Ecuaciones diferenciales

Matemáticas. Análisis matemático. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Problemas resueltos. Problema del valor inicial

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Ecuaciones

diferenciales

0 . Introducción

Ya conoceis el problema básico:

Hallar y(t) tal que 'Ecuaciones diferenciales'

cuyas infinitas soluciones (bajo los supuestos precisos) vienen dadas por

'Ecuaciones diferenciales'

en la que se ha explicitado la constante arbitraria C de integración

La ecuación 'Ecuaciones diferenciales'
se dice que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden cuya solución general es la familia de curvas paralelas 'Ecuaciones diferenciales'

La curva (única) de la familia que pasa por un punto dado (t0, y(t0)) se llama solución (o integral) particular de la ecuación para la condición inicial dada y(t0)

5.1. Ecuación diferencial de una familia de curvas

Sea una familia de curvas dependientes de un parámetro:

'Ecuaciones diferenciales'

Por derivación, podemos eliminar el parámetro C y obtener una ecuación diferencial, que se llama ecuación diferencial de la familia

'Ecuaciones diferenciales'

EJEMPLOS:

Obtener la EDO de las siguientes familias de curvas

1) 'Ecuaciones diferenciales'

2) 'Ecuaciones diferenciales'

3) 'Ecuaciones diferenciales'

4) 'Ecuaciones diferenciales'
(Boletín)

5) 'Ecuaciones diferenciales'
(Boletín)

En los ejemplos anteriores podemos ver cómo cada ecuación diferencial expresa determinadas propiedades geométricas de las curvas de la familia que la genera

Los ejemplos pueden hacer también pensar que puesto que a toda familia de curvas podemos hacerle corresponder una ecuación diferencial, a toda ecuación diferencial le podríamos hacer corresponder una familia de curvas como solución . . . . PERO NO

5.2 Definiciones básicas. Solución general, soluciones particulares y soluciones singulares

5.2.1 Ecuaciones diferenciales

En general, se llama ecuación diferencial ordinaria (EDO en adelante) de orden p a toda ecuación de la forma 'Ecuaciones diferenciales'
que relaciona la variable independiente t (el tiempo para nosotros) con una función desconocida de la misma y(t) y las sucesivas derivadas de ésta hasta el orden p

Cuando F es lineal, la ecuación se llama lineal

Ejemplos:

'Ecuaciones diferenciales'

'Ecuaciones diferenciales'

'Ecuaciones diferenciales'

'Ecuaciones diferenciales'

5.2.2 Solución

Se llama solución de la ecuación 'Ecuaciones diferenciales'
a toda función 'Ecuaciones diferenciales'
tal que 'Ecuaciones diferenciales'
(al sustituir en la ecuación se obtiene una identidad)

Ejemplo: Comprobar que 'Ecuaciones diferenciales'
es solución de la ecuación 'Ecuaciones diferenciales'

5.2.3 Solución general. Soluciones particulares y soluciones singulares

5.2.3.1 Se llama solución general de EDO de orden p

'Ecuaciones diferenciales'

a toda solución de la misma que contenga p constantes arbitrarias

Ejemplos:

1) Hallar la solución general de 'Ecuaciones diferenciales'

2) Comprobar que 'Ecuaciones diferenciales'
es la solución general de la ecuación 'Ecuaciones diferenciales'

5.2.3.2 Se llaman soluciones particulares de la EDO a todas aquellas soluciones que se obtienen a partir de la solución general para valores particulares de la o las constantes arbitrarias que figuren en la solución general

Ejemplos:

Halle soluciones particulares para las ecuaciones

1) 'Ecuaciones diferenciales'

2) 'Ecuaciones diferenciales'

3) Ejercicio 4 del boletín:

5.2.3.3 El Problema del valor inicial (PVI):

Consiste en:

Dada una EDO, hallar la solución particular y(t) tal que para t = t0 (normalmente t = 0), se tiene y(t0) = y0 (conocido)

Ejemplos:

1) Hallar la solución particular que cumple la condición (inicial) y(0) = 4 para la ecuación 'Ecuaciones diferenciales'

2) Ejercicio 7 del boletín

5.2.3.4 Soluciones singulares: En ocasiones una EDO puede tener soluciones que no están contenidas en la solución general (no corresponden a valores particulares de las constantes). Tales soluciones se llaman soluciones singulares

Ejemplo:

