Didáctica de Aritmética y Geometría

Psicopedagogía. Educación infantil. Matemáticas. Enseñanza primaria. Planteamiento y resolución de problemas aditivos y multiplicativos. Criterios de evaluación. Estrategias eurísticas

  • Enviado por: Faelo
  • Idioma: castellano
  • País: España España
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DIDÁCTICA DE LA ARITMÉTICA Y LA GEOMETRÍA:

  • CONTENIDOS:

1.- Las Matemáticas en el currículo de la Enseñanza Primaria.

2.- Problemas aritméticos elementales en Primaria.

- Tipologías.

- Estrategias de resolución.

- Enseñanza.

3.- Estructuras aditivas y multiplicativas.

- Comprensión del sistema de numeración decimal.

- Relaciones aditivas y multiplicativas.

- Operaciones y Algoritmos.

- Estimación y cálculo mental.

4.- Fracciones y decimales.

- Interpretaciones.

- Representación y significado de procesos y operaciones.

5.- Magnitud y medida.

- Noción de magnitud.

- Conceptualización de la medida.

- Análisis de casos particulares: longitud, superficie, capacidad, peso y tiempo

6-. Conocimiento, orientación y representación espacial.

- Conceptualización del espacio.

- Sistemas de referencia. Localización.

- Formas en el espacio.

7.- Recursos y materiales didácticos. Enseñanza y aprendizaje.

TEMA 1: LAS MATEMÁTICAS EN EL CURRÍCULO DE LA ENSEÑANZA PRIMARIA:

  • INTRODUCCIÓN

  • LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS Y CARACTERÍSTICAS

  • DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS Y SU RELACIÓN CON OTRAS CIENCIAS:

  • RELACIÓN CON LAS MATEMÁTICAS

  • RELACIÓN CON LA PEDAGOGÍA

  • RELACIÓN CON LA PSICOLOGÍA

  • METODOLOGÍA

  • ORGANIZACIÓN ESCOLAR

  • ANÁLISIS DEL CURRÍCULO ESCOLAR:

  • PLANIFICACIÓN Y DESARROLLO CURRICULAR

  • CURRICULO DE LAS MATEMÁTICAS EN PRIMARIA

  • 1.INTRODUCCIÓN:

    Las matemáticas en el currículo escolar tienen dos objetivos:

  • Informativo: aquellos que va dirigidos o que tratan de enseñar ala alumno a expresarse cuantitativamente (a hacer conocimientos matemáticos para poder aplicar después).

  • Formativo: están orientados a desarrollar al A como persona, es decir, hacer que éste adquiera una serie de estructuras mentales o hábitos como ser ordenado, metódico, trabajar en equipo, que sea capaz de resumir…

  • Se trabaja en todas las asignaturas.

  • 2.LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS Y CARACTERÍSTICAS:

    - Didáctica: arte de enseñar.

    - Didáctico: lo relativo o propio

    - Didáctica de las Matemáticas: conocimiento del arte de enseñar matemáticas; lleva aparejado un conociminto de las técnicas y materiales para enseñar. Es la ciencia que trata de la adecuada utilización de métodos y procedimientos para hacer más eficaz la relación docente-discente estableciendo principios y leyes generales referidas a ese acto.

    CARACTERÍSTICAS:

    • Intuitiva: debe entrar por todos los sentidos y aprovecharlos para que el conocimiento entre en nuestra mente. Contribuye a una enseñanza más llevadera para el P y A.

    • Puerocéntrica: “el niño como centro”, lo importante es lo que aprende fomentando la participación, motivación. Va relacionado con la evaluación.

    • Unitaria: “el saber es global”, aprovechar todos los momentos para formnar al A. no poruq e sea matemáticas debe escribir con faltas de ortografia…

    • Individualizadora: relacionada con la purocéntrica. Darnos cuenta de las diferencias individuales entre los A. dirigirnos a todos de forma genérica con actividades iguales para todos y otras de recuperación para los que se quedan detrás.

    • Socializadora: el niño no es un ser individual e independiente, sino que es un ser social. Por ello debemos enseñar actitudes como cooperación, trabajo en equipo, respeto a los demás, aprednder a oir a los demás para ver que hay diferentes opiniones. Son necesarias para la vida.

    3. DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS Y SU RELACIÓN CON OTRAS CIENCIAS:

    La ciencia te da el conocimiento y la enseñanza el conocimiento a enseñar por lo que este conociminto hay que adaptarlo: jerarquizar, secuenciar, temporizar, buscar técnicas, buscar materiales, evaluar y autoevaluar. A esto se le llama Transposición Didáctica.

    • 3.1 DISTINTAS INTERPRETACIONES DEL PAPEL DE LAS MATEMÁTICAS:

    • Conductista: Trata de enseñar al alumno unas pautas de conductas. Se conocen como “problemas tipo”. Es muy cómodo para el alumno, pero carece de mucha información.

    • Estructuralistas: intentan demostrar absolutamente todo. La educación es un todo global del que las matemáticas forman parte. De la cual se plantean diferentes problemas donde la demostración está presente desde el primer momento.

    • Moderna: aparece alrededor de los 60-65, las “matemáticas de los conjuntos”. Se basa en que todas las partes de las matemáticas se basan en números. Y que estos parecen de los conjuntos. Por lo tanto un nº es un conjunto de elementos.

    En los conjuntos se definen una serie de operaciones. Estos dan lugar a estructuras algebraicas (cuerpo, espacio vectiorial…)¿?

    Supuso en España un desatre total y absoluto que duró mucho tiempo. El problema era que los A terminaban sin saber hacer las operaciones básicas. Lo + fueron las clases de apoyo para maestros.

    Las críticas más importantes son:

      • Una matemática formada por estructuras sin ejemplos no vale para nada.

      • El vocavulario utilizado era en gran cantidad y diverso por sr más refinado el palabrerio hace dudar y crea confusiones. Debe hacerse de la manera más clara, breve y concisa posible.

      • No se acondicionaba al desarrollo lógico del niño.

    • Concepción pragmática: se centra en la enseñanza de las matemáticas en la utilidad. Se potencian las aplicaciones de las matemáticas a todos los campos. Al trabajar con este tipo de concepción se dan cuanta que a los A se les motivaba más, utilizando. Entonces se pasa a entnder las matemáticas como un:

      • Proceso orientado: es fundamental que el A intervenga en la contrucción de las matemáticas. También lo es que el A conjetur sobre los resultados de un problema. La intuición forma un papel fundamental.

    En este proceso intervienen tres elementos a tener en cuenta (A, P y materia). Implica que el P es de determinada manera, el A debe atender de diferentes maneras al igual que debe aprender o estudiar de diferentes maneras la materia. El P es el siguiente: tiene que diseñar situaciones de aprendizaje que condujan al autodescubrimiento. Dejar a los A que “crean” que han descubierto ellos mismo la solución.

    * * Demostración de los ángulos de un triángulo: * *

    Al niño se le queda que la unión de los tres ángulos suman 180º. Por ello se le hacia la prueba de clavar dos puntillas unidas por un elástico doble sobre un tablero. Al tirar de uno de los lados de la cuerda esta se estiraba formando distintos triángulos. Si los niños miden todos esos ángulos infinitos que se podían conseguir comprobaban que siempre salía el ángulo de 180º.

    Debe ayudar a que el A busque soluciones: conjeture, discuta, elija diferentes caminos y se sienta en fin, participe de ese conocimiento. Debe finalmente proponer cuestiones divergentes, es decir, problemas que tengan más de una solución.

