Dispersión de la luz

Óptica. Refracción. Longitud de onda. Prisma. Rayos. Cauchy

  • Enviado por: Austri Arribas
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OBJETIVO

El objetivo de esta practica es medir el índice de refracción de un prisma en función de la longitud de onda, para la cual utilizaremos la ecuación de Cauchy y ajustaremos los parámetros que en ella aparecen.

Nos serviremos de la formula ajustada para determinar la longitud de una línea espectral concreta a partir de la relación de dispersión n().

FUNDAMENTO TEORICO

Un prisma óptico es un medio transparente limitado por dos superficies planas que forman un ángulo . Supongamos que el medio tiene un índice de refracción n, y esta rodeado por aire, de índice de refracción aproximadamente la unidad.

Cuando un rayo de luz incide sobre la superficie del prisma, se refracta y emerge formando un ángulo  con la prolongación del rayo incidente, que se llama desviación angular del rayo.

En la figura el ángulo refrigente es . Vemos que en la figura se cumplen las relaciones:

En el ADC r+r´=

En el ABC =e+e´=i+i´-c

Si aplicamos la ley de Snell a las dos refracciones que se producen tenemos:

sen i = n sen r

sen i´= n sen r´

Si en la figura permanece fija la dirección de r, y hacemos girar el prisma en torno a un eje normal al plano de la figura para hacer variar “i” se encuentra que la desviación  se modifica, existiendo un ángulo para el cual es mínima m. Para calcular el ángulo de desviación mínima, matemáticamente, derivamos la expresión de  con respecto a “i” e igualamos a cero la derivada, por tratarse de un mínimo:

d/di = 1 + di´/di = o di´/di = -1

Si ahora diferenciamos las expresiones anteriores tenemos

dr + dr´= 0 cos idi = n cos rdr cos i´di´= n cos r´dr´

Es decir

cos i´di´= -n cos r´dr

cos idi = n cos rdr

Y dividiendo ambas expresiones:

di´/di = (-cos r´* cos i)/(cos r *cosi´)

di´/di = (-cos r´*cosi)/(cos r *cos i´) = -1

Expresión que solo puede cumplirse cuando:

i=i´ y r=r´

Lo que indica que para que se produzca desviación mínima, la trayectoria debe ser simétrica, es decir, el rayo en el interior del prisma ha de ser normal al plano.

Si tenemos en cuenta las relaciones de los ángulos obtenemos:

2r =  r=/2

m = 2i´- (m + )/2 = i

Introduciendo esta expresión en la ley de Snell obtenemos:

sen i = n sen r

Así pues, tenemos:

n = [sen ((m + )/2)]/sen (/2)

Si la onda incidente se compone de varias longitudes de onda, cada una de las componentes se refractara según un ángulo diferente y la onda se descompondrá en todas sus frecuencias ( de diferentes colores). Este fenómeno de la dispersión se aprecia notablemente en un prisma.

Si un rayo penetra en un prisma, al producirse la primera refracción, tendrá lugar un desdoblamiento del rayo, ya que cada onda de luz monocromática opera con un índice diferente. En la segunda cara se repetirá el hecho, y a la salida del prisma, cada rayo presentara una desviación diferente. En la practica, los prismas se utilizan con luz paralela producida por un colimador L1, como se muestra en la figura, donde se representa el desdoblamiento de la luz procedente de la fuente S, que contuviera dos ondas monocromáticas de distinta longitud de onda. El sistema focalizador L2 produce en su plano focal una imagen de la fuente S para cada color, el conjunto de imágenes forma el espectro.

Experimentalmente puede determinarse n() con suficiente aproximación para las necesidades de la óptica geométrica, suponiendo que tienen la forma:

n() = A + B/2 + C/4 + ....

Esta expresión es la denominada ecuación de Cauchy, aproximación de la ecuación de Sellmeier (capaz de explicar las curvas de dispersión, incluso en las zonas en las que exista dispersión anómala). De todos modos, la ecuación de Cauchy representa con bastante exactitud el comportamiento de los vidrios ópticos en la zona del espectro visible, disminuyendo el índice al aumentar la longitud de onda. En ella A, B y C son constantes propias del medio, y pueden determinarse experimentalmente midiendo n para, como mínimo tres longitudes de onda del espectro.

Para zonas espectrales poco amplias, es suficiente utilizar los dos primeros términos de la serie:

n() = A + B/2

Por otro lado, se llama dispersión angular al cociente d/d. Es cómodo expresarla como producto de dos factores, escribiendo:

d/d = (d/dn)+(dn/dn)

Para el calculo del primer factor es necesario utilizar solo consideraciones geométricas, mientras que el segundo factor expresa una propiedad característica de la sustancia que forma el prisma, y suele denominarse dispersión del medio.

