Ecuación de calor

Matemáticas. Aritmética. Derivadas parciales. Ecuaciones diferenciales. Aplicaciones

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INTRODUCCION:

La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807―en su memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos.

En ella proponía además el germen de lo que pasaría a ser la Teoría de las Series de Fourier.

Tan controvertida fue esta última, que tomó quince años, hasta 1822, para que la Academia de Ciencias decidiese publicarla.

QUE ES:

La ecuación del calor es un modelo matemático (quizás el más sencillo) que trata de describir la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido.

CAMPOS EN LOS QUE SE EMPLEA:

La ecuación del calor es de importancia fundamental en campos científicos diversos. En matemáticas, es el prototípo de ecuación diferencial parcial parabólica. En estadística, la ecuación del calor está conectada con el estudio de Movimiento browniano; la ecuación de la difusión, una versión más general de la ecuación del calor, se presenta con respecto al estudio de la difusión química y de otros procesos relacionados.

QUE DESCRIBE:

La ecuación del calor describe cómo se distribuye la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y el espacio. El interés en su estudio radica en las múltiples aplicaciones que tiene en diversas ramas de la ciencia. En las matemáticas generales, representa la típica ecuación en derivadas parciales parabólica y concretamente en la estadística está relacionada con los procesos aleatorios. Por otro lado, en el campo de la química nos predice, entre otros procesos de transferencia de calor, que si juntamos un material a 0º y otro a 100º, rápidamente la temperatura del punto de conexión entre ambos será de 50º.

DE DONDE SE LA OBTIENE:

Esta ecuación se la obtiene de la forma general de una ecuación de derivadas parciales lineal y de segundo orden (EDP) con 2 variables independientes X e Y.

Si “U” representa la variable dependiente Y; y “X” e “Y” representan las variables independientes, entonces tenemos que:

donde A,B,C,...,G son funciones de x e y.

Cuando G(x,y) = 0, se dice que la ecuación es homogénea; en caso contrario se dice que es no homogénea.

Ejemplo::

= 0 Ecuación homogénea

=xy Ecuación no homogénea

Algunos ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales lineales de segundo orden que desempeñan un papel importante en Ingeniería son las siguientes.

1. Ecuación bidimensional de Laplace

2.. Ecuación unidimensional de onda

  1. Ecuación unidimensional del calor

En esta investigación vamos a centrarnos solamente en la ecuación del calor ya que es el tema que nos corresponde analizar en la cual no vamos a deducir la forma en que se obtuvo, sino únicamente en cómo se la resuelve para poder aplicarlas en los problemas propuestos.

Para resolverla vamos a aplicar un procedimiento general conocido como método de separación de variables, el cual vimos durante las horas de clase en la materia de matemática avanzada, aquí lo más importante respecto a dicho método.

METODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES:

Este método busca una solución particular en forma de un producto de una función de “x”, una función de “y”, como U(x,y)= X(x). Y(y)

A veces es posible convertir una ecuación en derivadas parciales lineal con 2 variables en 2 ecuaciones ordinarias.

Para hacerlo notemos que:


DONDE: X`derivación ordinaria ; Y`derivación ordinaria

De esta forma el problema de resolver una ecuación en derivadas parciales se reduce al problema más conocido de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Ilustraremos esta técnica para la ecuación del calor.

Ecuación del calor

La ecuación unidimensional del calor es el modelo de variación de la temperatura usegún la posición xy el tiempo ten una varilla calentada de longitud Ly de temperatura inicial f(x)que se extiende a lo largo del eje xy cuyos extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados en todo instante. Si

  • El flujo de calor se produce solamente en la dirección del eje x.

  • No se pierde calor a través de la superficie lateral de la varilla.

  • No se genera calor en la varilla.

  • la varilla es homogénea, esto es, su densidad por unidad de longitud es constante.