    Ejemplo:

    Arquitectura relacional: el P para enseñar no basta con saber de la metería, sino que necesita también conocer esta arquitectura del aula: como son los niños; su hay lideres, si hay gente suelta, niveles…, es decir, conexiones entre los A.

    3.2. RELACIÓN CON LA PEDAGOGÍA:

    Se ocupa de la enseñanza general (de la memoria, educación de la voluntad…), es el marco amplio donde nosotros nos desenvolvemos. La Educación intelectual: donde se enmarca la didáctica de las matemáticas y otras. La didáctica es una parte de esta pedagogía.

    3.3. RELACIÓN CON LA PSICOLOGÍA:

    El contacto didáctico, e decir, enseñar; se apoya o tiene una sólida base psicológica. Para enseñar que ver el desarrollo psicológico de los niños y en que momento se encuentra. Mientras la psicología lo estudia en cuanto a proceso interior de la mente buscando el conocimiento para saber cómo y cuándo está preparado el individuo para recibir ese conocimiento. Un niño alanza su madurez lectora a los 6 años.

    3.4. METODOLOGÍA:

    Es la ciencia que se ocupa de los caminos para llegar a la verdad. Esta verdad puede ser desconocida:, algo nuevo, los métodos que tenemos son los de investigación; si es conocida: puede ser conocida solamente por el P y quiere transmitirla dando lugar a los métodos de enseñanza o sea conocido por el A y quiera aprenderla: los métodos de estudio, técnicas de trabajo.

    MÉTODOS DE ENSEÑANZA: en Matemáticas existen tres ejemplos: la unidad didáctica de las matemáticas es una consumidora de estos métodos:

    • TRADICIONAL o clase magistral: fundamentalmente consiste en que el P lanza conocimientos y el A toma notas de esos conocimientos.

      • Ventajas la más importante es la rapidez. Esta enseñanza se puede enriquecer con la base o utilización de medios audiovisuales.

      • Inconvenientes centra la actividad en el P; el A es una persona pasiva (copia apuntes) y está poco motivado. Los apuntes tomados sirven para distanciarse en el momento que copias para el examen hasta que estudias.

    El libro de texto es fundamental en Primaria pero o un libro sino varios, es decir, manejar diferentes libros del mismo tema. El libro no debe ser el P de la clase sino que como P debe saber que parte dar, cual no, cual debe saltarse, cual volver más tarde…Debe haber apuntes.

    • ENSEÑANZA PROGRAMADA: en España fue un filón para las editoriales. Esta enseñanza nace en zonas rurales del Norte de América para enseñar a distancia basada en dos leyes:

      • “Ley del esfuerzo”: el aprendizaje se refuerza cuado es seguido de un esfuerzo agradable.

      • “Ley del ejercicio”: el aprendizaje se refuerza cuando se utiliza, es decir, con el ejercicio

    Estas leyes motivaron esta enseñanza debida a que había una serie de cuestiones: con pequeñas informaciones ibas haciendo las cuestiones y te ibas al final donde te ponían al final ya que continuabas o si la tenías mal, tenías información complementaria para ser comprendida.

    INFORMACIÓN Y EJERCICIO: RESULTADO (en función de esto, ibas hacia delante o repetías)

      • Ventajas en que la actividad de la clase se centra en los niños (autoaprendizaje). Para que funcione bien debe hacerla el profesor para algunos temas.

      • Inconvenientes lentitud, engorroso y exige mucho trabajo al profesor.

    • TRABAJO EN GRUPO: exige muchas cuestiones previas. se pone un tema por parte del P o cuestión:

    1º Montar grupos mixtos que vivan próximos y que todos posean a algún A de elevado nivel.

    2º Dar una clase de orientación para evitar que el A haga lo que quiera (material, bibliografía, hablar del tema…) para que hagan lo pedido. Como presentar el tema.

    3º Dejar que el A trabaje. Una vez terminado se reparte el trabajo a diferentes grupos y que se hagan preguntas entre ellos. Así todos se organizarán para que todos respondan de ese trabajo.

    4º Clase final de recopilaciones de los trabajos.

    • Ventajas todas; aprender a presentar trabajos, buscar información, a relacionarse con los demás…

    • Inconvenientes lentitud (por ello hacerlo para algunos temas específicos del grupo)

    • ORGANIZACIÓN ESCOLAR: trata de cómo se organizó la clase/aula (distribución, A, asignaturas, horario…), es decir, organizar todo a la realidad escolar y sujetarlo a los currículos escolares de manera que se tenga en cuenta esa organización.

    • ANÁLISIS DEL CURRÍCULO ESCOLAR:

  • PLANIFICACIÓN Y DESARROLLO CURRICULAR:

  • ¿Qué organismnos intervienen en lo qué estudiar y como se organiza?

    Existen tres instancias o niveles:

    NIVEL 1: (persona jurídica) puede ser el Ministerio de Educación y Ciencia (M.E.C) o la Consejería de Educación de cada Comunidad Autónoma.

    Ellos dan o crean un documento:

      • Decreto de mínimos (MEC): es el documento más importante. sirve para evitar que las comunidades autónomas hagan lo que quieran.

      • Desarrollo Curricular Base (Comunidades Autónomas)

    En estos documentos, que son generalistas, aparece el qué dar (contenidos y objetivos por áreas); cuándo darlo (distintas etapas de la enseñanza: Infantil- Primaria y Secundaria); y como dar o enseñarlos (orientaciones metodológicas y unos criterios de evaluación muy amplios).

    NIVEL 2: (Centro escolar) está formado por:

      • El Consejo Escolar: donde aparece la participación de todos los estamentos (padres, profesores, alumnos, representantes de alumnos, personal de servicio…). Son los encargados de elaborar el Proyecto Educativo del Centro, que se centra más en la organización del centro, nº de alumnos por aula, y cursos por cada etapa.

      • El Claustro de Profesores (órganos colegiales): se encargan de realizar el Proyecto Curricular el centro (profesores): los objetivos y contenidos se desglosan por área y por curso; se secuencian, se temporalizan; se elige el texto (editoriales); elección de materiales y dar criterios de evaluación.

    NIVEL 3 ( la clase) el tema es elaborado por el profesor o equipo de estos. A esto se le lama Programación de Aula: los contenidos están desglosados al máximo (en mese, semanas e incluso días).

    4.2 EL CURRICULUM DE MATEMÁTICAS EN PRIMARIA:

    Los objetivos pueden ser generales y específicos.

    • OBJETIVOS GENERALES: pueden ser:

      • Formativos: dirigidos a desarrollar la capacidad intelectual

      • Funcionales: dirigidos a aplicar esos conocimientos a la vida diaria. En didáctica se le llama “contextualix¡zar” esos conociinetos.

      • Instrumental: aplicación de esos conocimentos matemáticos en otras disciplinas (física, química, geografía…) todo lo que se puede materializar.

    • OBJETIVOS ESPECÍFICOS: pueden ser:

      • Utilizar el conocimieto matemático para interpretar y valorar informaciones.

      • Reconocer en el medio habitual problemas que requieran operaciones de cálculo, formularlos y resolverlos.

      • Utilizar instrumentos sencillos de cálculo y de medida (calculadora, escalas, metros…).

      • Elaborar estrategias de estimación y de cálculo mental.

      • Identificar formas geométricas y saber sus propiedades.

      • Utilizar técnicas de recogida de datos y saber representarlos gráfica y numéricamente (tablas). Estos datos se interpretan.

