Tiempo continuo:

Ecuaciones

diferenciales

0 . Introducción

Ya conoceis el problema básico:

Hallar y(t) tal que

cuyas infinitas soluciones (bajo los supuestos precisos) vienen dadas por

en la que se ha explicitado la constante arbitraria C de integración

La ecuación
se dice que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden cuya solución general es la familia de curvas paralelas

La curva (única) de la familia que pasa por un punto dado (t0, y(t0)) se llama solución (o integral) particular de la ecuación para la condición inicial dada y(t0)

5.1. Ecuación diferencial de una familia de curvas

Sea una familia de curvas dependientes de un parámetro:

Por derivación, podemos eliminar el parámetro C y obtener una ecuación diferencial, que se llama ecuación diferencial de la familia

EJEMPLOS:

Obtener la EDO de las siguientes familias de curvas

1)

2)

3)

4)
(Boletín)

5)
(Boletín)

En los ejemplos anteriores podemos ver cómo cada ecuación diferencial expresa determinadas propiedades geométricas de las curvas de la familia que la genera

Los ejemplos pueden hacer también pensar que puesto que a toda familia de curvas podemos hacerle corresponder una ecuación diferencial, a toda ecuación diferencial le podríamos hacer corresponder una familia de curvas como solución . . . . PERO NO

5.2 Definiciones básicas. Solución general, soluciones particulares y soluciones singulares

5.2.1 Ecuaciones diferenciales

En general, se llama ecuación diferencial ordinaria (EDO en adelante) de orden p a toda ecuación de la forma
que relaciona la variable independiente t (el tiempo para nosotros) con una función desconocida de la misma y(t) y las sucesivas derivadas de ésta hasta el orden p

Cuando F es lineal, la ecuación se llama lineal

Ejemplos:

5.2.2 Solución

Se llama solución de la ecuación
a toda función
tal que
(al sustituir en la ecuación se obtiene una identidad)

Ejemplo: Comprobar que
es solución de la ecuación

5.2.3 Solución general. Soluciones particulares y soluciones singulares

5.2.3.1 Se llama solución general de EDO de orden p

a toda solución de la misma que contenga p constantes arbitrarias

Ejemplos:

1) Hallar la solución general de

2) Comprobar que
es la solución general de la ecuación

5.2.3.2 Se llaman soluciones particulares de la EDO a todas aquellas soluciones que se obtienen a partir de la solución general para valores particulares de la o las constantes arbitrarias que figuren en la solución general

Ejemplos:

Halle soluciones particulares para las ecuaciones

1)

2)

3) Ejercicio 4 del boletín:

5.2.3.3 El Problema del valor inicial (PVI):

Consiste en:

Dada una EDO, hallar la solución particular y(t) tal que para t = t0 (normalmente t = 0), se tiene y(t0) = y0 (conocido)

Ejemplos:

1) Hallar la solución particular que cumple la condición (inicial) y(0) = 4 para la ecuación

2) Ejercicio 7 del boletín

5.2.3.4 Soluciones singulares: En ocasiones una EDO puede tener soluciones que no están contenidas en la solución general (no corresponden a valores particulares de las constantes). Tales soluciones se llaman soluciones singulares

Ejemplo:

Ejercicio 2 del boletín:
es la solución general de la ecuación

son soluciones singulares ya no se obtienen para valores particulares de la constante C

5.3 Ecuaciones de primer orden

Son de la forma general

Cuando la variable t no figure explícitamente en la ecuación, la llamaremos autónoma:

Cuando sea posible despejar y' de la ecuación diremos que es explícita:

La ecuación
es explícita y autónoma

Ejemplos: A proponer

5.3.1 Existencia y unicidad de la solución para el problema del valor inicial (PVI) en las ecuaciones de primer orden explícitas. Aproximación de Euler. Diagramas de fase

Antes de enunciar el teorema de existencia y unicidad (uno de ellos) de la solución de la ecuación
para el PVI, consideremos la siguiente aproximación intuitiva que de hecho fundamenta la prueba formal

Aproximación: La poligonal de Euler

Consideremos la ecuación

Propongámonos hallar la solución particular que verifica una determinada condición inicial

Debe ser

Para valores de t suficientemente próximos a
, podremos aproximar la función solución y = y(t) de la ecuación por la recta tangente en
cuya pendiente es

Considerando ahora el punto
con h lo suficientemente pequeño, podemos obtener

Aproximaríamos ahora la solución y(t) de la ecuación en el intervalo desde t0 a t0+ h por el segmento de tangente

Repitiendo el proceso obtendremos una poligonal (poligonal de Euler) que aproximará la solución de la ecuación

Parece natural que el límite cuando
conduzca a la solución y(t) de la ecuación

Un teorema de existencia y unicidad

Puede probarse que:

“Dada la ecuación

Si
y
son ambas continuas en un rectángulo R “centrado” en
, entonces existe una única función y = y(t) (solución de la ecuación) que verifica la condición
”

El teorema da una condición suficiente (no necesaria) de existencia y unicidad de la solución de
que cumpla para el PVI

