v' + c.v).i = 0

Llamamos al primer termino de la suma A(x) y al segundo B(x).

Luego sabemos que

A(x)+B(x).i = 0 + 0.i si y solo si A(x)=0 y B(x)=0

Por lo tanto:

a.u''+b.u'+c.u = 0 ! u(x) es solución de la ec.diferencial a.y''+b.y'+cy =0

y

a.v''+b.v'+c.v = 0 ! v(x) es solución de la ec.diferencial a.y''+b.y'+cy =0

Las soluciones particulares de a.y''+b.y'+cy =0 son:

y1(x) = e ; y2(x) = e

Analizamos si son L.I:

(+i)x (-i)x x+xi-x+xi 2xi

y1(x)/y2(x)= e /e = e = e

2xi

Como "0 entonces e " cte y y1(x) e y2(x) son L.I

(+i)x

Tratemos de expresar a e de otra forma usando la formula de Euler que dice:

i

e = cos  + i.sen 

Aplicada a nuestro caso:

(+i)x x+ix x ix x x x

e = e = e .e = e (cos x + i.sen x)= e cos x + e senx.i =

= u(x) + v(x).i (función compleja de variable real x)

x

Por la propiedad vista, como u(x)+v(x).i es solución de la ecuación, entonces e .

x

cos x y e .sen x también son soluciones de la ecuación diferencial dada.

Veamos nuevamente si son L.I:

e cos x/e sen x = cos x/sen x

Como "0 ! cos x/sen x " cte ! son L.I

(-i)x

Para y2(x)= e resulta, sabiendo que sen(-x)=-sen(x):

x x x

e (cos x-i.sen x) = e cos x - e sen xi

Siendo el primer miembro de la resta u(x) y el segundo v(x)

Entonces la solución general de la ecuación diferencial es una combinación lineal

x x

de dos soluciones L.I. en nuestro caso esas soluciones son e cos x y e sen x

x x

luego y = C1.e cos x + C2.e sen x

x

x

y = e (C1.cos x + C2.sen x)

CONCLUSION (GENERALIZACION):

Sea an.y(n)+an-1.y(n-1)+...+a2.y''+a1.y'+a0.y = 0 (an,an-1,...,a2,a1,a0  R ;an"0)

Se arma la ec.caracteristica: an.r +....+a2.r²+a1.r+a0 = 0

Se hallan las raices r1,r2,..,rn y de ahí se discrimina:

1) Si las raíces son reales y distintas r1,r2,..,rn, entonces la solución general es: r1x r2x rnx

Y = C1.e + C2.e +...+ Cn.e

2) Si r1 es de multiplicidad `n' (caso limite: todas las raíces son iguales)

r1x r1x n-1 r1x r1x n-1

Y = C1.e + C2.x.e +...+ Cn.x .e = e (C1 + C2.x +...+ Cn.x )

3) Si las raíces son complejos conjugados

x

Y = e (C1.cos x + C2.sen x)

4) Si existen dos o mas tipos de raíces de las nombradas, entonces se suman las soluciones particulares de cada tipo

II) ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES COMPLETAS DE ORDEN `N'

Son de la forma: an.y(n) + an-1.y(n-1) +...+ a2.y'' + a1.y' + a0.y = f(x) (I)

An, an-1,...,a2, a1, a0 son funciones continuas de x, an"0, f(x)"0

Propiedad:

La solución general de la ecuación diferencial (I) es igual a la suma entre la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada a (I) y una solución particular de la ecuación (I):

Y= yh + yp

Demostración:

Llamamos yh a la solución general de la ec.diferencial homogénea asociada a (I), e yp a una solución particular de la ecuación (I). Debemos demostrar que se cumple y= yp + yh

Por hipótesis yh es solución de la ec.diferencial homogénea asociada a (I):

(n) (n-1)

An.yh + an-1.yh +...+ a2.yh'' + a1.yh' + a0.yh = 0

También por hipótesis yp es solución de la ecuación (I)

(n) (n-1)

An.yp + an-1.yp +...+ a2.yp'' + a1.yp' + a0.yp = f(x)

Sumamos miembro a miembro extrayendo factores comunes:

(n) (n) (n-1) (n-1)

an.(yh +yp )+an-1.(yh +yp )+...+a2.(yh''+yp'')+a1.(yh'+yp')+a0.(yh+yp)= f(x)

por propiedad de derivada de una suma:

an.(yh+yp) +an-1.(yh+yp) +...+a2.(yh+yp)''+a1.(yh+yp)'+a0.(yh+yp)=f(x)

Entonces yh+yp es solución de la ecuación diferencial.

RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES COMPLETAS DE ORDEN `N' CON COEFICIENTES CONSTANTES

1) METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

Se puede aplicar cuando las derivadas de la función f(x) mantienen la misma forma que

x

dicha función; es el caso de los polinomios, las exponenciales e y las combinaciones lineales de senos y cosenos.

1º caso: f(x) = Pk(x) polinomio de grado k con coeficientes conocidos

La solución general es y= yh+yp

  • Para determinar yh:

1º) Se arma la ec.caracteristica: an.r +...+a2.r²+a1.r+a0 = 0

2º) Se hallan las raices r1,r2,...,rn.

3º) Se hallan `n' soluciones L.I y1(x), y2(x),...,yn(x) de acuerdo al tipo de raíces encontradas.

Entonces yh es una combinación lineal de estas `n' soluciones:

Yh= C1.y1(x) + C2.y2(x) +....+ Cn.yn(x)

  • Para determinar yp:

Es lógico pensar que yp debe ser un polinomio, entonces ensayamos en principio un polinomio del mismo grado que Pk(x) pero con coeficientes a determinar:

yp = Qk(x) grado k

Derivamos n veces:

yp'= Qk'(x) grado k-1

yp'' = Qk''(x) grado k-2

..........................

(n) (n)

Yp = Qk (x) grado k-n

Reemplazamos en la ecuación diferencial:

(n) (n-1)

An.Qk (x) + an-1.Qk (x) +...+ a2.Qk''(x) + a1.Qk' + a0.Qk = Pk(x)

  • Si a0 " 0 el grado del primer miembro es k y la igualación de polinomios es posible para determinar los coeficientes de Qk(x).

Decir que a0 " 0 equivale a afirmar que la ec.caracteristica tiene termino independiente no nulo y entonces cero no es raíz de la misma.

En este caso tomamos yp = Qk(x)

  • Si a0 = 0 y a1 " 0 entonces el primer miembro tiene grado k-1. la igualación de polinomios en estas condiciones no es posible ya que ambos miembros tienen distinto grado. La ec.caracteristica tiene término independiente nulo y por lo tanto cero es raíz simple de la misma. En este caso tomamos un polinomio de grado k+1 o bien yp = x.Qk(x) para que la igualación sea posible.

  • Si a0 = 0 , a1 = 0 y a2 " 0 el primer miembro es de grado k-2. esto equivale a decir que cero es raíz doble de la ec.caracteristica y para que la igualación de polinomios sea posible es necesario elevar en dos el grado de Q(x), o lo que es lo mismo tomar yp = x².Qk(x).

Conclusión (generalización):

  • Si cero no es raíz de la ec.caracteristica entonces yp = Qk(x).

  • Si cero es raíz de multiplicidad `n' de la ec.caracteristica entonces yp=x .Qk(x)

x

2º Caso: f(x)= e .Pk(x)  constante y Pk(x) polinomio de grado k con coeficientes conocidos.

x

Desarrollamos para ecuaciones diferenciales de 2º orden: a.y''+b.y'+cy = e .Pk(x) (a,b,c  R, a"0)

La solución general es y = yh + yp donde yh es la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada a la ecuación dada.

Yh = C1.y1(x) + C2.y2(x) siendo y1(x) e y2(x) soluciones particulares L.I de la ec.homogenea asociada.

Yp es una solución particular de la ecuación dada.