    CONTENIDOS: tres aspectos a considerar. Es lo que tenemos que enseñar:

    • CONCEPTUALES: junto a ellos encontramos las preconcepciones a cerca de estos conceptos.

    • PROCEDIMENTALES: desarrollo de unas destrezas, técnicas, estratégias y métodos.

    • ACTITUDINALES: a desarrollar (perseverancia, cooperación, orden, limpieza…)

    TEMARIO DEL M.E.C:

      • Nº y operaciones

      • Instrumnentos y unidades de medidas

      • Formas geométricas en el plano y en el espacio

      • Organización de la información

      • Resolución de problemas

    TEMARIO DE LA JUNTA DE ANDALUCÍA:

      • Números

      • Sistema de numeración

      • Operaciones

      • Medidas y magnitudes

      • Geometría

    CRITERIOS DE EVALUACIÓN:

  • Adecuada utilización de los conocimentos matemáticos para resover hechos y situaciones.

  • Si estiman, verifican e interpretan correctamente los resultados.

  • Si han adquirido nociones claras y estables.

  • Si saben expresarse y comunicar las ideas matemáticas utilizando correctamente los símbolos.

  • Su capacidad para resolver problemas y elaborar estrategias.

  • su actitud, su grado de participación y su curiosidad.

  • TEMA 2: PROBLEMAS ARITMÉTICOS EN PRIMARIA:

    1. INTRODUCCIÓN

    2.- PROCESOS DE LOS PARENDIZAJES DE LOS CONCEPTOS ARITMÉTICOS.

    3.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

    4.- PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE ESTRUCTURA ADITIVA (SUMA Y RESTA)

    5.- PROBLEMAS DE ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA (MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN)

    1.- INTRODUCCIÓN

    Las situaciones problemáticas han de ser inicio de la enseñanza. Esto supone que, en aritmética, no se planteen operaciones aisladas, sino que aparecen como resultado del planteamiento de un problema.

    Abordaremos las fases y características de la resolución de problemas, analizando los problemas aritméticos tanto de naturaleza aditiva como multiplicativa y estudiando su clasificación, las distintas estrategias para resolverlos y las dificultades que se presentan.

    Como cuestión previa, vamos a analizar algunas teorías sobre los procesos de aprendizaje de los conceptos matemáticos.

    2.- PROCESOS DE LOS PARENDIZAJES DE LOS CONCEPTOS ARITMÉTICOS:

    Analizaremos la aportación de estudiosos (psicólogos y matemáticos) como Piaget, Dienes, Haeckel, Bruner y Mialaret.

    • PIAGET:

    Fue el primero que indicó que la formación de un concepto matemático es una fase larga que se desarrolla en tres etapas que no se encuentran perfectamente definidas y además no se encuentran ligada a una edad cronológica determinada:

      • Juego Actuamos de forma inconsciente, jugando con los elementos del concepto mucho antes de entender el significado o su utilidad. Ej: niño que aprende a hablar y dice sílabas sueltas (pa, ma,..).

      • Estructural Aquella en la que descubrimos que nuestras experiencias tienen sentido, es decir, que pueden encadenarse en un todo significativo. Ej: niño que encadena sílabas y forma palabras que forma sentido (papá).

      • Comprensión Es aquella fase en la que se fija en nuestra mente una clara imagen y sentimos que comprendemos.

    Inmediatamente a esta fase surge un periodo en el cual relacionamos este concepto de nueva adquisición con los anteriores. Este hecho sirve para enraizar este concepto. Ej: el niño aprende que papá es una persona.

    Este proceso tiene una clara incidencia didáctica, pero ha de repetirse y recordarse para terminar su adquisición.

    • DIENES:

    Enuncia una serie de principios:

    - PRINCIPIO DINÁMICO Nos dice que la actividad es la pieza básica en la formación de un concepto (“si el niño no es activo, no aprende”). La actividad se concreta en tres tipos de ejercicios:

    • Ejercicios Preliminares: comienzo (sin conocer finalidad).

    • Ejercicios Estructurados: orientación del profesor.

    • Ejercicios de Prácticas: repaso del concepto una vez aprendido.

    Cada uno de estos tipos de ejercicios está relacionado con cada una de las fases de Piaget:

      • Juego Ejercicios Preliminares

      • Estructural Ejercicios Estructurados

      • Comprensión Ejercicios de Prácticas

    Además, los materiales vienen determinados para cada tipo de ejercicios en los cuales va aumentando la complejidad desde los preliminares hasta los prácticos.

      • Ejercicios Preliminares materiales concretos (físicos)

      • Ejercicios Estructurados los anteriores se sustituyen por otros materiales que los representan objetos simples (fichas, recortes…)

      • Ejercicios de Prácticas se usan símbolos números.

    - PRINCIPIO DE LA CONSTRUCTIVIDAD (Dienes “La construcción de las Matemáticas). Históricamente, el pensamiento matemático ha progresado partiendo de la intuición y llegando al pensamiento deductivo.

    El rigor matemático completo no se consigue hasta hace 150 años.

    Puesto que nuestros alumnos no han hecho nunca las construcciones que debe preceder a un trabajo lógico, hay que procura que, en su mente, se hayan construido las verdaderas matemáticas y, después, indagar cuándo y cómo pueden participar en una discusión lógica.

    Dienes observa que en la historia aparecen dos procesos: INTUICIÓN Y CONSTRUCCIÓN (para lo que es necesaria la demostración).

    Esto surge porque en la vida las cosas se encuentran de forma incompleta.

    Primero hay que intuir y después demostrar, es la única forma de construir el conocimiento matemático. (No deben utilizarse demostraciones antes de los 12 años).

    - PRINCIPIO DE VARIABILIDAD MATEMÁTICA En aquellos conceptos matemáticos donde aparezca más de una variable, han de estudiarse con experiencias en las que intervenga el mayor número posible de dichas variables, para hacer que el niño escoja lo que permanece invariable de todo lo que se le presenta.

      • PRINCIPIO DE VARIABILIDAD PERCEPTIVA Para adquirir un concepto debemos utilizar todos los materiales que se encuentren a nuestro alcance para que, de esta forma, intervenga e mayor número de sentidos para abstraer dicho concepto.

    • HAECKEL:

    Enuncia la LEY BIOGENÉTICA según la cual, la evolución de los conocimientos matemáticos se produce en nuestro interior de una forma muy similar y paralela a su evolución histórica.

    Haeckel escoge un concepto y estudia su evolución y, para enseñarlo, usa una manera paralela a la evolución de dicho concepto.

    De forma didáctica hemos de adecuarnos a la evolución histórica del concepto a la hora de introducirlo (se usará la medida por pies, por cuartas…).

    • BRUNER:

    Su aportación es pequeña. “Cualquier conocimiento pasa por tres fases”:

      • Etapa Activa relacionada con los materiales concretos (manipulación).

      • Etapa representativa relacionada con los objetos simples.

      • Etapa Simbólica relacionada con los símbolos.

    • MIALARET:

    Trabaja en el concepto de OPERACIONES en diferentes fases:

  • ACCIÓN REAL: en ella se manipulan los objetos concretos (físicos). Ej: 3 caramelos + 2 caramelos.

  • ACCIÓN + LENGUAJE: el niño cuanta lo que está haciendo en ese momento. Ej: tengo 2 caramelos y 3 caramelos, y cuando los junto, tengo 5.

  • CONDUCTA DEL RELATO: el niño cuenta en pasado lo que hizo, pero sin hacerlo en ese momento.

  • Esta forma de actuar se integra dentro de la conducta del gesto (similar que hace algo pero sin hacerlo).