Ejercicio 2 del boletín: 'Ecuaciones diferenciales'
es la solución general de la ecuación 'Ecuaciones diferenciales'

'Ecuaciones diferenciales'
son soluciones singulares ya no se obtienen para valores particulares de la constante C

5.3 Ecuaciones de primer orden

Son de la forma general 'Ecuaciones diferenciales'

Cuando la variable t no figure explícitamente en la ecuación, la llamaremos autónoma: 'Ecuaciones diferenciales'

Cuando sea posible despejar y' de la ecuación diremos que es explícita: 'Ecuaciones diferenciales'

La ecuación 'Ecuaciones diferenciales'
es explícita y autónoma

Ejemplos: A proponer

5.3.1 Existencia y unicidad de la solución para el problema del valor inicial (PVI) en las ecuaciones de primer orden explícitas. Aproximación de Euler. Diagramas de fase

Antes de enunciar el teorema de existencia y unicidad (uno de ellos) de la solución de la ecuación 'Ecuaciones diferenciales'
para el PVI, consideremos la siguiente aproximación intuitiva que de hecho fundamenta la prueba formal

Aproximación: La poligonal de Euler

Consideremos la ecuación 'Ecuaciones diferenciales'

Propongámonos hallar la solución particular que verifica una determinada condición inicial 'Ecuaciones diferenciales'

Debe ser 'Ecuaciones diferenciales'

Para valores de t suficientemente próximos a 'Ecuaciones diferenciales'
, podremos aproximar la función solución y = y(t) de la ecuación por la recta tangente en 'Ecuaciones diferenciales'
cuya pendiente es 'Ecuaciones diferenciales'

Considerando ahora el punto 'Ecuaciones diferenciales'
con h lo suficientemente pequeño, podemos obtener 'Ecuaciones diferenciales'

Aproximaríamos ahora la solución y(t) de la ecuación en el intervalo desde t0 a t0+ h por el segmento de tangente

Repitiendo el proceso obtendremos una poligonal (poligonal de Euler) que aproximará la solución de la ecuación

Parece natural que el límite cuando 'Ecuaciones diferenciales'
conduzca a la solución y(t) de la ecuación

Un teorema de existencia y unicidad

Puede probarse que:

“Dada la ecuación 'Ecuaciones diferenciales'

Si 'Ecuaciones diferenciales'
y 'Ecuaciones diferenciales'
son ambas continuas en un rectángulo R “centrado” en 'Ecuaciones diferenciales'
, entonces existe una única función y = y(t) (solución de la ecuación) que verifica la condición 'Ecuaciones diferenciales'

El teorema da una condición suficiente (no necesaria) de existencia y unicidad de la solución de 'Ecuaciones diferenciales'
que cumpla para el PVI

Naturalmente, supuesto que pueda asegurarse la existencia y unicidad de la solución, tenemos otras dificultades

Por ejemplo: Las ecuaciones 'Ecuaciones diferenciales'
; 'Ecuaciones diferenciales'
; 'Ecuaciones diferenciales'

son ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden ser resueltas (integradas) mediante el cálculo elemental de primitivas

La ecuación 'Ecuaciones diferenciales'
es un ejemplo de ecuación de primer orden para la cual la integración (búsqueda de solución) ya no es tan sencillo, pero posible

No ya difícil, sino imposible (en términos de funciones elementales), es el caso de ecuaciones como 'Ecuaciones diferenciales'
o 'Ecuaciones diferenciales'
, para cuya resolución hay que recurrir a desarrollos en serie u otros métodos numéricos de aproximación

Por ello, como en el caso de las EDF más que resolver la ecuación en sí, interesa en la práctica mucho más a veces, predecir cómo se comportaría la solución. En particular interesa estudiar el comportamiento de las soluciones a largo plazo o sea cuando 'Ecuaciones diferenciales'
y hablar de estabilidad o inestabilidad de los puntos de equilibrio

También como en el caso de las EDF, para las EDO autónomas del tipo 'Ecuaciones diferenciales'
disponemos de un método gráfico de fácil aplicación: Los diagramas de fase

Diagramas de fase:

Si dibujamos la gráfica de y' = f(y) en el plano y y'

Los puntos de equilibrio (para los que la solución y(t) es constante) corresponderán a los puntos y* para los que 'Ecuaciones diferenciales'
(cortes al eje horizontal)

