Econometría

Economía. Hipótesis de autocorrelación. Variables. Intervalos de confianza

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Año

PNB, US$ miles de Mill.

M1

M2

1970

992.70

216.6

628.2

1971

1077.6

230.8

712.8

1972

1185.9

252.0

805.2

1973

1326.4

265.9

861.0

1974

1434.2

277.6

908.5

1975

1549.2

291.2

1023.3

1976

1718.0

310.4

1163.6

1977

1918.3

335.4

1286.7

1978

2163.9

363.1

1389.1

1979

2417.8

389.1

1498.5

1980

2631.7

414.9

1632.6

1981

2957.8

441.9

1796.6

1982

3069.3

480.5

1965.4

1983

3305.8

525.4

2196.3

M1=Circulante+Depósitos a la Vista +Cheques Viajeros y Otros depósitos a Corto Plazo

M2=M1+ Transacciones de Recompra entre Bancos Y Eurodólares a Corto Plazo + Saldos FMMM+ Cuentas de Ahorro del Mercado Monetario+ Ahorros y Pequeños Depósitos.

Fuente:Economic Report of the President, 1985, datos del PNB de la tabla B-1, p.232; Datos de la oferta monetaria de la tabla B-61, p.303.

PNB

3304 *

3069 *

2957 *

2631 *

2417 *

2163 *

1918 *

1718 *

1549 *

1434 *

1326 *

1185 *

1077 *

992 *

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83

M1

525 *

480 *

441 *

414 *

389 *

363 *

335 *

310 *

291 *

277 *

265 *

252 *

230 *

216 *

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83

M2

2196 *

1965 *

1796 *

1632 *

1498 *

1389 *

1286 *

1163 *

1023 *

908 *

861 *

805 *

712 *

628 *

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83

P

N P

B N

B

992.7 992

216 M1 628 M2

La Relación entre el PNB y la M1 es positiva. Al igual que su relación con M2, ante incrementos del PNB, se producen incrementos en la M1 y la M2, pues M2 es combinación lineal de la M1

Ejercicio:

Yt=0+1X1+2X2+t.

  • Estimamos el modelo:

  • 992.70 1 216.6 628.2

    1077.6 1 230.8 712.8

    1185.9 1 252.0 805.2

    1326.4 1 265.9 861.0

    1434.2 1 277.6 908.5

    1549.2 1 291.2 1023.3

    1718.0 1 310.4 1163.6

    Y= 1918.3 X= 1 335.4 1286.7

    2163.9 1 363.1 1389.1

    2417.8 1 389.1 1498.5

    2631.7 1 414.9 1632.6

    2957.8 1 441.9 1796.6

    3069.3 1 480.5 1965.4

    3304.8 1 525.4 2196.3

    -520.6607475

    ^=(XtX)-1XtY. ! ^= 5.167769491

    0.5741853677

    El Modelo queda como: Yt=-520.6607475 +5.167769491M1+0.5741853677M2.

    ^2=YtY-^tXtY!^2=(62952281.9-62885395.63/14-3) =66886.27.34/11=6080.57

    n-k

    171522.0063 -1821.907522 354.8536847

    V(^)=(XtX)-1^2 .= -1821.907522 19.76762589 -3.877092161

    354.8536847 -3.877092161 0.7623730907

    Las  calculadas por MCO tienen las siguientes propiedades:

    A) Son Insesgados

    B) Son Eficientes, es decir, no hay otro estimador lineal insesgado que tenga una varianza menor, lo cual no quiere negar la existencia de otros estimadores con menor varianza, pero estos, serán insesgados o no lineales.

    Cálculo de los t-ratios:

    H0:0=0

    H1:0"0

    t0=^0/"V(^0)= -520.6607475/"171522.0063 =-1.257172619.

    RR={t"t/2, n-k} como t0´025, 14-3=2´201 se acepta la Hipótesis nula

    H0:1=0

    H1:1"0

    t1=^1/"V(^1)=5.167769491/"19.76762589=1.162320445.