    Tiene como finalidad que, auque los niños lo cuenten de forma diferente, el resultado sea el mismo.

  • ACCIÓN + OBJETOS SIMPLES: los objetos concreto s que aparecen en los problemas a veces no se tienen a mano. Tras trabajar mucho con los objetos concretos llega un momento en el que se pueden sustituir por objetos simples, lo que supone una primera abstracción.

  • TRADUCCIÓN GRÁFICA: se pasa a otra forma de expresión: el dibujo, que puede ser desde esquemático a muy detallista.

  • TABLA SIMBÓLICA: se manejan los símbolos, las acciones se sustituyen por símbolos, apareciendo los resultados como equivalencias torales. Ej: si tengo 2 caramelos y me regalan 3 ¿Cuántos tengo? 2 + 3= 5.

  • Este método no ha de seguirse estrictamente, sino que puede pasarse de unas fases a otras hasta comprender el sentido de una operación.

    3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

    3.1. ¿QUÉ SON LOS PROBLEMAS?

    El término problema se define, en un sentido amplio, como aquella tarea a la que una persona se enfrenta y desea o necesita encontrar una solución sin poseer un procedimiento accesible y fácil para encontrarla y, como consecuencia, realiza distintos intentos.

    Un verdadero problema es aquel que resulta motivador para el niño.

    3.2. DIFICULTADES EN LA REALIZACIÓN DE PROBLEMAS:

    Las dificultadas giran alrededor de 2 puntos:

  • LA COMPRENSIÓN DE LAS OPERACIONES:

  • Cuando planteamos un problema el profesor se supone que el niño sabe la operación y eso no siempre es así, porque el niño no conoce las operaciones desde un punto de vista cognitivo (semántico) sino desde un punto de vista simbólico (sintáctico).

    << ¿QUÉ ACTIVIDADES PODEMOS HACER PARA QUE EL NIÑO ENTIENDA LAS OPERACIONES DESDE UN PUNTO DE VISTA COGNITIVO? >>

      • Escenificar una situación matemática y que el niño enuncie el problema y busque la solución. Ej: escenificar el problema con alumnos de clase.

      • Estimación previa de resultados, es decir, decir más o menos cuánto va a dar el problema. Tiene que ver con la capacidad de cálculo de los niños por lo que debe estar adaptado a su nivel.

    Se puede hacer de dos maneras: sin darle la solución o dando varias para que elija la que crea correcta.

      • Dada la situación inicial y una final, descubrir la transformación que se ha realizado y expresarlo aritméticamente. El niño debe ser capaz de enunciar el problema e identificar la operación.

    Ej:

    La solución del problema debe ser codificada, es decir, no un número sólo. Ej: 6 - 2 = 4 manzanas quedan en el árbol.

      • Lectura de operaciones: dad una operación, escribir su significado sin utilizar el nombre ni el signo de ésta; calcular su resultado e inventar un problema que se resuelva con dicha operación. A todo este proceso se le denomina LECTURA SEMÁNTICA (entender lo que se lee). Ej: 4€ x 2 = el doble de 4€. Tenemos 4€ y nos dan otros 4€…

      • Dictado de operaciones: EXPRESIÓN SINTÁCTICA. Ej: la mitad de la suma de mil y dos mil - 1000 + 2000 = 3000 ; 3000/2 = 1500

    Debemos enseñarle al niño que ayuna serie de reglas, es decir, si queremos sumar y después dividir, hay que usar paréntesis (1000 + 2000) /2 = 1500.

      • Escribir operaciones equivalentes a una dada. Ej: 4€ x 2 = 4€ + 4€

      • Completar operaciones averiguando los términos o símbolos que faltan. Ej: le damos al niño el siguiente esquema.

    Ej: El niño deberá ir explicando cada una de las operaciones:

    Alquiler mensual por persona: 2 euros por 12 meses = 24 euros al año.

    Alquiler + cuota anual por persona = 24 euros + 50 euros = 74 euros al año.

    Importe total = 74 euros por 4 personas = 296 euros a toda la familia.

  • LA COMPRENSIÓN DEL ENUNCIADO:

  • En las matemáticas se utiliza una forma de hablar poco cotidiana, con el objetivo de que las preguntas sean precisas, objetivas y concisas, es decir, que se entienda con pocas palabras.

    Debido a la escasa capacidad lectora de los alumnos de primaria, estas expresiones en muchos casos no se comprenden y esto da lugar a errores.

    Las dificultades que los niños encuentran a la hora de comprender el enunciado varían dependiendo de:

      • Cómo se exprese la relación entre datos e incógnitas y el orden de aparición de estos datos. Ej: no es lo mismo: “pierdo 3 y tengo 5” que “tengo 5 y pierdo 3”.

      • La prioridad de los números sobre las palabras. Ej: 3 caramelos y 2 caramelos: los niños ven los datos rápidamente

      • El uso de palabras claves (no siempre es buena idea). Ej: Juan tenía 3 caramelos y su padre le dio 3 más. El niño se acostumbra a buscar palabras claves lo cual no está bien; lo que se pretende es que el niño comprenda la situación y entienda el problema.

      • Las dificultades de vocabulario y sintácticas. Hay que utilizar palabras adecuadas al nivel de los alumnos y magnitudes que conozcan. Los problemas deben ser cortos o, si es largo, repartirlo en apartados más pequeños.

    3.3. DISTINTAS FORMAS DE PLANTEAR UN PROBLEMA:

    En un problema aparecen 4 partes diferentes:

      • Enunciado

      • Esquema

      • Cálculo

      • Respuesta

    Hay distintas formas de representar un problema:

    ENUNCIADO

    ESQUEMA

    CÁLCULO

    RESPUESTA

    1

    X

    X

    X

    3 DATOS

    2

    X

    X

    X

    3

    X

    X

    X

    4

    X

    X

    X

    5

    X

    X

    2 DATOS

    6

    X

    X

    7

    X

    X

    8

    X

    X

    9

    X

    X

    10

    X

    X

    11

    X

    1 DATO

    12

    X

    13

    X

    14

    X

    15

    NINGÚN DATO: EJ: HAZ UN PROBLEMA DE MULTIPLICAR

    NO DATOS

    3.4. ERRORES MÁS FRECUENTES EN LOS PROBLEMAS:

    Según Newman, los errores más frecuentes están motivados por:

  • Pregunta ambigua

  • capacidad lectora: reconocimiento de palabras y de signos

  • en función de la comprensión, que puede ser de carácter general, de símbolos o de términos matemáticos (dobles, tercios…)

  • selección del proceso matemático (que el niño equivoque la operación que debe realizar

  • dominio de la operación

  • expresión correcta de la respuesta (codificación)

  • falta de estímulos, interés o atención.

  • Algunos pertenecen a los alumnos pero otros al profesor.

    3.5. PASOS A SEGUIR EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

    1. Leer el problema hasta que el alumno se lo sepa “de memoria”

    2. Presentar el problema de forma esquemática

    3. Ver qué datos conocemos y qué datos queremos conocer

    4. Pensar qué pasos y conceptos necesitamos

    5. Expresarlo con las operaciones oportunas

    6. Estudiar el resultado si es correcto o lógico

    7. Comprobar el resultado cuando sea posible

    8. Redactar una frase para la respuesta obtenida

    Ej: ¿CUÁNTO MIDE UN TREN SI LA MAQUINA MIDE 12 METROS Y SI CADA UNO DE SUS 3 VAGONES MIDE 10 METROS?

