Distribuciones de probabilidad

Estadística. Variables aleatorias continuas. Distribución: student, chi cuadrado y F de Fisher. Características

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TEMA 5: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIONES PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

  • Las distribuciones “t” de Student, Chi cuadrado (2) y F, se derivan de la distribución Normal y están relacionadas con la teoría del muestreo pequeño n< 30.

  • Son muy importantes pues son la base de metodologías inferenciales, tales como Intervalos de Confianza y Pruebas de Hipótesis.

  • Las variables “t”, 2 y F surgen de transformaciones de variables aleatorias en las que están involucrados estadísticos muestrales, tales como la media y la variancia. En la práctica, por lo tanto, no podemos decir por Ej. que el peso, la altura, etc., se distribuyen según t”, 2 y F

DISTRIBUCIÓN DE STUDENT O DISTRIBUCIÓN “t”

En muchos casos se seleccionan de una población normal, muestras de tamaño pequeño n < 30 y x desconocido

El estadístico “t” será

DEFINICIÓN

Una variable con distribución t de Student se define como el cociente entre una variable normal estandarizada y la raíz cuadrada positiva de una variable 2 dividida por sus grados de libertad.

CARACTERISTICAS

  • La distribución se denomina distribución de Student o distribución “t”.

  • Es simétrica, con media de 0, y variancia mayor que 1.

  • Es más achatada que la normal y adopta diferentes formas, según el número de grados de libertad.

  • La variable t se extiende desde - a +.

  • A medida que aumenta los (n -1) grados de libertad la distribución “t” se aproxima en su forma a una distribución normal.

  • El parámetro de la distribución es (n-1) grados de libertad, originando una distribución diferente para cada tamaño de muestra.

¿Cómo se deduce una distribución de “t”?

  • Extraigo K muestras de tamaño n < 30.

  • Calculo para cada muestra el valor de “t”.

  • Grafique la distribución para cada tamaño muestral

Distribución “t” para diferentes grados de libertad (n-1)

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DISTRIBUCIÓN CHI_ CUADRADO

Para muestras extraídas de una población normal con variancia 2, con tamaño n < 30, siendo S2 la variancia de la muestra entonces el estadístico 2 será

DEFINICIÓN

Una variable Chi cuadrado se define como la suma de n variables normales estandarizadas elevadas al cuadrado.

CARACTERISTICAS

  • Por definición, una variable 2 adopta valores positivos: 0 " 2 " ".

  • La distribución es asimétrica positiva.

  • A medida que aumenta el tamaño de la muestra la curva es menos asimétrica, aproximándose a una curva normal.

  • Para cada tamaño muestral, se tendrá una distribución 2 diferente.

  • El parámetro que caracteriza a una distribución 2 son sus grados de libertad (n-1), originado una distribución para cada grado de libertad,

¿Cómo se deduce una distribución 2?

  • Extraer K muestras de tamaño n < 30

  • Para cada muestra, por ejemplo n = 5, transformamos cada valor de x: x1, x2, x3, x4 y x5 en Z: z1, z2, z3, z4 y z5, utilizando:

  • Para cada muestra calculamos:

  • Entonces podríamos escribir , así:

(1)

  • Si cambiamos en (1) la media poblacional  por X, resulta:

(2)

  • Dado que: , despejando tenemos:

, al reemplazar en (2) llegamos a:

  • Finalmente si se calcula para cada una de las K muestras y se grafica en un eje de coordenadas el 2 se genera una distribución de 2 con (n-1) grados de libertad.

Distribución de ji-cuadrado para algunos valores de grados de libertad.

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DISTRIBUCIÓN F DE FISHER

Considerando dos muestras aleatorias independientes, de tamaño n1 y n2, extraídas de una población normal, el estadístico F será

DEFINICIÓN

Una variable F se define como el cociente entre dos variables ji-cuadrado divididas por sus correspondientes grados de libertad.

CARACTERISTICAS

  • Una variable con distribución F es siempre positiva por lo tanto su campo de variación es 0 " F " "

  • La distribución de la variable es asimétrica, pero su asimetría disminuye cuando aumentan los grados de libertad del numerador y denominador.

  • Hay una distribución F por cada par de grados de libertad.

  • Parámetros: Grados de libertad asociados al numerador y denominador

¿Cómo se deduce una distribución F?

  • Extraiga k pares de muestras aleatorias independientes de tamaño n < 30.

  • Calcule para cada par el cociente de variancias que proporciona un valor de F.

  • Graficar los valores de F de los k pares de muestras.

Distribución F para diferentes grados de libertad

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