En principio tomamos:

Yp = e .Qk(x) siendo Q un polinomio de grado k con coeficientes a determinar

x x x

Yp'= .e .Qk(x) + e .Qk'(x) = e [.Qk(x) + Qk'(x)]

Yp''=².e .Qk(x)+.e .Qk'(x)+.e .Qk'(x)+e .Qk''(x)=e [².Q(x)+2..Q'(x)+Q''(x)]

Reemplazamos en la ec.diferencial sacando factor común:

x x

e (a.².Q + 2.a..Q' + a.Q'' + b..Q + b.Q' + c.Q) = e .Pk(x)

Reagrupando y ordenando:

a.Q'' + (2.a. + b).Q' + (a.² + b. + c).Q = Pk(x)

De aquí podemos sacar las siguientes conclusiones:

  • Si  no es raíz de la ec.caracteristica entonces a.² + b. + c " 0. el grado del primer miembro de la ecuación es k y por igualación podemos hallar los coeficientes de Qk(x).

  • Si  es raíz simple de la ec.caracteristica entonces a.² + b. + c = 0 y 2.a.+b= 0 el grado del polinomio del primer miembro es k-1 y la igualación de polinomios no es posible. Para solucionar este problema elevamos en 1 el grado de Q(x), o lo que es

x

lo mismo, tomamos yp = x.e .Qk(x).

  • Si  es raíz doble de la ec.caracteristica entonces a.² + b. + c = 0 y 2.a.+b=0 y como a " 0, por la propiedad de las raíces de una ecuación de 2º grado:

 +  =-b/a

2 = -b/a

2..a + b = 0

Entonces el grado del primer miembro es k-2. luego, para poder efectuar la igualación de polinomios debemos elevar en dos el grado de Q(x) o bien tomar

x

Yp= x².e .Qk(x)

Conclusión (generalización):

x

  • Si  no es raíz de la ec.caracteristica entonces yp= e .Qk(x)

x

  • Si  es raíz de multiplicidad `n' de la ec.caracteristica entonces yp= x .e .Qk(x)

3º Caso: f(x)= m.cos x + n.sen x m,n y   R

Expresamos a f(x) en funcion de polinomios por exponenciales (reduccion al 2º caso). Para eso usamos la formula de Euler:

xi

e = cos x + i.sen x

-xi

e = cos x - i.sen x

________________________________________

xi -xi xi -xi

e + e = 2.cos x ! cos x = (e + e )/2

Si restamos:

xi -xi xi -xi

e - e = 2.i.sen x ! sen x = (e - e )/2i

Reemplazamos en f(x):

xi -xi xi -xi

f(x) = m.(e + e )/2 + n. (e + e )/2i

xi -xi

f(x) = (m/2 + n/2i).e + (m/2 - n/2i).e

Los términos entre paréntesis son constantes, es decir polinomios de grado cero, por lo que su solución queda reducida al segundo caso donde  = ±i. Usamos las conclusiones del segundo caso:

  • Si ±i no son raíces de la ec.caracteristica, entonces yp= A.cos x + B.sen x

  • Si ±i son raíces de multiplicidad `n', entonces yp= (A.cos x + B.sen x).x

4º Caso: Combinación lineal de los tres casos anteriores

En este caso yp se escribe también como combinación lineal de las soluciones para cada uno de los tipos de función incluida en f(x), siempre que sean alguno de los casos vistos.

5º Caso: f(x)= P(x).e .cos x + Q(x).e .sen x ; P(x) y Q(x) son polinomios conocidos con grados no necesariamente iguales. ,  R

Expresamos cos x y sen x en forma exponencial con la formula de Euler y sumamos miembro a miembro:

ix

e = cos x + i.sen x

-ix

e = cos x - i.sen x

_____________________________

ix -ix ix -ix

e + e = 2.cos x ! cos x = (e + e )/2

Restamos miembro a miembro también:

ix -ix ix -ix

e + e = 2.i.sen x ! sen x = (e - e )/2i

reemplazamos en f(x):

x ix -ix x ix -ix

f(x) = P(x).e .[e + e ]/2 + Q(x).e .[e + e ]/2i

(+i)x (-i)x (+i)x (-i)x

f(x) = (P(x)/2).(e + e )+(Q(x)/2i).(e - e )

(+i)x (-i)x

f(x) 0 [P(x)/2 + Q(x)/2i].e + [P(x)/2 + Q(x)/2i].e

donde los terminos entre corchetes son polinomios de grado igual al del polinomio P(x) o Q(x) de mayor grado.