  • El niño pondrá diferentes combinaciones, por ello los procesos que debemos hacer es que el niño lea el problema y al menos o entienda o que pueda decirnos que dice el problema (sepa decirlo con sus propias palabras) PENSAR EN EL PROBLEMA.

  • A continuación lo mejor es hacer una representación gráfica del tren. Ya tiene la imagen de lo que quiere REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PROBLEMA.

  • En un problema de matemáticas o que importa no son los números sino los procesos, por ello el problema no está compuesto por números sino también y fundamentalmente por palabras que sirven para formar este problema.

  • La respuesta final debe venir representada por una frase que contraste el resultado o respuesta del problema. Debemos pensar en la respuesta.

  • 3.6 CRITERIOS DE EVALUACIÓN DE LOS PROBLEMAS:

    Lo que queremos es que el niño comprenda, son los procedimientos, no el resultado.

      • Comprensión lectora (pasar de letras escritas a enterarse de lo que pasa)

      • Representación

      • Expresión semántica (si ha atendido el problema. Aspectos cognitivos)

      • Expresión sintáctica (si ha escrito correctamente las operaciones)

      • La utilización o no del tanteo “por la cuenta de la vieja”

      • Destreza procedimental (si el problema está desmenuzado con todos los pasos a seguir

      • Comprobación (si lo ha hecho o no)

      • Si está bien codificada la respuesta (no números sueltos)

      • La corrección de la respuesta (si es correcta o no)

    Por todo esto debemos tener en cuenta esos puntos y no sólo el resultado.

    3.7. PROBLEMAS QUE APARECEN EN LA ENSEÑANZA PRIMARIA:

    % PROBLEMAS ESTÁNDAR: comunes en los libros de texto). Estos problemas suelen introducir algunas operaciones con los nº naturales y normalmente son problemas de aplicación de fórmulas. Por ejemplo en el campo de la geometría después de darte los datos y las incógnitas; y se pregunta cual es el área y debemos aplicar la fórmula.

    Junto a estos problemas empiezan a aparecer en los libros de texto otros llamados PROBLEMAS DE PROCESOS. Éstos requieren el uso de estrategias no algorítmicas (no aplicación de una fórmula) y que, además pueden tener varias formas de resolverse. Son problemas más motivadores y además permite la discusión en clase.

    Ej: en una clase hay 4 persona. Entre ellas se saludan dándose la mano. ¿Cuántos saludos se hacen?

    3.8. PASOS A SEGUIR PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

    PLOYA “como plantear y resolver problemas”

    GARCÍA JIMENEZ ”ideas, pautas y estrategias para la resolución de problemas”

    Estos dos autores dan diferentes formas de enseñar problemas a los alumnos y lo hacen en diferentes fases:

  • COMPRENSIÓN DEL PROBLEMA: hacer que el niño se entere del problema y que sea capaz de repetir el problema con sus propias palabras y capaz de comprender la situación que aparece. Para ello sugieren:

      • Leer el problema despacio

      • Ver cuáles son los datos

      • Cuál es la incógnita (lo que busca)

      • Ver que relación existe entre la incógnita y los datos.

      • ¿Sobran datos? Es importante dar más datos de los necesarios para que el niño escoja los más importantes o necesarios.

      • Hacer un esquema que representa la situación.

  • IDEAR UN PLAN O UNA ESTRATEGIA: (cómo se debe tomar el problema). Puede ser escogida colectivamente. para ello debemos:

      • Debemos pensar si existen parecidos con problemas anteriores

      • ¿Podrías plantear ese problema de otra manera distinta?

      • Imaginar otro problema parecido pero más sencillo (si los nº son grandes, hacerlos más pequeños); (tras problemas resuelto hacerlo al contrario

      • ¿Utilizas todos los datos cuando utilizas el plan?

      • EJECUTAR EL PLAN: o llevar a término el Plan:

          • Comprueba cada uno de los pasos

          • ¿Puedes ver que cada uno de os pasos que das es correcto?

          • Antes de dar un paso pregúntate ¿Qué consigo con esto?, es decir, no calcular por calcular.

          • Acompaña cada paso de una explicación con lo que haces y para qué lo haces (es importantísimo)

          • Cuando tropieces con alguna dificultad que te bloquee rompe con lo que estas haciendo y vuelve al principio.

      • MIRAR HACIA ATRÁS: comprobar si la solución obtenida parece buena, lógica o adecuada. Para ello debemos:

          • Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que pedían es lo que se ha averiguado.

          • Fijarse en la solución y comprobar si parece lógica.

          • Comprobar la solución si es posible.

          • ¿Habrá algún otro modo de resolver ese problema?

          • ¿Puede existir alguna otra solución distinta?

          • Acompañar siempre la solución de una explicación que explico lo que se ha encontrado, es decir, las matemáticas no son solo nº sino pensamientos que hay que contrastar con palabras.

        3.9. ANÁLISIS DE ALGUNAS ESTRATEGIAS EURÍSTICAS: (para resolver problemas):

        Son estrategias que se salen de lo común de una formula.

      • DERIVAR DE UN PROBLEMA A UNO MÁS SENCILLO:

      • Ej: Unos granjeros almacenan heno para 59 días. Sin embargo, el heno almacenado era de mejor calidad de lo que pensaban por lo que ahorraron 113 kg por día; y tuvieron para 73 días. ¿Cuántos kg de heno almacenaron?

          • Este problema podemos derivarlo a otro más sencillo, con cantidades más bajas y con una situación más cotidiana para el niño.

        Ej: En una casa compraron pan para 6 días. Sin embargo, esa semana tuvieron menos apetito y ahorraron una barra de pan diaria. Por lo que tuvieron para 9 días. ¿Cuántas barras de pan compraron?

          • Debemos hacer problemas más sencillos que se encuentren dentro de la vida diaria del niño. Con palabras que no sean de dificultad para él…

      • HACER UNA TABLA Y BUSCAR PAUTAS:

      • Ver si hay una cadencia y se repite.

        Ej: ¿Cuántos cuadrados de diferentes tamaños de lado hay en un tablero de ajedrez?

          • Como el tablero tiene 8x8 cuadrados de lado, entonces las combinaciones posibles serán 1x1, 2x2; 3x3, y así sucesivamente hasta 8x8. si hacemos esas multiplicaciones y las sumamos obtendremos el número de cuadrados posibles (204).

      • EMPEZAR DESDE ATRÁS:

      • Dar el problemas resulto.

        Ej: “Juego del 31”: para dos personas. Un señor dice un nº menos de 31. El otro señor le suma una cantidad que vaya desde el 1 al 5. Los nº buenos son el 1, 7, 13, 19, 25.

        3.10. DESARROLLO DE UNA LECCIÓN PARA ENSEÑAR A RESOLVER PROBLEMAS:

        << ¿QUÉ TIENE QUE HACER EL PROFESOR PARA ENSEÑAR PROBLEMAS?>>

        1º.- Para enseñar problemas debemos tener un banco de datos, es decir, recopilar de los diferentes libros una amplia variedad de problemas. De cada problema tener un ficha y poner allí diferentes experiencias. El profesor debe hacer el problema de todas las formas diferentes posibles.

        2º.- Dar problemas al alumno y pensar en qué preguntas le vamos a hacer para que comprenda el problema y poder así ayudarle a su comprensión. Dar pistas para que descubra por sí mismo la solución.

        3º.- Diseñar la clase: la mejor forma de trabajar es dividir a los alumnos en grupos de 3-5 personas. Se les deja que trabajen y discutan entre ellos. Los grupos deben estar siempre bien montados y heterogéneos.

