Ecuaciones diferenciales de Orden n

Teorema de Unicidad, de Superposición, de Abel, Wronskiano. Ecuación homogénea. Coeficientes Constantes, Indeterminados. Corolario. Ecuación de Euler. Reducción de Orden. Formula de Green

  • Enviado por: Pepelu
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N

1. INTRODUCCIÓN:

Hasta el momento hemos trabajado con ecuaciones diferenciales de orden uno, es decir, 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
. Ahora vamos a estudiar ecuaciones con derivadas de cualquier orden:

Esta es la ecuación lineal completa de coeficientes variables, dada en un abierto 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
de la recta real, en el que se debe cumplir que 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
, y que 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
y 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
son funciones continuas en 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
. En el caso particular de que 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
se llamara ecuación homogénea de coeficientes variables.

TEOREMA(De unicidad): El teorema de unicidad nos garantiza que para todo conjunto de condiciones de la forma:

'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

Existe una única función definida en dicho intervalo 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
que verifica dichas condiciones.

Sin embargo, no pasa lo mismo si nos dan una serie de condiciones de frontera, consistentes en:

'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

En tal caso no hay nada garantizado, ya que aquí puede haber varias, una o ninguna solución.

TEOREMA(De superposición): Sean 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
soluciones de la ecuación diferencial Entonces el teorema de superposición nos garantiza que la suma de soluciones es solución de la ecuación diferencial.

Empezaremos por estudiar la ecuación homogénea asociada a la ecuación completa dada (haciendo 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
). Después pasaremos a estudiar la ecuación completa. La solución vendrá dada por la solución general de la homogénea más una solución particular de la completa.

2. ESTUDIO DE LA ECUACIÓN HOMOGENEA:

Primero vamos a estudiar la resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas de orden 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
lineales y con coeficientes constantes:

2.1. RESOLUCIÓN DE LA HOMOGENEA DE COEFICIENTES CONSTANTES:

Dichas ecuaciones son de la forma:

'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

Las soluciones son de la forma'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
, con lo cual:

'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

Sustituyendo:

'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

Como 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
, ha de ocurrir que:

'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

A dicha expresión la llamamos ecuación característica. Si 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
es solución de la ecuación característica, entonces 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
es solución de la ecuación diferencial. Por tanto la ecuación lineal tiene 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
soluciones linealmente independientes. Las soluciones de la ecuación característica pueden ser de diversos tipos:

  • Reales simples:

  • En este caso tenemos 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    . Por tanto las soluciones de la ecuación diferencial correspondiente serán:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

  • Reales múltiples:

  • Tenemos 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    con multiplicidades 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    respectivamente. Cada solución 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , con mutiplicidad 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , da 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    soluciones:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

  • Complejas simples:

  • Las soluciones son 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    (excluimos las raíces conjugadas, ya que aportan las mismas soluciones que las originales). Aportan dos soluciones cada una

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

  • Complejas múltiples:

  • Cada solución (excluyendo las conjugadas) 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    con multiplicidad 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    da dos veces su multiplicidad de soluciones:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    La solución total será de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Después de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes vamos a estudiar las de coeficientes no constantes. Evidentemente las soluciones de la ecuación diferencial deben pertenecer a 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    . Ahora vamos a enunciar y demostrar un teorema que nos asegura que las soluciones de la ecuación forman un 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    de 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    . Definiremos además el wronskiano, concepto que será necesario más adelante.

    TEOREMA: El conjunto 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    de todas las funciones 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    definidas en 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    que son solución de la ecuación diferencial dada es un 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    de 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    .

    Demostración:

    Construimos una familia 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    tal que 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    sea solución de la ecuación diferencial dada, y esté definida completamente de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Siendo 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    .

