ESTADISTICAS II

Se desea estimar las ventas semanales de una empresa, que se dedica a la venta de electrodomésticos. Para ello relaciona las ventas (en millones de pesos) con los gastos en publicidad, y con las ventas de artículos alternativos.

La información alternativa a un periodo de 12 semanas escogidas aleatoriamente desde un periodo de 2 años, como se presenta a continuación.

SEMANA	VENTAS (millones $)	GASTOS (millones $)	VENTAS ART. ALTERNATIVO
1	13.2	2.5	25.5
2	16.4	3	24
3	14.3	2.8	24.4
4	16.5	4.2	21.8
5	22.3	5.3	20.1
6	15.8	3.6	22.8
7	11.2	2.7	24.6
8	13.3	3.2	23.8
9	8.6	1.9	26.2
10	12.5	3.6	22.8
11	16.5	4.6	20.8
12	16	3.8	22.2

Encuentre las ecuaciones de regresión lineal estimadas de los modelo:

Yi=0+1Xi+ i

Yi=0+1Zi+i

Interprete el valor de las pendientes.

Pruebe la significancia de cada modelo y con base estadística elija el mejor.

Se piensa que entre las ventas Y, y los gastos de publicidad X existe una correlación positiva de por lo menos 70%, concluya con un nivel de significación de 5%.

Para cada modelo anterior (pregunta A), dibuje el diagrama de dispersión junto a la ecuación de regresión lineal, y según los gráficos cual ecuación se ajusta mejor.

Se plantean los siguientes modelos que relacionan las ventas semanales con los gastos en publicidad y las ventas del articulo alternativo.

Yi=*Xi+i

Yi=A*XiC

Encuentre los coeficientes de cada modelo por medio de un indicador adecuado, elija cual de ellos se ajusta mejor

Para el modelo 2 de la pregunta anterior estime las ventas para un nivel de gasto en publicidad de 2.7 millones, use un 95% de confianza.

SOLUCIÓN:

A) Modelo 1:

"Xi= 41.2

"Yi= 176.6

"Xi*Yi= 637.45

"Xi2= 151.48

1= n*"Xi*Yi - ("Xi)*("Yi)

n*"Xi2-("Xi)2

1= 12(637.45)-(41.2)(176.6)

12(151.48)-1697.44

1= 3.104

0= "Yi-b1"Xi

n

0= 176.6-3.104(41.2)

12

0= 4.0596

Por lo tanto el modelo 1 es: Yi=4.0596+3.104*Xi

De donde se puede decir que si la variable X aumenta en una unidad la variable Y varia 3.104 veces, y 0 no tiene ninguna interpretación practica.

Modelo 2:

"Zi= 279

"Zi*Yi= 4048.07

"Zi2= 6524.06

"Yi= 176.6

1= n*"Zi*Yi - ("Zi)*("Yi)

n*"Zi2-("Zi)2

1= 12(3646.07)-(179)(176.6)

12(6524.06)-77841

1= -1.5513

0= "Yi-1"Zi

n

0= 176.6+1.5513(179)

12

0= 50.7844

Por lo tanto el modelo 2 es: Yi=50.7844 - 1.5513Zi

De donde se puede decir que si la variable Z aumenta en una unidad, la variable Y varia 1.5513 veces, y 0 no tiene ninguna interpretación practica.

Modelo 1:

- Hipótesis: H0: 1=0 (el modelo no se ajusta a los datos)

H1: 1"0 (el modelo se ajusta a los datos)

• Estadístico de prueba:

F= CMR = SMR "F(1;n-2;1-)

CME SCE/(N-2)

SMR= b12"(Yi-YP)2 (el subíndice p indica promedio)

SMR= 3.10412"(Yi-14.72)2

SMR= 96.6126

SCE= SCT-SMR

SCT= "(Yi-YP)2

SCT= 128.6968

SCE= 128.6968-96.6126

SCE= 32.0842

Fobs= 96.6126 = 30.1122

32.0842/2

- RC: F(1;10;0.95)= 4.9646

• Como Fobs pertenece a la región critica existe suficiente evidencia para rechazar H0 por lo que con un 5% de significación se puede decir que el modelo es significativo.

• P-value

*= Prob(F(1;10)>Fobs)

*= Prob(F(1;10)>30.1122)

*= 1-Prob(F(1;10)"30.1122)

*= 1-0.9997335

*= 0.0002664

Modelo 2:

- Hipótesis: H0: 1=0 (el modelo no se ajusta a los datos)

H1: 1"0 (el modelo se ajusta a los datos)

• Estadístico de prueba:

F= CMR = SMR "F(1;n-2;1-)

CME SCE/(N-2)

SMR= 12"(Zi-ZP)2 (el subíndice p indica promedio)

SMR= (-1.5513)2"(Yi-23.25)2

SMR= 89.7877

SCE= SCT-SMR

SCT= "(Yi-YP)2

SCT= 128.6968

SCE= 128.6968-89.7877

SCE= 38.9091

Fobs= 89.7877 = 23.0763

38.9091/2

- RC: F(1;10;0.95)= 4.9646

- Como Fobs pertenece a la región critica existe suficiente evidencia para rechazar H0 por lo que con un 5% de significación se puede decir que el modelo es significativo.