        El profesor se pasea por la clase y va animando al grupo en general con preguntas y sacando lo mejor de cada grupo; aunque también existen otras formas de abordar esta situación.

        Una vez que se ha discutido la estrategia, a continuación, de forma individual lo hacen.

        TEMA 4.- PROBLEMAS DE ESTRUCTURA ADITIVA:

      • ANÁLISIS GLOBAL DEL ENUNCIADO

      • LA ESTRUCTURA ADITIVA: ACCIONES Y OPERACIONES

      • CLASIFICACIOÓN DE LOS PROBLEMAS ADITIVOS

      • ESTRATEGIAS INFANTILES PARA LA RESOLUCIÓN D PROBLEMAS

      • LA ENSEÑANZA DE LOS PROBLEMAS ADITIVOS

      • 4.1. ANÁLISIS GLOBAL DEL ENUNCIADO:

        Todos los investigadores coinciden en que aunque no enseñemos a resolver problemas, todas las personas tienen unas estrategias innatas para resolver problemas, como por ejemplo, la utilización de los dedos.

        Estas estrategias se desarrollan mediante la enseñanza y el primer tipo de problema con el que nos encontramos son los de sumar y restar. Y no por ser los más fáciles resulta que haya que prestarle menos atención sino todo lo contrario ya que en estos debemos puntualizar las bases para problemas posteriores. Por ello debemos hacer las cosas bien desde el principio. Es más, corremos un peligro, ya que como vemos que son más faciles no entendemos que los niños no sepan hacerlo, es decir, el por qué se equivocan

        La contestación es que no son tan fáciles y hay muchas investigaciones que hablan de eso:

      • MIALARET Hizo una investigación muy extensa ---------------------

      • VERGNAUT Nos da 3 problemas que con igual operación son diferentes:

      • Hay 4 niños y 7 niñas alrededor de una mesa. ¿Cuántas personas hay en total?

      • Juan ha gastado 4 euros y ahora tiene 7. ¿Cuántos tenía?

      • Roberto jugó 2 partidas a las canicas. En la 1ª perdió 4, después jugó la 2ª y en total ha ganado 7 canicas ¿Qué pasó en la 2ª partida?

      • ESTRUCTURA ADITIVA (ACCIONES Y OPERACIONES):

      • Si analizamos los problemas anteriores (enunciados) distinguiremos varios tipos de palabras, unas que sirven para contextualizar los problemas, un 2º tipo de palabras que expresan relaciones y un tercer tipo de palabras que expresan acciones. Son palabras, en definitiva, que tienen algun papel matemático, se denominan palabras claves.

        De estas palabras se dividen en tres clases:

      • Propias de la terminología matemática. Ej: 3, 4,… se refieren a números.

      • Las que expresan relaciones (más que, menos que, triple, doble…)

      • Las que expresan acciones (unir, juntar, añadir, encontrarse, perder, regalar, quitar, encontrar…); cosas que suceden en la vida cotidiana.

      • La estructura aditiva es una estructura conceptual(conjunto de conceptos) en la que se internan todas aquellas acciones distintas que conducen a dos operaciones (sumar y restar), es decir, que éstas acciones se pueden agrupar en causas que conducen a un aumento o una disminución, de manera que esas acciones de aumento se integran en la operación suma al igual que las que disminuyen que se unen a la resta.

        Lo que ocurre en éstas acciones es que hay algunas que tienen que ver con reunir y todas las que se parecen; y otras con añadir y todas las que se parecen pero que son diferentes. Ya que la de reunir es una acción estática y la de añadir es dinámica.

        En la de reunir o estática, (son más fáciles para el niño que la dinámica), y todas las que se le parecen; los sumandos se encuentran a la vez

        y la dinámica de añadir hay 1º un sumando y se le ve una acción después (tengo tres caramelos y me encuentro 4), es decir, hay un primer momento y luego un segundo momento.

        Esto tiene por detrás un componente matemático (2+3) se le hace corresponder un número (7). A esto se llama Aplicación de N x N en N.

        Ej: tengo dos pantalones y tres camisas, si los junto tengo diferentes formas de vestir. Tendré diferentes combinaciones.

        Es decir, este símbolo N x N, se refiere a parejas de números, y lógicamente que a la pareja 3-4, le corresponda 7. Es una propiedad conmutativa ya que se puede poner así también 4 · 3= 7.

        En cambio cuando veo la operación de forma dinámica: tengo tres caramelos y gané 4 a esta operación de sumar cuatro es una función

        existiendo también una operación inversa, es decir, restar 4.

        Como consecuencia de esto, las operaciones dinámicas son más difíciles que las estáticas.

        En el caso de la RESTA, casi todas sus acciones de restar son acciones dinámicas por ello tiene un nivel de dificultad más elevado. Hay una estática: en la clase hay 25 sillas ocupadas y libres hay cinco. Por ello también será de las estáticas pero en mayor número de las dinámicas.

        4.3 CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS ADITIVOS:

        % NESHER clasifica los problemas atendiendo a diferentes puntos de vista:

        1.- A LA COMPONENTE SINTÁCTICA: (la letra). La longitud del enunciado, la complejidad gramatical, el orden en que aparece la información y vocabulario utilizado influyen en las dificultades, existiendo correlación entre capacidad lectora y capacidad para resolver problemas. Cuando tengo dos cuestiones (A y B), se establece un índice que va desde 0-1, a esto se le llama, correlación. Será positiva si va desde 0`5 hacia delante. Por eso este autor dice que si el que mejorar los problemas mejor datos académicos tendrá.

        2.- TIPO DE SENTENCIA: en una positiva y otra negativa hay 6 tipos de sentencias:

        * Suma: - Te dan el primer sumando a + b = ¿?

        - Te dan el segundo sumando a + ¿? = c

        - Te pide cual es la suma ¿? + b = c

        * Resta: - Te dan el primer sumando: a -b = ¿?

        - Te dan el segundo sumando: a - ¿? = c

        - Te piden cual es la resta: ¿? - b = c

        Estas sentencias están clasificadas en diferentes niveles de dificultad.

        3.- SEGÚN LA ESTRUCTURA SEMÁNTICA: (lo que significa la letra). Se establecen un los siguientes tipos de problemas:

          • Problemas de combinación son aquellos en los cuales, la relación entre las cantidades se presentan de forma simultánea, es decir son problemas estáticos.

        Si esta relaciones de aumento, se denominan problemas de combinación de suma. Ej: tengo dos caramelos en una mano y tres en otra.

        Si la relación es de disminución, se denominan problemas de combinación de resta. Ej: hay 20 sillas y 15 alumnos ¿cuántas quedan libres?.

          • Problemas de cambio son de naturaleza dinámica, y son aquellos en los que aparece una cantidad inicial que se modifica en un segundo momento por otra cantidad.

        Esta modificación puede ser a más, lo que denominamos problemas de cambio- unión. Ej: Juan tenía ocho caramelos y le regalaron 2.

        La modificación puede ser más o menos, y se llaman problemas de cambio-disminución. Ej: Juan tenía ocho caramelos y perdió dos.

          • Problemas de comparación son aquellos en los que aparecen dos cantidades iniciales y se comparan entre ellas. Ej: Juan tiene ocho caramelos y María 3 ¿cuántos caramelos tienen más Juan que María? Esta problemas nos permiten comparar la relación " más que" y "menos que".

          • Problemas de igualamiento s el on aquellos en los que te dan un conjunto inicial, te dan la relación y que preguntan sobre el elemento final. Ej: Juan tiene siete caramelos hoy y tiene tres más que ayer, ¿cuántos tenían ayer?