  • su calor específico y su conductividad térmica son constantes,

entonces la temperatura u(x,t)de la varilla está dada por la solución del problema con condiciones iniciales y de contorno

La constante k es proporcional a la conductividad térmica y se llama difusividad térmica.

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

Para resolver este problema por el método de separación de variables, se empieza por suponer que:

Tiene una solución de la forma :

Para determinar Xy T, primero se calculan las derivadas parciales de la función u

se sustituyen estas expresiones en la ecuación resultando:

y separando las variables

Observamos ahora que las funciones del primer miembro dependen solamente de t,mientras que las del segundo miembro dependen solamente de x ey, puesto que xy tson variables independientes entre sí, los dos cocientes deben ser iguales a alguna constante Por tanto,

En consecuencia, para soluciones separables, el problema de resolver la ecuación en derivadas parciales se ha reducido al problema de resolver las dos ecuaciones diferenciales ordinarias anteriores.

Si consideramos ahora las condiciones de contorno

y, teniendo en cuenta que u(x,t) = X (x)T (t) tenemos que:

Por consiguiente, o bien T (t) = 0para todo t > 0,lo cual implica que u(x,t) =0 o bien

Ignorando la solución trivial, se combinan las condiciones de contorno con la ecuación diferencial en X y se obtiene el problema

ECUACION

DIFERENCIAL (1)

donde puede ser cualquier constante.

Nótese que la función X (x) = 0 es una solución para todo y, dependiendo de la elección de ésta puede ser la única solución del problema. Así que si se busca una solución no trivial u(x,t) = X (x)T (t),primeramente se deben determinar aquellos valores de para los cuales el problema con condiciones iniciales y de contorno tiene una solución no trivial.

Dichos valores especiales de se denominan valores propios, y las soluciones no triviales correspondientes son las funciones propias.

Para resolver el problema, empezamos con la ecuación característica r2 = 0 y consideramos tres casos.

CASO 1: > 0. En este caso, las raíces de la ecuación característica son , de modo que la solución general de la ECUACIÓN DIFERENCIAL (1)es:

Si recurrimos a las condiciones de contorno, X (0) = X (L) = 0, para determinar C1y C2obtenemos que la única solución es C1= C2= 0. Por consiguiente, no existe solución no trivial para > 0.

CASO 2: = 0. Ahora r = 0 es una raíz doble de la ecuación característica y la solución general de la ecuación diferencial es

Las condiciones de contorno implican de nuevo que C1= C2= 0 y, consecuentemente, no existe solución no trivial.

CASO 3: < 0. En este caso las raíces de la ecuación característica son y la solución general de la ecuación es

En esta ocaciòn las condiciones de contorno dan lugar al sistema:


Como C1=0, el sistema se reducea

Por lo tanto la ECUACION DIFERENCIAL (1):tiene una solución no trivial cuando o lo que es lo mismo


Además las soluciones no triviales Xn(x) correspondientes al valor

Están dadas por :

donde los valores an son constantes arbitrarias distintas de cero.

Una vez determinados los valores de consideramos las segunda ecuación

Para cada n = 1,2,..., la solución general de la ecuación lineal de primer orden es:

Por tanto combinando las dos soluciones anteriores obtenemos, para cada n=1,2,..

donde cnes una constante arbitraria.

Si consideramos una suma infinita de estas funciones, entonces aplicando el principio de superposición, la serie

Satisface tanto la ecuación de calor como las condiciones homogéneas


Nos falta únicamente determinar los coeficientes constantes utilizando la condición inicial

Esto da lugar a:

pero esta es la serie de Fourier de senos de f(x) sobre el intervalo [0,L] , lo cual nos permitirá calcular los coeficientes a través de la expresión

Concluimos entonces que la serie

es solución del problema con condiciones iniciales y de contorno descrito anteriormente. Esta solución en serie converge con bastante rapidez, a menos que tsea demasiado pequeño, debido a la presencia de factores exponenciales negativos. Por eso es muy práctica en cálculos numéricos.