Supongamos por ejemplo el caso básico de f lineal

Para y>y* la derivada de la solución y'>0, lo que significa que y(t) crece con t y remarcamos este hecho con una flecha dirigida de izquierda a derecha sobre la gráfica

Para y < y* la derivada y'<0, lo que significa que la solución y(t) decrece con t, Lo remarcamos dibujando una flecha derecha izquierda:

Se deduce entonces que el comportamiento de la solución es distinto según se consideren valores iniciales y0 menores o mayores que y*

'Ecuaciones diferenciales'
La solución se aleja del equilibrio y diremos que éste es un repulsor inestable

En el caso

El equilibrio sería estable (atractor)

Ejemplos:

1) Ejercicio 3 del boletín

2) La ecuación logística 'Ecuaciones diferenciales'

5.4 EDO Lineales de primer orden, homogéneas y completas.

El método de variación de constantes

Se llama EDO lineal general de primer orden a la ecuación:

'Ecuaciones diferenciales'

Donde la función y(t) es desconocida (“incógnita”)

y donde a(t) y b(t) son funciones conocidas y continuas en un intervalo I 'Ecuaciones diferenciales'
(datos)

La ecuación 'Ecuaciones diferenciales'
en la que el “término independiente” b(t) es nulo, se llama EDO lineal general homogénea de primer orden

Nos planteamos los problemas 1, 2 y 3 siguientes:

Problema 1: Hallar la solución general de la ecuación homogénea

'Ecuaciones diferenciales'

Este problema no plantea dificultades: “Separamos variables”

'Ecuaciones diferenciales'

de manera que: 'Ecuaciones diferenciales'
donde C será una constante arbitraria

“quitando” el logaritmo: 'Ecuaciones diferenciales'

La solución general de la ecuación 'Ecuaciones diferenciales'
es pues 'Ecuaciones diferenciales'

Problema 2: Hallar una solución particular (PVI)

Se reduce a determinar el correspondiente valor de la K

Ejemplos:

1) 'Ecuaciones diferenciales'
'Ecuaciones diferenciales'

Solución del PVI 'Ecuaciones diferenciales'
'Ecuaciones diferenciales'

2) 'Ecuaciones diferenciales'
'Ecuaciones diferenciales'

Observa que este ejemplo es parecido al anterior PERO si tenemos en cuenta que nuestra variable es el tiempo y que lo que nos interesa realmente aquí es el comportamiento de la solución a largo plazo, vemos que las diferencias entre uno y otro ejemplo son notables:

'Ecuaciones diferenciales'
dependiendo del signo de K en el primer caso

mientras 'Ecuaciones diferenciales'
con independencia de K en el segundo

3) 'Ecuaciones diferenciales'
'Ecuaciones diferenciales'

4) 'Ecuaciones diferenciales'
(Malthus)

Más ejemplos: Boletín

Problema 3. Hallar la solución general de la ecuación completa

'Ecuaciones diferenciales'

Es inmediato probar (ejercicio) que:

P1. Si yP(t) es una solución cualquiera de la ecuación completa

y

si yH(t) es una solución cualquiera de la ecuación homogénea asociada, entonces,

'Ecuaciones diferenciales'

es también solución de la ecuación completa

P2. Toda solución y(t) de la ecuación completa se expresa como suma 'Ecuaciones diferenciales'
de una solución de la ecuación ce la ecuación completa y una solución de la homogénea

Consecuencia:

La solución general de la ecuación completa es la suma de la solución general de la ecuación homogénea asociada y una solución particular cualquiera de la completa:

'Ecuaciones diferenciales'

Como ya sabemos encontrar la solución general de la ecuación homogénea, el problema se reduce a encontrar una solución particular cualquiera de la ecuación completa

Vamos a ver un método general para obtener una solución particular de cualquier EDO lineal general de primer orden completa

Dicho método se llama “Método de variación de constantes”, ya lo conocemos de las EDF y trasladado a nuestro contexto consiste en lo siguiente:

1) Hacemos una conjetura inicial: Supondremos provisionalmente que la solución particular que buscamos es del tipo:

'Ecuaciones diferenciales'

Observa que se trataría de la solución general de la ecuación homogénea asociada en la que hemos sustituido la constante K por una función K(t) (de ahí el nombrecillo de “variación de constantes”)

2) Vemos que es posible obtener k(t) y que efectivamente 'Ecuaciones diferenciales'
es solución de la ecuación (conjetura correcta pues)

Veamos:

'Ecuaciones diferenciales'

Calculamos

'Ecuaciones diferenciales'

'Ecuaciones diferenciales'

Sustituimos yP(t) y 'Ecuaciones diferenciales'
en la ecuación:

'Ecuaciones diferenciales'

De manera que tendremos:

'Ecuaciones diferenciales'

Es decir:

'Ecuaciones diferenciales'

De donde

'Ecuaciones diferenciales'

Observa: Hemos hallado K(t) de manera que 'Ecuaciones diferenciales'
+C es solución de la ecuación completa

Podemos escribir que la solución general de la ecuación completa es:

'Ecuaciones diferenciales'

Ejercicios:

1) Obtenga la solución en el caso de coeficiente constanteEl caso de coeficiente constante'Ecuaciones diferenciales'

2) 'Ecuaciones diferenciales'
Solución: 'Ecuaciones diferenciales'

3) 'Ecuaciones diferenciales'
Solución: 'Ecuaciones diferenciales'

4) Boletín Ejercicios 5, 6 y 7

ANEXO: Ecuaciones no lineales de primer orden

Algunas ecuaciones (muy pocas) de primer orden no lineales pueden resolverse utilizando técnicas específicas o bien reduciéndolas a lineales, que “en teoría”, son siempre integrables

No vamos aquí a tratar estos casos, que pueden encontrarse en cualquier manual y que no tienen aplicaciones notables en el contexto en el que nos movemos aunque es obligado que veamos algún ejemplo en el que las variables sean separables o pueda hacerse un cambio sencillo. Sea este:

Un ejemplo final de aplicación: La logística de May

Modificamos el modelo maltusiano suponiendo:

Límite máximo de población: 1

Proporcionalidad con población actual y diferencia al límite máximo

'Ecuaciones diferenciales'
que es una ecuación no lineal 'Ecuaciones diferenciales'

Para separar variables hacemos el cambio 'Ecuaciones diferenciales'

'Ecuaciones diferenciales'
'Ecuaciones diferenciales'
'Ecuaciones diferenciales'

La ecuación 'Ecuaciones diferenciales'
es lineal

La solución general de la ecuación homogénea asociada 'Ecuaciones diferenciales'
la obtenemos

de 'Ecuaciones diferenciales'
'Ecuaciones diferenciales'
'Ecuaciones diferenciales'

Por el MVC forzamos 'Ecuaciones diferenciales'
como solución particular de la ecuación completa

Sustituyendo: 'Ecuaciones diferenciales'

de manera que 'Ecuaciones diferenciales'
y 'Ecuaciones diferenciales'

Entonces: 'Ecuaciones diferenciales'

Deshaciendo el cambio 'Ecuaciones diferenciales'
obtenemos la solución general de la ecuación logística:

'Ecuaciones diferenciales'

El comportamiento a largo plazo viene dado por: 'Ecuaciones diferenciales'
que indica que P tiende a estabilizarse en el límite máximo de población (equilibrio) con independencia de K (estabilidad global asintótica)

Nos preguntamos por cómo sucede esto para cada posible valor inicial 'Ecuaciones diferenciales'
(que puede estar por encima o por debajo del límite máximo)

Para verlo tendremos en cuenta que para t = 0:

'Ecuaciones diferenciales'
de donde se obtiene 'Ecuaciones diferenciales'

'Ecuaciones diferenciales'
En definitiva: 'Ecuaciones diferenciales'

En la siguiente figura vienen representadas las trayectorias correspondientes a tres valores “tipo” de P0

Valor inicial superior al máximo sostenible

Valor inicial inferior a la mitad del máximo sostenible

Valor inicial entre la mitad el máximo sostenible y dicho máximo

Para el segundo caso ('Ecuaciones diferenciales'
) observa que para P = 1/2 hay un cambio en la tasa de variación, que pasa de ser creciente a ser decreciente (punto de inflexión)

Las que sí pueden ser útiles (y son a la vez de resolución sencilla) son las

5.5 Ecuaciones lineales de segundo orden y coeficientes constantes

Recordareis que cuando estudiamos las EDF habíamos estudiado previamente los SEDF planos. Podríamos seguir aquí el mismo camino (que sigue Fernández) pero vamos a seguir el método “tradicional” del “ensayo de soluciones”, primero para las ecuaciones homogéneas y luego para las completas