Naturalmente, supuesto que pueda asegurarse la existencia y unicidad de la solución, tenemos otras dificultades

Por ejemplo: Las ecuaciones
;
;

son ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden ser resueltas (integradas) mediante el cálculo elemental de primitivas

La ecuación
es un ejemplo de ecuación de primer orden para la cual la integración (búsqueda de solución) ya no es tan sencillo, pero posible

No ya difícil, sino imposible (en términos de funciones elementales), es el caso de ecuaciones como
o
, para cuya resolución hay que recurrir a desarrollos en serie u otros métodos numéricos de aproximación

Por ello, como en el caso de las EDF más que resolver la ecuación en sí, interesa en la práctica mucho más a veces, predecir cómo se comportaría la solución. En particular interesa estudiar el comportamiento de las soluciones a largo plazo o sea cuando
y hablar de estabilidad o inestabilidad de los puntos de equilibrio

También como en el caso de las EDF, para las EDO autónomas del tipo
disponemos de un método gráfico de fácil aplicación: Los diagramas de fase

Diagramas de fase:

Si dibujamos la gráfica de y' = f(y) en el plano y y'

Los puntos de equilibrio (para los que la solución y(t) es constante) corresponderán a los puntos y* para los que
(cortes al eje horizontal)

Supongamos por ejemplo el caso básico de f lineal

Para y>y* la derivada de la solución y'>0, lo que significa que y(t) crece con t y remarcamos este hecho con una flecha dirigida de izquierda a derecha sobre la gráfica

Para y < y* la derivada y'<0, lo que significa que la solución y(t) decrece con t, Lo remarcamos dibujando una flecha derecha izquierda:

Se deduce entonces que el comportamiento de la solución es distinto según se consideren valores iniciales y0 menores o mayores que y*

La solución se aleja del equilibrio y diremos que éste es un repulsor inestable

En el caso

El equilibrio sería estable (atractor)

Ejemplos:

1) Ejercicio 3 del boletín

2) La ecuación logística

5.4 EDO Lineales de primer orden, homogéneas y completas.

El método de variación de constantes

Se llama EDO lineal general de primer orden a la ecuación:

Donde la función y(t) es desconocida (“incógnita”)

y donde a(t) y b(t) son funciones conocidas y continuas en un intervalo I
(datos)

La ecuación
en la que el “término independiente” b(t) es nulo, se llama EDO lineal general homogénea de primer orden

Nos planteamos los problemas 1, 2 y 3 siguientes:

Problema 1: Hallar la solución general de la ecuación homogénea

Este problema no plantea dificultades: “Separamos variables”

de manera que:
donde C será una constante arbitraria

“quitando” el logaritmo:

La solución general de la ecuación
es pues

Problema 2: Hallar una solución particular (PVI)

Se reduce a determinar el correspondiente valor de la K

Ejemplos:

1)

Solución del PVI

2)

Observa que este ejemplo es parecido al anterior PERO si tenemos en cuenta que nuestra variable es el tiempo y que lo que nos interesa realmente aquí es el comportamiento de la solución a largo plazo, vemos que las diferencias entre uno y otro ejemplo son notables:

dependiendo del signo de K en el primer caso

mientras
con independencia de K en el segundo

3)

4)
(Malthus)

Más ejemplos: Boletín

Problema 3. Hallar la solución general de la ecuación completa

Es inmediato probar (ejercicio) que:

P1. Si yP(t) es una solución cualquiera de la ecuación completa

y

si yH(t) es una solución cualquiera de la ecuación homogénea asociada, entonces,

es también solución de la ecuación completa

P2. Toda solución y(t) de la ecuación completa se expresa como suma
de una solución de la ecuación ce la ecuación completa y una solución de la homogénea

Consecuencia:

La solución general de la ecuación completa es la suma de la solución general de la ecuación homogénea asociada y una solución particular cualquiera de la completa:

Como ya sabemos encontrar la solución general de la ecuación homogénea, el problema se reduce a encontrar una solución particular cualquiera de la ecuación completa

Vamos a ver un método general para obtener una solución particular de cualquier EDO lineal general de primer orden completa

Dicho método se llama “Método de variación de constantes”, ya lo conocemos de las EDF y trasladado a nuestro contexto consiste en lo siguiente:

1) Hacemos una conjetura inicial: Supondremos provisionalmente que la solución particular que buscamos es del tipo:

Observa que se trataría de la solución general de la ecuación homogénea asociada en la que hemos sustituido la constante K por una función K(t) (de ahí el nombrecillo de “variación de constantes”)

2) Vemos que es posible obtener k(t) y que efectivamente
es solución de la ecuación (conjetura correcta pues)

Veamos:

Calculamos

Sustituimos yP(t) y
en la ecuación:

De manera que tendremos:

Es decir:

De donde

Observa: Hemos hallado K(t) de manera que
+C es solución de la ecuación completa

Podemos escribir que la solución general de la ecuación completa es:

Ejercicios:

1) Obtenga la solución en el caso de coeficiente constanteEl caso de coeficiente constante

2)
Solución:

3)
Solución:

4) Boletín Ejercicios 5, 6 y 7

ANEXO: Ecuaciones no lineales de primer orden

Algunas ecuaciones (muy pocas) de primer orden no lineales pueden resolverse utilizando técnicas específicas o bien reduciéndolas a lineales, que “en teoría”, son siempre integrables

No vamos aquí a tratar estos casos, que pueden encontrarse en cualquier manual y que no tienen aplicaciones notables en el contexto en el que nos movemos aunque es obligado que veamos algún ejemplo en el que las variables sean separables o pueda hacerse un cambio sencillo. Sea este:

Un ejemplo final de aplicación: La logística de May

Modificamos el modelo maltusiano suponiendo:

Límite máximo de población: 1

Proporcionalidad con población actual y diferencia al límite máximo

que es una ecuación no lineal

Para separar variables hacemos el cambio

La ecuación
es lineal

La solución general de la ecuación homogénea asociada
la obtenemos

de

Por el MVC forzamos
como solución particular de la ecuación completa

Sustituyendo:

de manera que
y

Entonces:

Deshaciendo el cambio
obtenemos la solución general de la ecuación logística:

El comportamiento a largo plazo viene dado por:
que indica que P tiende a estabilizarse en el límite máximo de población (equilibrio) con independencia de K (estabilidad global asintótica)

Nos preguntamos por cómo sucede esto para cada posible valor inicial
(que puede estar por encima o por debajo del límite máximo)

Para verlo tendremos en cuenta que para t = 0:

de donde se obtiene

En definitiva:

En la siguiente figura vienen representadas las trayectorias correspondientes a tres valores “tipo” de P0

Valor inicial superior al máximo sostenible

Valor inicial inferior a la mitad del máximo sostenible

Valor inicial entre la mitad el máximo sostenible y dicho máximo

Para el segundo caso (
) observa que para P = 1/2 hay un cambio en la tasa de variación, que pasa de ser creciente a ser decreciente (punto de inflexión)

Las que sí pueden ser útiles (y son a la vez de resolución sencilla) son las

5.5 Ecuaciones lineales de segundo orden y coeficientes constantes

Recordareis que cuando estudiamos las EDF habíamos estudiado previamente los SEDF planos. Podríamos seguir aquí el mismo camino (que sigue Fernández) pero vamos a seguir el método “tradicional” del “ensayo de soluciones”, primero para las ecuaciones homogéneas y luego para las completas

5.5.1 Ecuaciones homogéneas

Sea la ecuación
que llamamos homogénea

Siendo las funciones del tipo exponencial las únicas que tienen la propiedad de (salvo constantes) coincidir con sus sucesivas derivadas, parece natural forzar como solución de la ecuación una función del tipo y(t) =

Sustituyendo en la ecuación tendremos que

por lo que y(t) =
será solución siempre que
sea solución de la ecuación:

(llamada cómo no, ecuación característica)

Entonces consideramos los casos 12, 2 y 3 siguientes:

Caso 1)

Si la ecuación característica tiene dos soluciones reales distintas

tendremos que
y
serán soluciones de la ecuación

También serán solución
y
cualesquiera que sean C1 y C2

será asimismo solución de la ecuación (linealidad, como en las EDF), y por contener dos constantes arbitrarias, será la solución general

Caso 2)

Si la ecuación característica tiene una solución doble
, es claro que
y
serán solución, pero para obtener la solución general necesitaremos obtener otra solución independiente (que no sea múltiplo) de la anterior

Parece natural en este caso forzar una solución del tipo

Sustituyendo, comprobamos que efectivamente es solución:

ya que
y puesto que
es solución doble
es decir que

Así pues, la solución general de la ecuación será y =

Caso 3)

Si la ecuación característica tiene un par de soluciones complejo-conjugadas
, podríamos expresar la solución general como

PERO es más que conveniente hacerlo en la forma trigonométrica:

a y b son respectivamente las partes real e imaginaria de a+bi

Mejor aún: expresando la solución como
queda bien claro el comportamiento oscilatorio (amortiguado, explosivo o de amplitud constante ) de la solución

(recuerda los ejercicios de la práctica1)

NOTA:

=

Estudio de la estabilidad

Se tendrá estabilidad global asintótica (es inmediato verlo) cuando la parte real de las soluciones de la ecuación característica sea negativa, puesto que entonces

Cuando las soluciones de la ecuación característica sean imaginarios puros (
) , es decir cuando a = 0, tendremos estabilidad no asintótica:
(ciclos)

5.5.2 Ecuaciones completas:

Para hallar la solución general, resolvemos la homogénea asociada y hallamos una solución particular de la completa por MCI (como en las EDF o como puede hacerse también en las EDO de primer orden)

En particular, sabemos que interesan los casos b(t) = Cte y b(t) =
:

Forzar en principio soluciones particulares de la forma
e
respectivamente teniendo en cuenta posibles “fallos” (0 y/o
es solución simple o doble de la E.C )

La receta: multiplicar por t . . .

Ejemplos:

1)

2)

3)

4)

Boletín

Un ejemplo de aplicación: Ejercicio 12+1 del boletín