    RR={t"t/2, n-k} como t=2´201 se acepta la Hipótesis nula

    H0:2=0

    H1:2"0

    t2=^2/"V(^2)= 0.5741853677/"0.7623730907=0.657609898.

    RR={t"t/2, n-k} como t=2´201 se acepta la Hipótesis nula.

    Calculo la R2=1-SRC/STC para saber si el modelo es bueno.

    R2=1-(YtY-^tXtY)/YtY-n×øY2.= 1-[(62952281.9-62885395.63/(62952281.9-14×3928493.888)]=1-(66886.27/7953367.468)=1-0.008409805063=0.991590194

    R2 Ajustado ó øR2=1-[(n-1)/(n-k)]×(1-R2)=1-[13/11]×(0.008409805062)=0.990061139

    Como ajusta bien y los t-ratios son pequeños, hay indicios de Multicolinealidad

    Contraste de Hipótesis:

    Contraste de Significatividad Global: Todas las =0, excepto el intercepto. El Modelo Yt=0+1X1+2X2+t.

    H0:1=2=0. R2

    H1:Algún "0. F= k-1 . RR=øF"Fk-1,n-kø

    1-R2

    n-k

    R2=0.991590194, 1-R2=0.008409805063, k=3 , n=14.

    0.991590194

    F= 3-1= 648´4985123

    0.008409805063

    14-3

    RR=ø648´4985123"4.75ø rechazo la hipótesis nula, es decir, acepto la hipótesis alternativa

    Revisión de Hipótesis:

    La Hipótesis de Autocorrelación dice que la Cov(dt,dt-k)=0, esto se puede deber a que:

  • Se ha omitido alguna variable explicativa

  • Hay tendencia en las d.

  • Se ha equivocado la forma funcional

  • Contraste de Durbin-Watson:

    H0: =0

    H1:"0 ó >0 ó <0

    ^=Y-X×^.

    992.7 1 216.6 628.2

    1077.6 1 230.8 712.8

    1185.9 1 252.0 805.2

    1326.4 1 265.9 861.0

    1434.2 1 277.6 908.5

    1549.2 1 291.2 1023.3

    1718.0 1 310.4 1163.6 -520.6607475

    Y= 1918.3 X= 1 335.4 1286.7 ^= 5.167769491

    2163.9 1 363.1 1389.1 0.5741853677

    2417.8 1 389.1 1498.5

    2631.7 1 414.9 1632.6

    2957.8 1 441.9 1796.6

    3069.3 1 480.5 1965.4

    3304.8 1 525.4 2196.3

    DW=2(1-^): ^=("^t×^t-1)/"2t-1.

    ^t ^t-1 ^t×^t-1 2t-1 .

    33.3186279

    -3.739780976 33.3186279 -124.6043708 1110.130985

    -58.05122215 -3.739780976 217.0988562 13.98596175

    -21.42276159 -58.05122215 1243.617492 3369.944393

    -1.359469592 -21.42276159 29.12359296 458.9347141

    -22.55761488 -1.359469592 30.66679934 1.848157572

    -33.53699618 -22.55761488 756.5247052 508.8459891

    -33.11345221 -33.53699618 1110.52572 1124.730113

    10.54275125 -33.11345221 -349.1068897 1096.500717

    67.26486527 10.54275125 709.1567424 111.1496039

    70.8381546 67.26486527 4764.918925 4524.562146

    163.2419781 70.8381546 11563.70521 5018.044147

    -21.65641435 163.2419781 -3535.219019 26647.94341

    -149.7686659 -21.65641435 3243.452285 469.0002825

    19659.86005 44455.62055

    ^=19659.86005/44455.62055=0´442235645

    DW=2×(1-0´442235645)=1´115528709

    Región de Rechazo:

    Rechazo Incert Acepto Incertidumbre Rechazo

    dl=0.595 du=1.928 4-du=2´072 4- dl=3´405

    D-W=1´115528709, se sitúa en la región de incertidumbre, con lo que el estadístico D-W no me soluciona la duda. Por lo que vamos a utilizar el test de Breusch-Godfrey.