- P-value

*= Prob(F(1;10)>Fobs)

*= Prob(F(1;10)>23.07)

*= 1-Prob(F(1;10)"30.1122)

*= 1-0.9992797

*= 0.00072

Coeficiente de determinación:

Modelo 1:

SCR= (n-1)b1Sx2

96.612= 11(3.104)2Sx2

Sx2= 0.91158

SCT= (n-1)Sy2

128.6968= 11Sy2

Sy2= 11.6997

R2= b12*Sx2

Sy2

R2= (3.104)2*0.91158

11.6997

R2= 0.75069

Modelo 2:

SCR= (n-1)1Sz2

89.7877= 11(-1.5513)2Sz2

Sz2= 3.3918

SCT= (n-1)Sy2

128.6968= 11Sy2

Sy2= 11.6997

R2= 12*Sz2

Sy2

R2= (-1.5513)2*3.3918

11.6997

R2= 0.6976

Como el percentil es mayor en el modelo 1, el porcentaje de ajuste es mayor en 1.

Coeficiente de correlación:

= 1x

y

=1 Sx

Sy

Modelo 1:

1= (3.104)*0.9547

3.4205

1= 0.86636

Modelo 2:

2= (-1.5513)*1.8416

3.4205

2= -0.83522

Para el modelo 2 existe una relación lineal inversa, ya que  es negativo

Por lo tanto el modelo 1 es mejor que el modelo 2.

C) Modelo 1:

- Hipótesis: H0: =0.7 (no existe regresión)

H1: >0.7 (existe regresión)

• Estadístico de prueba:

Zobs= (Zr-Z)*(n-3)1/2"N(0;1)

r= (SIG)b1(SCR/SCT)1/2

r= (9.612/128.6968)1/2

r= 0.8664

Zr=1/2(Ln((1+r)/(1-r)))

Zr=0.5(Ln((1+0.8664)/(1-0.8664)))

Zr=1.3184

Z=1/2(Ln((1+)/(1-)))

Z=1/2(Ln((1+0.7)/(1-0.7)))

Z=0.8673

Zobs= (1.3184 - 0.8673)*3

Zobs= 1.3532

• RC:

Distribuye normal con =0 y =1, con 5% de significación

Z= 1.644 (Z de tabla)

• Como Z observado no pertenece a la región critica no existe suficiente evidencia para rechazar H0. Por lo tanto para la variabilidad de los datos no existe una correlación positiva del 70%.

D) Modelo 1:

Yi=4.0596+3.104*Xi

Modelo 2:

Yi=50.7844 - 1.5513Zi

Como se puede apreciar los datos de el modelo 1 se ajustan de una mejor forma al modelo que se propuso, teniendo una variación de las ventas con respecto a los gastos en publicidad positiva.

Modelo 1:

Yi= Xi+i

Para este caso b1=  y b0= 0, la ecuación del modelo pasa por el origen.

S="ei2 = "(Yi-Yie)2 (el subíndice e indica estimación)

"(Yi-*Xi)2

dS =0

d

2"(Yi-Xi)(-Xi)=0 / *1/2

("-Xi*Yi)+ "Xi2=0

"Xi2="Xi*Yi

= "Xi*Yi

"Xi2

datos:

"Xi*Yi=637.45

"Xi2=151.48

Por lo tanto

 =4.208

Lo que implica que el modelo seria Yi=4.208Xi+i

Modelo 2:

Yi=A*Zic

Tenemos que Yi = a +c*Zi

Donde "Zi ="Ln(Zi)=37.72

"Yi ="Ln(Yi)=31.96

"Zi *Yi ="Ln(Zi*Yi)=100.298

Yp ="Ln(Yi)/n=2.663

Zp ="Ln(Zi)/n=3.143

"Zi 2=6524.06

Tenemos que c= "Zi *Yi - ("Zi )("Yi )/n)

("Zi 2) - ("Zi )2/n

c=100.298 - (37.72)(31.96)/12

6524.06 - 37.722/12

c= -2.5436*10-5

a =Yp - c*Zp

a =2.663+2.5436*10-5(3.143)

a =2.663

Por lo tanto A=ea

A=e2.663

A=14.3403

Yi = A*Zic

Gasto=2,7 millones, con 95% de confianza.

Reemplazando 2,7 en la ecuación anterior:

Y0 = (14,3403)*(2,7)-0.000025436

Y0 = 14,339

Y0 " [ Y0 ± Tn-21-/2 r](1-)

r= [CME*(1+1/n+ (Z0 - ZP)2/("(Zi -Zp))]1/2

Zp= "Zi/n=23.25

CME= SCE/(n-2)

SCE= SCT-SCR

SCR= c2*"(Zi-Zp)2=(-2.5436*10-5)2*37.31

SCR= 2.4139*10-8

SCT= "(Yi-Yp)2=128.6968

SCE= 128.6968 - 2,4139*10-8

SCE= 128,6967

CME= 128.6967/10=12,8696

r= [12.89696(1+1/12+(2.7-23.25)2/37.31)]

r=12.6336

Y0 " [14.339 ± T100.975*12.6336]

Y0 " [14.339 ± 2.2281*12.6336]

Y0 " [-13.809 ; 42.487](95%)