Entonces f(x) queda reducida al segundo caso. Las conclusiones son:

  • Si +i no son raíces de la ecuación característica tomamos yp= A(x).e .cos x

+ B(x).e .sen x

  • Si +i son raíces de multiplicidad `n' de la ec.caracteristica tomamos

Yp= (A(x).e .cos x + B(x).e .sen x).x

2) METODO DE VARIACION DE LOS PARAMETROS

Sirve para resolver ec.diferenciales lineales, completas con coeficientes constantes y de orden `n'.

La deducción se hará para ecuaciones de segundo orden, es decir:

a.y'' + b.y' +c.y = f(x) a, b, c  R ; a " 0 ; f(x) " 0 (I)

Como ya sabemos, la solución general de esta ecuación es y=yh + yp siendo yh la solución general de la ec.diferencial homogénea asociada e yp una solución particular de la ecuación dada.

Para obtener yh armamos la ecuación característica a.r² + b.r + c = 0 y siendo y1(x) e y2(x) soluciones L.I de la ec.diferencial homogénea asociada resulta:

Yh = C1.y1(x) + C2.y2(x)

Para la determinación de yp tomamos una combinación de y1(x) e y2(x) con coeficientes variables.

Yp = L1(x).y1(x) + L2(x).y2(x) siendo L1(x) y L2(x) funciones a determinar.

Derivamos dos veces:

Yp' = L1.y1' + L1'.y1 + L2.y2' + L2'.y2

Tomo como condición arbitraria L1'.y1 + L2'.y2 = 0 (II)

Yp'' = L1.y1'' + L1'.y1' + L2.y2'' + L2'.y2'

Reemplazamos en (I):

a.L1.y1''+a.L1'.y1'+a.L2.y2''+a.L2'.y2'+b.L1.y1'+b.L2.y2'+c.L1.y1+c.L2.y2 = f(x)

Sacamos factores comunes y ordenamos convenientemente:

a(L1'.y1'+L2'.y2')+(a.y1''+b.y1'+c.y1).L1+(a.y2''+b.y2'+c.y2).L2 = f(x)

Como y1 e y2 son soluciones de la ecuación homogénea asociada, los últimos dos términos de la suma son nulos, por lo tanto nos queda:

a(L1'.y1'+L2'.y2') = f(x)

(L1'.y1'+L2'.y2') = f(x)/a (III)

Las condiciones (II) y (III) son dependientes entre si y forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

L1'.y1'+L2'.y2' = f(x)/a incógnitas: L1'(x) y L2'(x)

L1'.y1 + L2'.y2 = 0 coeficientes: y1, y2, y1', y2'

Term.independientes: 0 y f(x)/a

Analizamos la compatibilidad de este sistema. El determinante de los coeficientes de las incógnitas es:

% y1(x) y2(x) %

% % es el wronskiano de y1(x) e y2(x)

% y1'(x)y2'(x)%

Recordamos la propiedad:

Si y1(x) e y2(x) son funciones L.I en el intervalo [a,b], entonces W(y1,y2) " 0 en todo el intervalo.

En nuestro caso y1 e y2 son L.I, entonces el W " 0 y el sistema es compatible determinado.

Resolvemos por determinantes:

% 0 y2 %

% %

%f(x)/a y2' %

L1= ______________ = [y2'.0 - (f(x)/a).y2]/ W(y1,y2) ! L1=-" [f(x).y2]/a.W(y1,y2) dx

W (y1,y2)

% y1 0 %

% %

% y1' f(x)/a%

L2= ______________ = [y1.(f(x)/a) - 0.y1']/ W(y1,y2) ! L2= " [f(x).y1]/a.W(y1,y2) dx

W (y1,y2)

Solución general:

Y1 = C1.y1 + C2 .y2 + L1.y1 + L2.y2

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