    1º Obtengo el valor de t. y t-1.

    2º Ajusto el modelo: ^t=0+1X1+2X2+t-1+t.

    3º Obtengo el estadístico (N-1)×R2.

    4º Expongo las hipótesis:

    H0:Ausencia de Autocorrelación.

    H1: Presencia de Autocorrelación

    1 230.8 712.8 33.3 -3.7

    1 252.0 805.2 -3.7 -58.0

    1 265.9 861.0 -58.0 -21.4

    1 277.6 908.5 -21.4 -1.3

    1 291.2 1023.3 -1.3 -22.5

    1 310.4 1163.6 -22.5 -33.5

    1 335.4 1286.7 -33.5 -33.1 =Y

    X= 1 363.1 1389.1 -33.1 10.5

    1 389.1 1498.5 10.5 67.3

    1 414.9 1632.6 67.3 70.8

    1 441.9 1796.6 70.8 163.2

    1 480.5 1965.4 163.2 -21.6

    1 525.4 2196.3 -21.6 -149.8

    Mi objetivo ahora es obtener la R2. Obtengo el valor de los estimadores que se obtienen de ^=(XtX)-1XtY. !

    126.9253601

    -1.100245227

    ^= 0.1894798858

    0.5827590135

    R2=1-SRC/STC=1-(65741´02-11189´53569)/( 65741´02-13×6´48289941)=0´16914116

    Ahora obtengo el estadístico: (N-1)×R2=(13)× 0´16914116=2´19883508

    H0:Ausencia de Autocorrelación del tipo AR(1)

    H1:Presencia de Autocorrelación del tipo AR(1).

    Región de Rechazoø(N-1)×R2"21,ø = ø 2´19883508"3´84ø 21,0.95=3´84

    Con lo que acepto la hipótesis nula de que no hay autocorrelación del tipo AR(1), así pues, aunque D-W me haya salido en la región de incertidumbre, este test me confirma la no presencia de Autocorrelación

    Heterocedasticidad: el supuesto básico dice que V(t)=2. Es decir, los errores tienen varianza constante. Cuando esto no se cumple, hablamos de Heterocedasticidad, esta provoca que al aplicar MCO para estimar ^, estos son insesgados, pero no de mínima varianza. Para detectarla,, se puede usar el contraste de G-Q, el de Breusch-Pagan y el de Jarque-Bera.

    Contraste de Goldfeld-Quandt para detectar la Heterocedasticidad:

    Ordeno las observaciones de menor a mayor en función de la primera vaviable.

    992.70 1 216.6 628.2 2631.7 1 414.9 1632.6

    1077.6 1 230.8 712.8 2957.8 1 441.9 1796.6

    Y1= 1185.9 X1= 1 252.0 805.2 Y2= 3069.3 X2= 1 480.5 1965.4

    1326.4 1 265.9 861.0 3305.8 1 525.4 2196.3

    Ordeno en función de la segunda variable:

    992.70 1 628.2 216.6 2631.7 1 1632.6 414.9

    1077.6 1 712.8 230.8 2957.8 1 1796.6 441.9

    Y*1= 1185.9 X*1= 1 805.2 252.0 Y*2= 3069.3 X2*= 1 1965.4 480.5

    1326.4 1 861.0 265.9 3305.8 1 2196.3 525.4

    Calculo ^ de cada uno:

    -916.843313 2750.582998 -916.8433137 2750.58

    ^1= 12.64248666 ^2= -21.82594732 ^*1= -1.314784223 ^*2= 5.482546

    -1.31478422 5.482546215 12.64248666 -21.8259

    H0:Ausencia de Heterocedasticidad

    H1:Presencia de Heterocedasticidad

    SRC1=5312370.82-5311387.789=983.031

    SRC2=36023341.86-36021845.04=1496.82

    F=SRC2/SRC1=1496.82/983.031=1.522657983. RR=øF" Fn1-k, n2-k, ø

    SRC*1=5312370.82-5311387.785=983.035

    SRC*2=36023341.86-36021845.16=1496.7

    F=SRC2/SRC1=1496.7/983.035=1.522529717. RR=øF" F4,4,0.05ø

    RR=ø1.522657983"161.4ø Como no se encuentra en la Región de Rechazo, acepto la Hipótesis nula, de ausencia de Heterocedasticidad.

    Multicolinealidad:

    Una forma de detectarla es si los t-ratios tienen un valor pequeño y la R2. Tiene un valor elevado, es casi seguro que hay presencia de Multicolinealidad, esta situación provoca que los datos obtenidos no son muy seguros .La eliminación de la Multicolinealidad es muy difícil, ya que si elimino la variable que provoca la Multicolinealidad, se produce un sesgo en la estimación de los .

    Intervalos de confianza:

    Con =0.05

    IC[^0]=[ ^0 +/-t/2,n-k×"^V(^0)]=[390.8881425,-1432.209637]

    ( -520.6607475+2.201×"171522.0063, -520.6607475-2.201×"171522.0063)

    IC[^1]=[ ^1 +/-t/2,n-k×"^V(^1)]=[14.9535912,-4.618052225]

    (5.167769491+2.201×"19.76762589, 5.167769491-2.201×"19.76762589)

    IC[^2]=[ ^2 +/-t/2,n-k×"^V(^2)]=[2.495966043,-1.347595307]

    (0.5741853677+2.201×"0.7623730907, 0.5741853677-2.201×"0.7623730907)

    Predicción:

    Vamos a predecir un valor para el PNB en el año 84, con un valor de la M1=576.3 y M2=2338.3 con un nivel de significación de 0.05

    IC[Y0]=[^Y0+t/2,n-k×"[^2.(X0(XtX)-1Xt0+1],^Y0-t/2,n-k×"[^2.(X0(XtX)-1Xt0+1]

    X0=(1 576.3 2338.3) Yt==-520.6607475+5.167769491M1+0.5741853677M2. Y84=3800.142455

    IC[^Y]=[4019.952677,3468.560333]

    [3800.142455+2´201×"[6080.57×2.54905694+1],

    [3800.142455-2´201×"[6080.57×2. 54905694 +1]

    Conclusión: El modelo es bueno para predecir, pero padece de Multicolinealidad, sin embargo si quisiera hacer predicciones más precisas, no me serviría, por ello, sería aconsejable eliminar del modelo la variable M2 para comprobar los resultados obtenidos en ambos, para así, poder obtener un modelo mucho más preciso.

    Yt=0+1X1+t.

    992.70 1 216.6

    1077.6 1 230.8

    1185.9 1 252.0

  • 1 265.9

  • 1434.2 1 277.6

    1549.2 1 291.2

    1718.0 1 310.4

    Y= 1918.3 X= 1 335.4

    2163.9 1 363.1

    2417.8 1 389.1

    2631.7 1 414.9

    2957.8 1 441.9

    3069.3 1 480.5

    3304.8 1 525.4

    -787.472350

    ^=(XtX)-1XtY. ! ^= 8.08630452

    El modelo queda como:Yt=-787.472350+8.08630452M1.

    ^2=YtY-^tXtY!^2=(62945671.3-62875843.59/14-2) =69827.71/12=5818.976

    n-k

    6078.767239 -16.53536443

    V(^)=(XtX)-1^2 .= -16.53536443 0.0482804501

    Cálculo de los t-ratios:

    H0:0=0

    H1:0"0

    t0=^0/"V(^0)= -787.472350/"6078.767239 =-10.10014379

    RR={t"t/2, n-k} como t0´025, 14-2=2´179 se acepta la Hipótesis nula

    H0:1=0

    H1:1"0

    t1=^1/"V(^1)= 8.08630452/"0.0482804501=36.82811573.