5.5.1 Ecuaciones homogéneas

Sea la ecuación 'Ecuaciones diferenciales'
que llamamos homogénea

Siendo las funciones del tipo exponencial las únicas que tienen la propiedad de (salvo constantes) coincidir con sus sucesivas derivadas, parece natural forzar como solución de la ecuación una función del tipo y(t) = 'Ecuaciones diferenciales'

Sustituyendo en la ecuación tendremos que

'Ecuaciones diferenciales'

'Ecuaciones diferenciales'

'Ecuaciones diferenciales'

'Ecuaciones diferenciales'

por lo que y(t) = 'Ecuaciones diferenciales'
será solución siempre que 'Ecuaciones diferenciales'
sea solución de la ecuación:

'Ecuaciones diferenciales'
(llamada cómo no, ecuación característica)

Entonces consideramos los casos 12, 2 y 3 siguientes:

Caso 1)

Si la ecuación característica tiene dos soluciones reales distintas 'Ecuaciones diferenciales'

tendremos que 'Ecuaciones diferenciales'
y 'Ecuaciones diferenciales'
serán soluciones de la ecuación

También serán solución 'Ecuaciones diferenciales'
y 'Ecuaciones diferenciales'
cualesquiera que sean C1 y C2

'Ecuaciones diferenciales'
será asimismo solución de la ecuación (linealidad, como en las EDF), y por contener dos constantes arbitrarias, será la solución general

Caso 2)

Si la ecuación característica tiene una solución doble 'Ecuaciones diferenciales'
, es claro que 'Ecuaciones diferenciales'
y 'Ecuaciones diferenciales'
serán solución, pero para obtener la solución general necesitaremos obtener otra solución independiente (que no sea múltiplo) de la anterior

Parece natural en este caso forzar una solución del tipo 'Ecuaciones diferenciales'

Sustituyendo, comprobamos que efectivamente es solución:

'Ecuaciones diferenciales'
'Ecuaciones diferenciales'

'Ecuaciones diferenciales'

'Ecuaciones diferenciales'

ya que 'Ecuaciones diferenciales'
y puesto que 'Ecuaciones diferenciales'
es solución doble 'Ecuaciones diferenciales'
es decir que 'Ecuaciones diferenciales'

Así pues, la solución general de la ecuación será y = 'Ecuaciones diferenciales'

Caso 3)

Si la ecuación característica tiene un par de soluciones complejo-conjugadas 'Ecuaciones diferenciales'
, podríamos expresar la solución general como

'Ecuaciones diferenciales'

PERO es más que conveniente hacerlo en la forma trigonométrica:

'Ecuaciones diferenciales'

a y b son respectivamente las partes real e imaginaria de a+bi

Mejor aún: expresando la solución como 'Ecuaciones diferenciales'
queda bien claro el comportamiento oscilatorio (amortiguado, explosivo o de amplitud constante ) de la solución

(recuerda los ejercicios de la práctica1)

NOTA:

'Ecuaciones diferenciales'
= 'Ecuaciones diferenciales'

Estudio de la estabilidad

Se tendrá estabilidad global asintótica (es inmediato verlo) cuando la parte real de las soluciones de la ecuación característica sea negativa, puesto que entonces 'Ecuaciones diferenciales'

Cuando las soluciones de la ecuación característica sean imaginarios puros ('Ecuaciones diferenciales'
) , es decir cuando a = 0, tendremos estabilidad no asintótica: 'Ecuaciones diferenciales'
(ciclos)

5.5.2 Ecuaciones completas: 'Ecuaciones diferenciales'

Para hallar la solución general, resolvemos la homogénea asociada y hallamos una solución particular de la completa por MCI (como en las EDF o como puede hacerse también en las EDO de primer orden)

En particular, sabemos que interesan los casos b(t) = Cte y b(t) = 'Ecuaciones diferenciales'
:

Forzar en principio soluciones particulares de la forma 'Ecuaciones diferenciales'
e 'Ecuaciones diferenciales'
respectivamente teniendo en cuenta posibles “fallos” (0 y/o 'Ecuaciones diferenciales'
es solución simple o doble de la E.C )

La receta: multiplicar por t . . .

Ejemplos:

1) 'Ecuaciones diferenciales'

2) 'Ecuaciones diferenciales'

3) 'Ecuaciones diferenciales'

4) 'Ecuaciones diferenciales'

Boletín

Un ejemplo de aplicación: Ejercicio 12+1 del boletín

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