    Veamos ahora que son linealmente independientes. Para ello habrá que comprobar que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    WRONSKIANO: Sea 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    un conjunto de funciones pertenecientes a 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    . Vamos a asociar a ese conjunto de funciones una aplicación:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    tal que la aplicación parte del intervalo 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    a los reales, asociando a cada punto 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    del intervalo 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    un número dado por:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto del intervalo 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , es decir, no es idénticamente nulo, entonces las funciones de la familia 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    son linealmente independientes. El recíproco no siempre es cierto.

    Queremos estudiar cuando es cierto el recíproco, es decir, bajo que condiciones el hecho de que el wronskiano sea nulo sobre 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    me garantiza que 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    son linealmente independientes. Para ello demostraremos el siguiente teorema:

    TEOREMA: Sean 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    pertenecientes a 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , y son soluciones de la ecuación diferencial :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Entonces 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    son linealmente independientes.

    Demostración:

    Hay que demostrar que existen 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    tales que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    con algún 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    . Para ello derivamos y tenemos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Tenemos así un sistema homogéneo de 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    ecuaciones con 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    incógnitas. Podemos representarlo como:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Como sabemos que sabemos que 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , entonces la solución trivial no es la única, sino que existe una solución de la forma 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , con algún 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    . Por tanto las funciones son linealmente dependientes.

    Dicho teorema tiene el siguiente corolario:

    COROLARIO: Un conjunto de soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    son linealmente independiente en 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , y por tanto una base de 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , si 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    no se anula en ningún punto de 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    . Un conjunto de funciones que cumplan dicha condición se le llama sistema fundamental.

    EJEMPLO: Sea la ecuación diferencial 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    definida en 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    . Sus soluciones son 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    . Veamos que su wronskiano no se anula en 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Pero 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    solo se anula en 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , que no pertenece a 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    . Por tanto 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    son linealmente independientes. La solución general será:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Veamos ahora un teorema que nos facilita mucho el cálculo del wronskiano:

    TEOREMA(de Abel): Dada una ecuación diferencial de orden 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , podemos calcular el valor del wronskiano de sus soluciones 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    en función de los coeficientes de la ecuación diferencial, de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Demostración:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Sean 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    e 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    las dos soluciones de la ecuación diferencial. Entonces se cumple que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Si derivamos el wronskiano:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Es decir:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Si 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    hacemos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Estudiemos un caso muy importante de las ecuaciones homogéneas con coeficientes variables.

    2.2.• ECUACIÓN DE EULER:

    Dichas ecuaciones son de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Se puede transformar mediante cambios en ecuaciones lineales homogéneas de orden 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    . El cambio consiste en hacer:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Y así sucesivamente. Para el caso de 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Sustituyendo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Resolviendo y deshaciendo el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    2.3.• MÉTODO DE REDUCCIÓN DE ORDEN:

    Se aplica en cualquier ecuación diferencial homogénea de orden 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , incluso con coeficientes variables. Se necesita conocer una solución de la ecuación homogénea por cada grado que se quiera disminuir el orden. Veamos el método aplicado a la resolución de ecuaciones de segundo orden:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Sea 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    una solución de la ecuación diferencial homogénea . En tal caso se verifica que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Y podemos construir una solución de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Sustituyendo en la ecuación:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Agrupando términos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Pero como es 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    una solución de la ecuación diferencial:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Haciendo el cambio 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Simplificando:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Cuya solución es:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Deshaciendo el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Con lo que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    2.4. MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR EL TEOREMA DE ABEL:

    Se aplica a ecuaciones de segundo orden con coeficientes variables. Nos da una relación entre las dos soluciones de la ecuación. Veamos un ejemplo teórico de su uso:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Operando:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Dividiendo entre 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Que es una ecuación lineal completa. La solución es:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Con lo que tenemos definida la segunda solución.

    3. ESTUDIO DE LA ECUACIÓN COMPLETA:

    Ahora vamos a buscar una solución particular de la completa, que será junto con la general de la homogénea la que nos de la solución general de la completa. Estudiaremos tres métodos.