    RR={t"t/2, n-k} como t=2´179 se rechaza la Hipótesis nula

    Calculo la R2=1-SRC/STC para saber si el modelo es bueno.

    R2=1-(YtY-^tXtY)/YtY-n×øY2.= 1-[(62945671.3-62875843.59)/(62945671.3-14×3928493.888)]=1-(69827.71/7946756.868)=1-0.008786944304=0.9911213055

    R2 Ajustado ó øR2=1-[(n-1)/(n-k)]×(1-R2)=1-[13/12]× 0.008786944304 =0.99048081

    El modelo parece ser bueno, pues ajusta bien, pero a diferencia del anterior modelo, este tiene los t-ratios altos, lo que elimina los indicios de Multicolinealidad.

    Contraste de Hipótesis:

    Contraste de Significatividad Global: Todas las =0, excepto el intercepto. El Modelo Yt=0+1X1+t.

    H0:1=0. R2

    H1:Algún "0. F= k-1 . RR=øF"Fk-1,n-kø

    1-R2

    n-k

    R2=0.9911213055, 1-R2 =0.008786944304=, k=2 , n=14.

    0.9911213055

    F= 2-1= 1353´537163

    0.008786944304

    14-2

    RR=ø1353´537163"3´18ø rechazo la hipótesis nula, es decir, acepto la hipótesis alternativa

    Revisión de Hipótesis:

    La Hipótesis de Autocorrelación dice que la Cov(dt,dt-k)=0, esto se puede deber a que:

    • 1)Se ha omitido alguna variable explicativa

    2)Hay tendencia en las d.

    3)Se ha equivocado la forma funcional

    Contraste de Durbin-Watson:

    H0: =0

    H1:"0 ó >0 ó <0

    ^=Y-X×^.

    992.70 1 216.6

    1077.6 1 230.8

    1185.9 1 252.0

  • 1 265.9

  • 1434.2 1 277.6

    1549.2 1 291.2

    1718.0 1 310.4 -787.472350

    Y= 1918.3 X= 1 335.4 ^= 8.08630452

    2163.9 1 363.1

    2417.8 1 389.1

    2631.7 1 414.9

    2957.8 1 441.9

    3069.3 1 480.5

    3304.8 1 525.4

    DW=2(1-^): ^=("^t×^t-1)/"2t-1.

    Si volviera a fallar este método, nuevamente acudiría al test de B-G, ya que este método me da sólo dos opciones, o se acepta o se rechaza, al contrario que D-W, que me ofrecía una región de Incertidumbre.

    ^t ^t-1 ^t×^t-1 2t-1 .

    28.67879185

    -1.24673233 28.67879185 -35.75493488 822.473102

    -64.3763233 -1.24673233 80.26004354 1.544341503

    -36.27602098 -64.3763233 2335.3168553 4144.311002

    -23.08578386 -36.27602098 837.4603796 13215.949698

    -18.05959533 -23.08578386 416.9199144 932.9534164

    -4.516572118 -18.05959533 81.56746473 326.1489835

    -6.374185117 -4.516572118 28.78946677 20.3994237

    15.23517968 -6.374185117 -97.11185557 40.63023591

    58.89126216 15.23517968 897.2189606 332.1106999

    64.16460555 58.89126216 3778.734607 4468.180759

    171.9343835 64.16460555 11032.1019 4117.096605

    -28.69697096 171.9343835 -4933.99601 39561.43223

    -156.2720439 -28.69697096 4484.534306 823.5161423

    13906.0411 80406.74664

    ^=13906.0411/80406.74664=0´172947292

    DW=2×(1-0´172947292)=1´654105416

    Región de Rechazo:

    Rechazo Incertidumbre Acepto Incertidumbre Rechazo

    dl=0.812 du=1.579 4-du=2´421 4- dl=3´188

    Como vemos, ahora D-W me comprueba que no se da la Autocorrelación del tipo AR(1).