Pasemos a calcular el factor geométrico. Si derivamos las ecuaciones primeras respecto a n el ángulo de incidencia i no depende de n tenemos:

(dr/dn) + (dr´/dn) = 0

d/dn = di´/dn

0 = sen r´+ n cos r´(dr´/dn)

consideremos tambien la expresión

 = r + r´ sen = sen(r + r´) = sen r*cosr´+ cosr*senr´

donde finalmente combinando todo ello obtenemos:

d/dn = sen/(cosi´*cosr)

Si operamos en condiciones de desviación mínima resulta:

d/dn = sen/[cos((m + )/2)*cos(/2)] = 2 sen (/2)/cos ((m + )/2)

Por otra parte, podemos usar la ecuación de Cauchy, para un rango pequeño de longitudes de onda, para calcular dn/d siendo finalmente:

d/d = [2 sen (/2)/cos ((m + )/2)]* (-2B/3)

RESULTADOS EXPERIMENTALES

Medida del ángulo refrigente

Para medir el ángulo refrigente del prisma  nos vamos a valer de la reflexión de la luz sobre la superficie del prisma.

Suponiendo que la superficie del prisma sea perfectamente plana, el rayo reflejado formara con la superficie del prisma un ángulo igual al que formaba el rayo incidente. De este modo, teniendo en cuenta que los rayos incidentes son paralelos entre sí, tenemos:

1 - 2 =  + 1 + 2

1 + 2 = 

siendo finalmente:

 = (1 - 2)/2

Elegimos un ángulo cualquiera del prisma. Es importante realizar toda la practica considerando ese ángulo elegido como refrigente, pues, los valores de los tres ángulos no serán iguales.

Colocamos el prisma en la plataforma, de manera que su arista refrigente se enfrente con el tubo colimador. Acto seguido, buscamos la imagen reflejada en una de las caras del prisma, que intercepta con la arista elegida, anotando el ángulo 1.

Es fácil distinguir la imagen reflejada de la refractada, (en la refractada, la luz aparece descompuesta en los distintos colores componentes), aunque hay que tener cuidado, pues podemos cometer un desagradable error sistemático.

Una vez que tenemos 1, giramos el anteojo, manteniendo el prisma fijo y buscamos la imagen reflejada en la otra cara, anotando el correspondiente ángulo 2.

Así pues, obtenemos los siguientes datos:

1º

2º

360.00±0.02

240.00±0.02

60.00±0.02

330.81±0.02

211.00±0.02

59.91±0.02

141.16±0.02

21.50±0.02

59.83±0.2

328.30±0.02

208.43±0.02

59.93±0.02

Donde el error de  es:

 = (1/2) + (2/2)

Así, resulta un valor medio del ángulo refrigente de:

 = 59.92º±0.02

Medida del ángulo de desviación mínima.

Para calcular el índice de refracción necesitamos conocer el ángulo de desviación mínima m, dado que el índice de refracción depende de la longitud de onda deberemos calcular m para cada longitud de onda del espectro.

Así pues, colocamos el prisma sobre el soporte con la bisectriz del ángulo refrigente aproximadamente en dirección perpendicular al colimador. Sin mover el prisma, buscamos la imagen refractada; en ella, se ven nítidamente el espectro, aunque en algunas ocasiones será necesario volver a enfocar las imágenes.

A continuación, giramos la plataforma con el prisma, siguiendo la imagen con el anteojo. Habrá un momento en el que al aumentar el giro de l prisma la imagen empieza a retroceder; esto es, movemos el prisma a la derecha y la imagen se mueve hacia la izquierda. La posición en la que ocurre esto es la de desviación mínima.

Anotamos el ángulo que marca el nonio 1.

Giramos la plataforma del prisma media vuelta aproximadamente para que la luz incida sobre la otra cara que forma la arista refrigente, de modo que la refracción se produzca en el sentido contrario al observado anteriormente. Repetimos el procedimiento anterior (girar la plataforma del prisma e ir siguiendo la imagen hasta la posición en que esta empieza a retroceder) y anotamos el nuevo ángulo que indica ahora el nonio 2.

Así pues, calculamos el ángulo de desviación mínima para cada longitud de onda a partir de la formula:

m =(1 -2)/2

m = (1/2) + (2/2)

y el índice de refracción del prisma:

n = sen ((m + )/2)/sen (/2)

n [cos((m + )/2))/2 sen(/2)](m) + [(1/2)cos((m + )/2)sen (/2) - (1/2)sen((m + )/2)cos(/2)/)sen(/2))2]()

donde la incertidumbres asociadas a los ángulos en esta formula se dan en radianes.