    3.1. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS:

    Para utilizar este método necesitamos definir una serie de conceptos. Estudiemos las siguientes cuatro funciones:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Es fácil observar que dichas cuatro funciones tiene la propiedades de que sus derivadas y las de sus combinaciones por sumas y productos son linealmente independientes. Las llamaremos funciones principales. Si tomamos una cualquiera de esas funciones, llamaremos familia de dicha función al conjunto formada por ella misma y por todas sus derivadas linealmente independientes, siempre con coeficientes unitarios. Por tanto sus familias serán:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Definiremos entonces una función de tipo 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    como una función formada por productos y sumas de funciones principales. Asimismo definimos el conjunto 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    de una función de tipo 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    como la unión de las familias de los productos de las funciones principales que interviene en dicha función. Por ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Asimismo, el conjunto 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    de un producto de funciones principales se forma como el producto cartesiano de sus familias respectivas. Un ejemplo sería:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    El método se puede aplicar a toda ecuación diferencial lineal de orden 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    con coeficientes variables siempre y cuando se verifique que 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    sea combinación lineal de funciones de tipo 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    . El método consta de seis pasos:

  • Se resuelva la ecuación homogénea, obteniéndolas soluciones linealmente independientes 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

  • Se construyen las familias de las funciones de 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

  • Si alguna conjunto esta contenido dentro de otro se elimina.

  • Si alguna conjunto contiene una solución de la ecuación homogénea, se multiplican todos los elementos de dicho conjunto por una potencia de 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    suficiente para que la solución no esté contenida en el conjunto.

  • Se forma una combinación lineal con todos los elementos de todos los conjuntos.

  • Se sustituye dicha combinación lineal en la ecuación diferencial completa y se resuelve el sistema resultante. La combinación lineal resultante será la solución particular.

  • Veamos un ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

  • Resolvemos la homogénea.

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

  • Hacemos los conjuntos de las funciones de 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    .

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

  • No procede.

  • No procede.

  • Formamos la combinación lineal.

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

  • La sustituimos en la ecuación diferencial y resolvemos:

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Luego la solución general será:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    3.2. MÉTODO DE VARIACIÓN DE CONSTANTES(Formula de Green):

    Vamos a buscar el método para 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    . Será análogo para cualquier valor de 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    .

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Hallamos la solución de la homogénea:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Hacemos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Imponemos 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Tenemos entonces:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Hacemos ahora:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Sustituyendo 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    en la ecuación:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Teniendo en cuenta que

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Nos queda:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Y junto con la condición impuesta:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Cuyo wronskiano es distinto de cero. Es, pues, un sistema compatible determinado:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Luego basta hacer:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Esto se puede resumir mediante la llamada formula de Green:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Y a 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    se le llama función de Green.

    Veamos un ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Resolvemos la homogénea.

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Con lo que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Hacemos la variación de constantes:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Buscamos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Operando:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Eliminando 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Nos queda:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Integrando:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Luego:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Por tanto:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    3.3. MÉTODO GENERAL:

    Tenemos

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Podemos escribirlo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Y también como:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Si podemos invertir el operador 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Necesitamos operar con 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    .Aquí tenemos dos posibilidades:

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    tiene 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    soluciones:

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Luego:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Si llamamos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Tenemos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Y de nuevo hacemos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Así sucesivamente hasta que tengamos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

  • Si todas las raíces son distintas:

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Si llamamos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Tenemos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    es el conjunto de todas las funciones derivables y continuas 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    veces en 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Es decir, por lo menos en un punto del intervalo 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    las funciones son No se anulan entre si.

    En realidad existen infinitas, pero eso no es importante en el caso.

    La hacemos para 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , pero es análoga para cualquier valor de 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

    Hemos obviado 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , ya que al ser distinta de cero para todo valor de 'Ecuaciones diferenciales de Orden n'
    , podemos dividir toda la ecuación por ella.