    Heterocedasticidad: el supuesto básico dice que V(t)=2. Es decir, los errores tienen varianza constante. Cuando esto no se cumple, hablamos de Heterocedasticidad, esta provoca que al aplicar MCO para estimar ^, estos son insesgados, pero no de mínima varianza. Para detectarla,, se puede usar el contraste de G-Q, el de Breusch-Pagan y el de Jarque-Bera.

    Contraste de Goldfeld-Quandt para detectar la Heterocedasticidad:

    Ordeno las observaciones de menor a mayor en función de la primera vaviable.

    992.70 1 216.6 2631.7 1 414.9

    1077.6 1 230.8 2957.8 1 441.9

    Y1= 1185.9 X1= 1 252.0 Y2= 3069.3 X2= 1 480.5

    1326.4 1 265.9 3305.8 1 525.4

    Calculo ^ de cada uno:

    -424.5707188 370.8816155

    ^1= 6.50666412 ^2= 5.626817812

    H0:Ausencia de Heterocedasticidad

    H1:Presencia de Heterocedasticidad

    SRC1=5312370.82-5311019.977=1350.843

    SRC2=36023341.86-36007331.13=16010.73

    F=SRC2/SRC1=16010.73/1350.643=11.85239884. RR=øF" Fn1-k, n2-k, ø

    RR=øF" F2,2,0.05ø

    RR=ø11.85239884"19.0ø Como no se encuentra en la Región de Rechazo, acepto la Hipótesis nula, de ausencia de Heterocedasticidad.

    Multicolinealidad:

    Una forma de detectarla es si los t-ratios tienen un valor pequeño y la R2 tiene un valor elevado, es casi seguro que hay presencia de Multicolinealidad, pero ahora, esta situación ya no se presenta, pues los t-ratios tienen un valor elevado.Por ello, es casi seguro, que no hay presencia de Multicolinealidad

    Intervalos de confianza:

    Con =0.05

    IC[^0]=[ ^0 +/-t/2,n-k×"^V(^0)]=[-617.5834567,-957.3612433]

    (-787.472350+2.179×"6078.767239,- 787.472350 -2.201×"6078.767239)

    IC[^1]=[ ^1 +/-t/2,n-k×"^V(^1)]=[8.56509211,7.60751693]

    (8.08630452+2.179×"0.0482804501, 8.08630452 -2.179×"0.0482804501)

    Predicción:

    Vamos a predecir un valor para el PNB en el año 84, con un valor de la M1=576.3 y con un nivel de significación de 0.05

    IC[Y0]=[^Y0+t/2,n-k×"[^2.(X0(XtX)-1Xt0+1],^Y0-t/2,n-k×"[^2.(X0(XtX)-1Xt0+1]

    X0=(1 576.3) Yt=(-787.472350+8.08630452M1. Y84=3872.664945

    IC[^Y]=[3752.205638,3993.124252]

    [3872.664945+2´179×"[5818.976×0.5250220779+1],

    [3872.664945-2´201×"[5818.976×0.5250220779+1]

    Conclusión: El Modelo ajusta bien, y no presenta ni Heterocedasticidad ni Autocorrelación, sin embargo, la Muticolinealidad no se puede descartar por completo, pues aunque los t-ratios sea grandes, en el intervalo de confianza de la ^Y, hay mucha amplitud en el intervalo, lo que me haría sospechar de Multicolinealidad, sin embargo, ahora el modelo es mejor para hacer predicciones, pues ha aumentado su precisión, aunque tampoco demasiado, por lo que aún no sería un modelo perfecto para hacer precisiones, ya que deja todavía mucha incertidumbre.

    Asignatura: Introducción a la Econometría.

    Carrera: Administración y Dirección de Empresas.

    Curso:3º

    Parcial: Junio

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