          • Problemas híbridos son aquellos que no se pueden encuadrar en ninguno de los anteriores.

        Ocurre en un mismo problema se puede resolver utilizando estrategias diferentes, por ejemplo: Monseñor va a una tienda y se gasta 7 euros; le dará dependienta un billete de 20 €. ¿Cuánto le devuelven?

        A medida que los alumnos van creciendo, van cambiando las estrategias para resolver problemas.

        El profesor debe clasificar los problemas en función de las distintas estrategias que hay para resolverlas.

        En este sentido, CARPENTES, hace otra clasificación de los problemas en función de la estrategia que se utilizan para su resolución:

      • NIVEL DE MODELACIÓN DIRECTA ELEMENTAL:

      • para este nivel establece dos problemas:

          • Uno tiene que ver con la SENTENCIAS CANÓNICAS DE LA SUMA, la respuesta es desconocida y la estrategia más elemental para resolverlo es la de vnir. Ej: rocío tiene tres pasteles y su hermana le dio 4 ¿cuántos tiene?

          • El otro tiene que ver con la SENTENCIA CANÓNICA DE LA RESTA, la respuesta es desconocida. Usa la estrategia elemental de separación. Ej: tenía cuatro pasteles y se comió dos ¿cuántos le quedan?

      • NIVEL DE MODELACIÓN DIRECTA:

      • Para este nivel establece dos tipos de problema:

          • Problemas de cambio desconocido: usa la estrategia de añadir hacia delante. Tiene que ver con la sentencia a + ¿?= c ej: Juan tenía cinco caramelos, suma de le dio algunos más y al final tenía ocho caramelos ¿cuántos le dio su madre?

          • Problemas de comienzo desconocido: usa la estrategia del ensayo-error y la sentencia con la que tiene que ver es ¿? - B = C. el alumno da aprobando hasta la cola solución. Ej: había unos niños en el parque, seis regresaron a su casa y quedaron ocho niños ¿cuántos había principio?

      • NIVEL DE CONTAR Y TRANSFORMAR:

      • La sentencia utilizada es C + B = X, la estrategia que usa el niño en este nivel es la de contar hacia delante. Ej: en el caso del problema anterior, cuentan los ocho que había ido a sumando los hoy que se fueron.

      • NIVEL DE HECHOS NUMÉRICOS:

      • Es un nivel en el que el niño usa directamente la operación sin pagarse pensar. La sentencia es la misma C + B = X , pero se ha comprendido del problema y es capaz de realizar los directamente. Ese nivel más avanzado en la resolución de problemas, pero ese nivel en el que más veces se equivoca el niño ya que sólo usa la tabla de la operación. Si se equivoca, hay que volver hacia atrás y hacer que piense en la solución.

        TIPO DE PROBLEMA

        SENTENCIA

        ESTRATEGIA

        NIVEL DE MODELACIÓN DIRECTA ELEMENTAL

        SENTENCIA CANÓNICA DE LA SUMA

        A + B = ¿?

        UNIR

        SENTENCIA CANÓNICA DE LA RESTA

        A - B = ¿?

        SEPARAR

        NIVEL DE MODELACIÓN DIRECTA

        PROBLEMA DE CAMBIO DESCONOCIDO

        A + ¿? = C

        AÑADIR

        PROBLEMAS DE COMIENZO DESCONOCIDO

        ¿? - B = C

        ENSAYO-ERROR

        NIVEL DE CONTAR Y TRANSFORMAR

        C + B = X

        CONTAR

        NIVEL DE HECHOS NUMÉRICOS

        C + B = X

        TABLA DE OPERACIÓN

      • ESTRATEGIAS INFANTILES PARA RESOLVER PROBLEMAS:

      • Existen dos métodos de investigación para estudiar las estrategias infantiles:

        • MÉTODO CRONOMÉTRICO:

        Mide el tiempo de reacción ante dos tipos de tareas:

        - Tareas de producción se escriben una serie de operaciones y se cronometra cuánto tardan niño en hacerlas.

        - Tareas de verificación se escriben una serie de operaciones resueltas y se cronometra cuánto tardan niño en decir si es verdadera o falso.

        Con este método se ha descubierto:

          • Que cuánto más grande sea la suma, mayor será el tiempo de reacción; en lo que llamamos "efecto tamaño". Ej: 6 + 3 (más difícil); 7 + 1; 4 + 3 (más fácil)…

          • Que los dobles están fuera de la del anterior, lo que llamamos "efecto ligadura", es decir, de la del anterior están excluidos los dobles. Ej: 4 + 4 = 8, el niño lo hace más rápido que 2 + 3 = 5, aunque la suma sea mayor.

          • Lo que llamamos el "efecto mínimo" a igualdad de suma, el tamaño del menor de los sumandos influye en el tiempo de reacción. Ej:3 + 4; “+ 5; 1+6 lo más fácil sería la tercera porque el menor número de todos lo sumandos es el 1.

        Ej: tiene relación con el tiempo de reacción. Ésta regla para permitir enseñada sumaria resta contar con los dedos.

        • MÉTODO CLÍNICO O DE ENTREVISTAS:

        Se le ponen una serie de preguntas o pruebas alumno y se le pregunta como lo ha hecho, no el resultado que ha tenido.

        Es un método más subjetivo por lo que es más difícil de aplicar. Con este método se ha descubierto:

          • En primer lugar, los niños utilizan para resolver problemas los objetos:

            • Objetos concretos los que vienen en el problema (canicas, caramelos...). Se les denomina contadores unitarios preceptivos.

            • Objetos simples objetos que sustituyen a los anteriores (fichas, piedras…). Se les denomina en contadores unitarios figurativos.

          • El segundo lugar, uno o ambos sumandos se representan con los dedos y se denominan contadores unitarios motores.

          • En tercer lugar, el niño pasa efectuar recuentos mentales a veces acompañados con "voz baja".

          • En cuarto lugar, el niño utiliza hechos numéricos, es decir se duplicará tabla de la operación.

        En método clínico nos pone de manifiesto que el niño utiliza el recuento como estrategia. Esta forma de obrar no se puede quitar prohibiéndola, sino que hay que enseñar otras estrategias en la que no se utilice el recuento.

        Dentro del recuento existen distintos niveles de ubicación:

          • Recuento de todos en este recuento los dos sumandos se utilizan con los dedos, normalmente, no diferentes. Ej: un niño tenía tres caramelos (pone tres dedos en una mano) y quedan dos (40 objetos en la otra mano. ¿Cuántos tiene? El problema es que cuando uno de los dos sumandos pasa de 5 ya no sabe hacerlo.

          • Recuento sobre el primero el niño representa el segundo sumando con los dedos y empieza a contar desde el primero. Ej: poner los dedos y añade los tres caramelos.

          • Recuento sobre el mayor a partir del sumando más grande empieza a contar el otro sumando. Ej: representa con los dedos entre ido añade dos.

        La resta como tal es una operación que admite hacerlo de tres formas distintas, dando lugar a tres restas diferentes:

        CLASE DE RESTA

        SENTENCIA

        ESTRATEGIA

        EJEMPLO

        SUSTRACCIÓN PURA

        A - B = ¿?

        SEPARACIÓN

        Coge los que tenía y le quita los restantes. Aplica el hecho numérico.

        ADICIÓN COMPLEMENTARIA

        B + ¿? = A

        RECUENTO PROGRESIVO

        Tenía 7 y se comió 3; cuenta desde el más pequeño hasta llegar al más grande.