Teniendo en cuenta eso, obtenemos los siguientes resultados:

Color

1º

2º

mº

n

Rojo

137.97±0.02

41.50±0.02

48.23±0.02

1.6214±5 10-4

Amarillo

138.08±0.02

41.25±0.02

48.41±0.02

1.6233±5 10-4

Verde

138.33±0.02

41.10±0.02

48.62±0.02

1.6253±5 10-4

Verde azul 1

138.92±0.02

40.65±0.02

49.13±0.02

1.6306±5 10-4

Verde azul 2

139.16±0.02

40.50±0.02

49.33±0.02

1.6326±5 10-4

Violeta

139.68±0.02

38.85±0.02

49.91±0.02

1.6385±5 10-4

Ajustando los pares de valores (1/2 , n) a una recta, hallamos la constantes “A” y “B” de la ecuación de Cauchy siendo “B” la pendiente y “A” la ordenada en el origen:

n() = A + B/2

Una vez conocidos los datos calculamos la longitud de onda para el color violeta, despejando de la fórmula de Cauchy:

 = (B/(n -A))1/2

Y para calcular el error tenemos:

 = [(B)1/2/2(n - A)3/2](n + A) + [1/2(n - A)1/2B](B)

De esta forma realizamos la regresión lineal obteniendo la gráfica de la pagina siguiente.

finalmente con los resultados obtenidos tenemos:

 = (4.55±0.08) 10-7 m

CUESTIONES

A)Tal y como hemos explicado en el fundamento teórico se llama dispersión angular al cociente d/d donde es cómodo expresarla como producto de dos factores escribiendo:

d/d = (d/dn)(dn/d)

Para el calculo del primer factor es necesario utilizar solo consideraciones geométricas, mientras que el segundo factor expresa una propiedad característica de la sustancia que forma el prisma, y suele denominarse dispersión del medio.

Siendo finalmente su valor:

d/d = (2sen(/2)/cos((m + )/2))(-2B/3)

de esta manera, observamos que el factor dn/d (dispersión del medio) es directamente proporcional a B que nos da un valor de la pendiente de la curva de los materiales que aparecen en la figura. Así, al ser mayor la pendiente sea mayor el factor B y a su vez la dispersión del medio dn/d. Por tanto, el material que elegiríamos para fabricar un prisma dispersivo seria el cristal de cuarzo, que es el que posee una mayor pendiente. Dependiendo del intervalo de longitud de onda donde nos movamos.

b)Si tenemos en cuenta el error relativo del índice de refracción obtenemos la siguiente formula:

n/n = [1/2tag((m + )/2)]m + [(1/2tag((m + )/2)) - 1/2tag(/2)]

De esta manera, podemos ver de forma más clara que cuando mayor es el ángulo refrigente  mayor es la tangente y, por tanto, menor es la inversa de ella. Así pues, el error asociado será menor cuando el ángulo refrigente  sea mayor y, por tanto, el ángulo de 45º seria mejor que el de 35º para obtener una mejor medida del índice de refracción n.

COMENTARIO DE LOS RESULTADOS

Comencemos comentando los datos obtenidos con sus correspondientes errores.

Así, se puede apreciar experimentalmente que el valor mas bajo del índice de refracción corresponde al rojo. de mayor longitud de onda, y el mayor al violeta de menor longitud de onda, resultado lógico según muestra la ecuación de Cauchy:

n() = A + B/2

Con respecto al ajuste de los parámetros de la curva “A” y “B”, observamos que los datos son bastantes buenos, como indica la correlación de 0.998 y el error asociado de los parámetros.

La dispersión de un prisma la habíamos definido como:

dn/d = -2B/3

Si la estimamos para los colores rojo y violeta (consideramos valor absoluto) obtenemos:

dn/d " 4 104(rojo)

dn/d " 9 104(violeta)

de tal modo que la luz violeta es mas desviada por el prisma que la luz roja, disminuyendo la desviación según aumenta la longitud de onda.

Por otro lado, al realizar la practica, encontramos la posición del prisma en desviación mínima para todo el espectro, sin apreciar que en esta posición variada de un color a otro (no apreciamos que la imagen de unos colores empezara a retroceder y a la de otros no). Es decir, con un goniómetro más preciso o un dispositivo adecuado habría que determinar la posición del prisma en desviación mínima para cada color y no para todos simultáneamente.