        SUSTRACCIÓN COMPLEMENTARIA

        A - ¿? = B

        RECUENTO REGRESIVO

        Tenía 7 y se comió 3; cuánto tengo que quitarle al grande para llegar al pequeño.

        La que más usa el niño es la adición complementaria, seguido de la sustracción pura y, en pocos casos, las sustracciones complementarias.

        Sino queremos que utilicen el recuento con los dedos a la hora de realizar la suma:

          • se enseña en primer lugar la suma de los dobles en éste orden: 2 + 2, 5+5, 4+4, 3+3, 1+1.

          • A continuación se utilizan la suma de los dobles pero añadiendo 1 a alguno de los sumandos. Tenemos que hacer que el niño piense en los dobles más cercanos. Ej: si decimos 2 + 3 el niño piensa en los dobles más cercanos por arriba o por abajo (2 + 2) + 1 o (3 + 3) - 1.

          • Después se usa los dobles más cercanos añadiéndole 2. Ej: 6 + 4 (4 + 4) + 2.

          • El cuarto paso que llegamos a cabo es el de pasar números de un sumando a otro para igualarnos, es decir, compensarlos. Ej: 6 + 3 5 + 4; 9 + 3 10 + 2.

        La compensación no siempre del más grande al más pequeño, puede ser al contrario hasta llegar al 10. Ej: 9 + 3 = a 10 + 2.

        Otra forma de enseñar a movilizar los dedos, es utilizan repletas en color.

        4.5. LA ENSEÑANZA DE LOS PROBLEMAS ADITIVOS

        En lo problema de estructura aditiva se da el primer contacto de los niños con los símbolos. Existen dos interpretaciones de los símbolos:

      • Los símbolos representan a una palabra: ej: "+" equivale a la palabra "más"; "-" equivale a palabra "menos". Sin enseñamos al niño a buscar estas palabras en los problemas los niño puede confundirse. Ej: un niño tiene ocho caramelos, pierde tres y luego pierde 2 + el niño piensa que es de sumar.

      • Los símbolos representan acciones:

      • Ej: un niño tiene tres caramelos y le agregan dos ¿cuántos tiene? Aquí vemos tres tipos de símbolos:

          • numéricos: lleva consigo la acción de coordinabilidad que da origen al concepto de número. ( 1, 2,3 uno, dos, tres).

          • De operaciones presentan toda la acciones que llevan a un operación. ( + más; - manos)

          • Igual (=) nos dice que tenemos que ejecutar la operación y nos da un resultado que es equivalente a la operación.

        A los niños les cuesta trabajo familiarizase con los símbolos, para ello hay diferentes actividades.

        Una de las más utilizadas es usar unas tarjetas divididas en tres montones: uno con los números, otro con los signos y otro con el igual. (También al tarjetas en blanco en el primer montón).

        Le pedimos al niño que escoja dos tarjetas del primero, una de segundo y otra del tercero. Ej:3 - 2 =.

        A continuación le pedimos al niño elabore un problema para esa operación, es decir, el niño pase de la estructura sintáctica al estructura semántica. Si usamos las tarjetas blancas: ¿? + 6 = 10 busca la tarjeta que falta.

      • LOS PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS:

      • Son problemas de estructura múltiple creativa. Podemos decir que en multiplicar y dividir hay dificultades muy diferentes. La multiplicación empieza en 2º igual que la división y llegan hasta 6º. Son muchos años donde se pueden observar distintos problemas.

        Los problemas de multiplicar que corresponden a una suma reiterada son más fáciles. Los de dividir que corresponden a un reparto también son los más fáciles.

        Clasificación de los problemas de multiplicar y dividir según los autores:

        • 1. MODELOS IMPLÍCITOS (FISCHBEIN): este señor en el caso de la MULTIPLICACIÓN nos dice que hay dos modelos: uno aquellos que corresponden a las relaciones simétricas y otros a los que corresponden a una relación asimétrica.

          • Simétricas problemas donde los dos factores se pueden intercambiar fácilmente. Ej: en una clase hay cinco baldosas y tres baldosas (da igual 3 X5 que 5X3. Con dos canicas y tres pantalones ¿cuántas formas de vestir a hay? 2X3; 3X2. Son más fáciles que las simétricas. Deben ser siempre iguales magnitudes.

          • Asimétricas: todas las demás situaciones. Ej: tres botellas por caja y cinco cajas. Cinco kilos a siete euros el kilo. Deben ser diferentes magnitudes. Son más difíciles que las simétricas.

        En el caso de la DIVISIÓN, todas las situaciones son asimétricas. Este autor dentro de esta clasificación hace dos apartados:

          • Modelos de reparto: son los problemas donde tenemos objetos y se divide en grupo. Ej: tengo 20 caramelos y los reparto entre cinco niños.

          • Modelos de cuotas o de medida: se da el número total de objetos y el número de objetos que hay en cada grupo. Y se pide número de grupos. Ej: tengo 20 caramelos y a cada niño le he repartido cuatro caramelos.

        • 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL o clasificación no distingue entre multiplicación y división:

          • VERGNAUT distingue los problemas de multiplicación y división en tres clases:

            • isomorfismo de medida: te dan dos conjuntos y que indican cómo están relacionados de manera que el aumento de 1 es el aumento del otro y viceversa, es decir, dos conjuntos relacionados proporcionalmente.

        Ej:

            • Problemas de productos de medida: dos conjuntos (los anteriores) y se establece un tercer conjunto, producto de los dos anteriores.

            • Problemas de proporciones múltiples: hay tres conjuntos relacionados en 2 a 2 por una determinada razón de proporcionalidad. Son problemas más difíciles que corresponden a 5º. o 6º

          • SCHUARTZ previamente establece tres tipos de magnitudes:

            • cantidades extensivas (E): corresponden a una magnitud simple. Ej: 8 kilos; 7 caramelos.

            • Cantidades intensivas (I): corresponden a una magnitud compuesta. Ej: 6 euros el kilo;12 botellas por caja; 80 km/h...

            • cantidades escalares (S): no tiene magnitud. Ej: doble, triple...

        Existen seis tipos de problemas que se pueden plantear:

          • S X S = S. Ej: doble de tres. Es el tipo más fácil

          • S X E. Ej: tenía 4 caramelos y el padre le dio el doble.

          • S X I. ej: dos euros el kilo de manzanas y los subió al doble. Es un problema un poco más difícil.

          • E X E = E. ej: tiene 8 kilos de manzanas + 3 kilos de plátano.

          • E X I = E. ej:8 kilos de manzanas por 2 euros el kilo. ¿Cuántos euros serán?. Son los problemas más difíciles.

        • 3. ANÁLISIS DEL TEXTO: (NESHER) lo que importa es el texto del problema que define la operación, lo que tenemos que ver en un problema de multiplicar o dividir es analizar el texto. Este autor lo divide en tres tipos:

          • problemas que definen una relación: en los que aparece la palabra I; E X I; I X I.

          • problemas que corresponden a una medida (producto cartesiano) son los que aparece la letra E. (E X E).

          • Problemas de comparación que corresponden a un producto escalar, es decir a S X S; S X E; S X I.

        Todo lo que hizo SCHUARTZ, NESHER lo clasifica en un bloque de 3. Por ello cuando nos pidan clasificar según NESHER, debemos hacer primero la clasificación de SCHUARTZ.

        <<<<Es necesario que nos aprendamos el nombre ya que probablemente en el examen nos pidan que no clasifiquemos los problemas según estos autores.>>>>